BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2011 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați modulul numărului complex z=1−i3z=1-i\sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
∣1−i3∣=1+(3)2=|1-i\sqrt{3}|=\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}=
2
2 puncte
=4=2=\sqrt{4}=2.
Exercițiul 2
Determinați mulțimea valorilor funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1f(x)=x^2+x+1.

Rezolvare

1
1 punct
x2+x+1−y=0x^2+x+1-y=0.
2
2 puncte
Δ=4y−3≥0\Delta=4y-3\geq 0.
3
2 puncte
Imf=[34,+∞)\text{Im}_f=\left[\frac{3}{4},+\infty\right).
Exercițiul 3
Știind că doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b3=6b_3=6 și b5=24b_5=24, determinați termenul b7b_7.

Rezolvare

1
1 punct
b1=32b_1=\frac{3}{2}.
2
2 puncte
q2=4q^2=4.
3
2 puncte
b7=96b_7=96.
Exercițiul 4
Determinați x>0x>0, știind că log⁡ax=2log⁡a3−3log⁡a2\log_a x=2\log_a 3-3\log_a 2, unde a>0a>0, a≠1a\neq 1.

Rezolvare

1
2 puncte
log⁡ax=log⁡a9−log⁡a8\log_a x = \log_a 9 - \log_a 8.
2
3 puncte
log⁡ax=log⁡a98⇒x=98\log_a x = \log_a\frac{9}{8} \Rightarrow x=\frac{9}{8}.
Exercițiul 5
Scrieți ecuația dreptei care conține punctul A(3,2)A(3,2) și este perpendiculară pe dreapta d:x+2y+5=0d: x+2y+5=0.

Rezolvare

1
2 puncte
md=−12⇒md′=2m_d=-\frac{1}{2} \Rightarrow m_{d'}=2 unde d⊥d′d\perp d'.
2
3 puncte
Ecuația dreptei d′d' este y=2x−4y=2x-4.
Exercițiul 6
Știind că x∈(π2,π)x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right) și sin⁡x=223\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}, calculați cos⁡x\cos x.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡2x=1−sin⁡2x=19\cos^2 x = 1-\sin^2 x = \frac{1}{9}.
2
1 punct
cos⁡x=±13\cos x = \pm\frac{1}{3}.
3
2 puncte
x∈(π2,π)⇒cos⁡x=−13x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right) \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{3}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Fie matricea A(x)=(1−2x4x201−4x001)A(x)=\begin{pmatrix} 1 & -2x & 4x^2 \\ 0 & 1 & -4x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} din mulțimea M3(R)\mathcal{M}_3(\mathbb{R}). a) Calculați (A(2)−A(0))2010(A(2)-A(0))^{2010}. b) Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)A(x)\cdot A(y)=A(x+y), oricare ar fi x,y∈Rx,y\in\mathbb{R}. c) Demonstrați că matricea A(x)A(x) este inversabilă și calculați inversa matricei A(x)A(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(2)−A(0)=(0−41600−8000)A(2)-A(0)=\begin{pmatrix} 0 & -4 & 16 \\ 0 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
2
2 puncte
(A(2)−A(0))3=O3(A(2)-A(0))^3=O_3.
3
1 punct
(A(2)−A(0))2010=O3(A(2)-A(0))^{2010}=O_3.
b)5 puncte
4
3 puncte
b) A(x)⋅A(y)=(1−2x−2y4y2+8xy+4x201−4x−4y001)A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix} 1 & -2x-2y & 4y^2+8xy+4x^2 \\ 0 & 1 & -4x-4y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
5
2 puncte
Finalizare.
c)5 puncte
6
1 punct
c) det⁡(A(x))=1≠0\det(A(x))=1\neq 0, deci matricea este inversabilă.
7
2 puncte
A(x)⋅A(−x)=A(0)=I3A(x)\cdot A(-x)=A(0)=I_3.
8
2 puncte
A−1(x)=A(−x)=(12x4x2014x001)A^{-1}(x)=A(-x)=\begin{pmatrix} 1 & 2x & 4x^2 \\ 0 & 1 & 4x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea G=(0,1)G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy2xy−x−y+1x*y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}. a) Verificați dacă e=12e=\frac{1}{2} este elementul neutru al legii „∗*”. b) Arătați că orice element din mulțimea GG este simetrizabil în raport cu legea „∗*”. c) Demonstrați că funcția f:G→R+∗f:G\to\mathbb{R}_+^*, f(x)=1x−1f(x)=\frac{1}{x}-1 este un izomorfism de la grupul (G,∗)(G,*) la grupul (R+∗,⋅)(\mathbb{R}_+^*,\cdot).

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
a) x∗12=12∗x=xx*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}*x=x, ∀x∈G\forall x\in G.
2
3 puncte
Verificare.
3
1 punct
Legea „∗*” are element neutru e=12e=\frac{1}{2}.
b)5 puncte
4
3 puncte
b) Orice element din GG este simetrizabil și x′=1−xx'=1-x.
5
2 puncte
0<x′<10<x'<1, deci x′∈Gx'\in G.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) Justificarea faptului că funcția ff este bijectivă.
7
2 puncte
f(x∗y)=1x∗y−1=(x−1)(y−1)xyf(x*y)=\frac{1}{x*y}-1=\frac{(x-1)(y-1)}{xy}.
8
1 punct
f(x)⋅f(y)=(1x−1)(1y−1)=(x−1)(y−1)xy=f(x∗y)f(x)\cdot f(y)=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)=\frac{(x-1)(y-1)}{xy}=f(x*y).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Fie funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)+1f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1. a) Calculați f′(5)f'(5). b) Calculați lim⁡n→+∞(f(n+1)−1f(n)−1)n\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)^n. c) Arătați că ecuația f′(x)=0f'(x)=0 are exact trei soluții reale distincte.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→5f(x)−f(5)x−5=\lim_{x\to 5}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}=
2
2 puncte
=lim⁡x→5(x−2)(x−3)(x−4)==\lim_{x\to 5}(x-2)(x-3)(x-4)=
3
1 punct
=6=6.
b)5 puncte
4
1 punct
b) f(n+1)−1f(n)−1=n−1n−5\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}=\frac{n-1}{n-5}.
5
1 punct
lim⁡n→+∞(f(n+1)−1f(n)−1)n=lim⁡n→+∞(n−1n−5)n=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)^n=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n-1}{n-5}\right)^n=
6
1 punct
=lim⁡n→+∞(1+4n−5)n==\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{4}{n-5}\right)^n=
7
2 puncte
=e4=e^4.
c)5 puncte
8
1 punct
c) f(2)=1f(2)=1, f(3)=1f(3)=1, f(4)=1f(4)=1, f(5)=1f(5)=1.
9
1 punct
ff continuă pe intervalele [2,3][2,3], [3,4][3,4], [4,5][4,5].
10
1 punct
ff derivabilă pe intervalele (2,3)(2,3), (3,4)(3,4), (4,5)(4,5).
11
2 puncte
Din teorema lui Rolle și din faptul că f′f' este de gradul trei rezultă că f′(x)=0f'(x)=0 are exact trei soluții reale distincte.
Exercițiul 2
Fie șirul (In)n≥0(I_n)_{n\geq 0}, In=∫01(x2+x+1)n−xx2+1 dxI_n=\int_0^1\frac{(x^2+x+1)^n-x}{x^2+1}\,dx. a) Calculați I0I_0. b) Verificați dacă I2−I0∈QI_2-I_0\in\mathbb{Q}. c) Arătați că I4n+1∈QI_{4n+1}\in\mathbb{Q}, oricare ar fi n∈Nn\in\mathbb{N}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
a) I0=∫011−xx2+1 dx=I_0=\int_0^1\frac{1-x}{x^2+1}\,dx=
2
1 punct
∫011x2+1 dx=arctan⁡x∣01=π4\int_0^1\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctan x\Big|_0^1=\frac{\pi}{4}.
3
2 puncte
∫01xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)∣01=ln⁡22\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)\Big|_0^1=\frac{\ln 2}{2}.
4
1 punct
I0=π4−ln⁡22I_0=\frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}.
b)5 puncte
5
1 punct
b) I2−I0=∫01(x2+x+1)2−1x2+1 dx=I_2-I_0=\int_0^1\frac{(x^2+x+1)^2-1}{x^2+1}\,dx=
6
1 punct
=∫01(x2+2x+2) dx−∫012x2+1 dx==\int_0^1(x^2+2x+2)\,dx-\int_0^1\frac{2}{x^2+1}\,dx=
7
1 punct
=103−2∫01dxx2+1==\frac{10}{3}-2\int_0^1\frac{dx}{x^2+1}=
8
2 puncte
=103−π2∉Q=\frac{10}{3}-\frac{\pi}{2}\notin\mathbb{Q}.
c)5 puncte
9
2 puncte
c) X2+1X^2+1 divide (X2+X+1)4n+1−X(X^2+X+1)^{4n+1}-X.
10
1 punct
(x2+x+1)4n+1−xx2+1=g(x)\frac{(x^2+x+1)^{4n+1}-x}{x^2+1}=g(x), unde g∈Z[X]g\in\mathbb{Z}[X].
11
2 puncte
∫01g(x) dx∈Q\int_0^1 g(x)\,dx\in\mathbb{Q}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2011 — Științele Naturii

Următor →

Model 2011 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac