BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2010 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1} în care a1=3a_1=3 și a3=7a_3=7. Calculați suma primilor 1010 termeni ai progresiei.

Rezolvare

1
2 puncte
a1=3a_1=3, a3=7⇒r=2a_3=7 \Rightarrow r=2.
2
1 punct
a10=21a_{10}=21.
3
2 puncte
S10=(a1+a10)⋅102=120S_{10}=\frac{(a_1+a_{10})\cdot 10}{2}=120.
Exercițiul 2
Determinați numerele reale mm pentru care punctul A(m,−1)A(m,-1) aparține graficului funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1f(x)=x^2-3x+1.

Rezolvare

1
3 puncte
A(m,−1)∈Gf⇔f(m)=−1⇔m2−3m+1=−1A(m,-1)\in G_f \Leftrightarrow f(m)=-1 \Leftrightarrow m^2-3m+1=-1.
2
2 puncte
m=2m=2 sau m=1m=1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(2x+3)=2\log_5(2x+3)=2.

Rezolvare

1
1 punct
2x+3>0⇒x∈(−32,∞)2x+3>0 \Rightarrow x\in\left(-\frac{3}{2},\infty\right).
2
4 puncte
2x+3=25⇒x=11∈(−32,∞)2x+3=25 \Rightarrow x=11 \in\left(-\frac{3}{2},\infty\right).
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu 33 elemente ale unei mulțimi care are 55 elemente.

Rezolvare

1
3 puncte
C53=C_5^3=
2
2 puncte
=10=10.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,−2)A(-1,-2), B(1,2)B(1,2) și C(2,−1)C(2,-1). Calculați distanța de la punctul CC la mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
Fie MM mijlocul segmentului AB⇒M(0,0)AB \Rightarrow M(0,0).
2
1 punct
Se scrie formula distanței dintre 22 puncte.
3
2 puncte
CM=5CM=\sqrt{5}.
Exercițiul 6
Triunghiul ABCABC are AB=8AB=8, AC=8AC=8 și m(∡BAC)=30∘m(\measuredangle BAC)=30^\circ. Calculați aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
Aria △ABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\triangle ABC=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}.
2
3 puncte
=8⋅8⋅122=16=\frac{8\cdot 8\cdot\frac{1}{2}}{2}=16.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(311031003)A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, B=(034003000)B=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, I3=(100010001)I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și funcția f:M3(R)→M3(R)f:\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), f(X)=X2−3X+I3f(X)=X^2-3X+I_3, unde X2=X⋅XX^2=X\cdot X. a) Calculați det⁡(I3+B)\det(I_3+B). b) Demonstrați că f(A)=I3+Bf(A)=I_3+B. c) Arătați că (f(A))3=I3+3B+3B2(f(A))^3=I_3+3B+3B^2, unde (f(A))3=f(A)⋅f(A)⋅f(A)(f(A))^3=f(A)\cdot f(A)\cdot f(A).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) I3+B=(134013001)I_3+B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
2
3 puncte
det⁡(I3+B)=1\det(I_3+B)=1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează A2=(967096009)A^2=\begin{pmatrix} 9 & 6 & 7 \\ 0 & 9 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}.
4
1 punct
f(A)=A2−3A+I3=f(A)=A^2-3A+I_3=
5
2 puncte
=I3+B=I_3+B.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) (f(A))3=(I3+B)3=I3+3B+3B2+B3(f(A))^3=(I_3+B)^3=I_3+3B+3B^2+B^3.
7
2 puncte
B3=O3B^3=O_3.
8
1 punct
Finalizare.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor întregi se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−3x*y=x+y-3 și x∘y=(x−3)(y−3)+3x\circ y=(x-3)(y-3)+3. a) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația x∘x=x∗xx\circ x=x*x. b) Determinați numărul întreg aa care are proprietatea că x∘a=3x\circ a=3, oricare ar fi numărul întreg xx. c) Rezolvați sistemul de ecuații {x∗(y+1)=4(x−y)∘1=5\begin{cases} x*(y+1)=4 \\ (x-y)\circ 1=5 \end{cases}, unde x,y∈Zx,y\in\mathbb{Z}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) (x−3)2−2(x−3)=0(x-3)^2-2(x-3)=0.
2
1 punct
(x−3)(x−5)=0(x-3)(x-5)=0.
3
2 puncte
x=3x=3 sau x=5x=5.
b)5 puncte
4
2 puncte
b) (x−3)(a−3)+3=3(x-3)(a-3)+3=3, pentru orice x∈Zx\in\mathbb{Z}.
5
3 puncte
a=3∈Za=3\in\mathbb{Z}.
c)5 puncte
6
3 puncte
c) {x+y=6(x−y−3)(−2)=2\begin{cases} x+y=6 \\ (x-y-3)(-2)=2 \end{cases}.
7
2 puncte
{x=4y=2\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R∗→Rf:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3xf(x)=x^3+\frac{3}{x}. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈R∗x\in\mathbb{R}^*. b) Calculați lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) (x3)′=3x2(x^3)'=3x^2.
2
2 puncte
(1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}.
3
1 punct
Finalizare.
b)5 puncte
4
3 puncte
b) lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1).
5
2 puncte
f′(1)=0f'(1)=0.
c)5 puncte
6
1 punct
c) f′(x)=0⇔x1=1f'(x)=0 \Leftrightarrow x_1=1, x2=−1x_2=-1.
7
2 puncte
Din tabelul de variație rezultă ff crescătoare pe (−∞,−1](-\infty,-1] și pe [1,+∞)[1,+\infty).
8
2 puncte
ff descrescătoare pe [−1,0)[-1,0) și pe (0,1](0,1].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:[0,1]→Rf:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x2f(x)=x\sqrt{2-x^2}. a) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției ff. b) Calculați ∫01f(x) dx\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx. c) Calculați lim⁡x→0∫0xf(t) dtx2\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{x^2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
a) V=π∫01f2(x) dx=π∫01x2(2−x2) dxV=\pi\int_0^1 f^2(x)\,dx = \pi\int_0^1 x^2(2-x^2)\,dx.
2
2 puncte
=π(2x33−x55)∣01==\pi\left(\frac{2x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)\Big|_0^1=
3
2 puncte
=7π15=\frac{7\pi}{15}.
b)5 puncte
4
3 puncte
b) ∫01x2−x2 dx=−12∫21t dt=\int_0^1 x\sqrt{2-x^2}\,dx = -\frac{1}{2}\int_2^1 \sqrt{t}\,dt=
5
2 puncte
=22−13=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}.
c)5 puncte
6
3 puncte
c) ∫0xf(t) dt=223−(2−x2)2−x23\int_0^x f(t)\,dt = \frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{(2-x^2)\sqrt{2-x^2}}{3}.
7
2 puncte
Se aplică l'Hôpital: lim⁡x→0∫0xf(t) dtx2=22\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{x^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2010 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac