BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2011 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numerele întregi xx care verifică relația −1≤x+13<1-1\leq\frac{x+1}{3}<1.

Rezolvare

1
2 puncte
−1≤x+13<1⇔−3≤x+1<3-1\leq\frac{x+1}{3}<1 \Leftrightarrow -3\leq x+1<3.
2
2 puncte
−4≤x<2-4\leq x<2.
3
1 punct
x∈Z⇒x∈{−4,−3,−2,−1,0,1}x\in\mathbb{Z} \Rightarrow x\in\{-4,-3,-2,-1,0,1\}.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x)=2x-1 și g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2−2x+3g(x)=x^2-2x+3.

Rezolvare

1
1 punct
f(x)=g(x)⇒2x−1=x2−2x+3f(x)=g(x) \Rightarrow 2x-1=x^2-2x+3.
2
2 puncte
⇒x2−4x+4=0⇒x=2\Rightarrow x^2-4x+4=0 \Rightarrow x=2.
3
2 puncte
Punctul de intersecție este A(2,3)A(2,3).
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2−2−x=x2-\sqrt{2-x}=x.

Rezolvare

1
1 punct
2−x=2−x\sqrt{2-x}=2-x.
2
1 punct
Condiție 2−x≥0⇒x∈(−∞,2]2-x\geq 0 \Rightarrow x\in(-\infty,2].
3
2 puncte
Ecuația dată este echivalentă cu: 2−x=4−4x+x2⇔x2−3x+2=02-x=4-4x+x^2 \Leftrightarrow x^2-3x+2=0.
4
1 punct
x∈{1,2}x\in\{1,2\}.
Exercițiul 4
Calculați P5C52+A62\frac{P_5}{C_5^2+A_6^2}.

Rezolvare

1
3 puncte
P5=5!=120P_5=5!=120, C52=10C_5^2=10, A62=30A_6^2=30.
2
2 puncte
P5C52+A62=12040=3\frac{P_5}{C_5^2+A_6^2}=\frac{120}{40}=3.
Exercițiul 5
În sistemul de coordonate xOyxOy se consideră punctele A(2,3)A(2,3) și B(−1,0)B(-1,0). Scrieți ecuația dreptei ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
y−30−3=x−2−1−2\frac{y-3}{0-3}=\frac{x-2}{-1-2}.
2
2 puncte
Ecuația dreptei ABAB: y=x+1y=x+1.
Exercițiul 6
Calculați perimetrul triunghiului MNPMNP știind că MN=2MN=2, MP=3MP=3 și m(∡NMP)=120∘m(\measuredangle NMP)=120^\circ.

Rezolvare

1
2 puncte
Prin aplicarea teoremei cosinusului în triunghiul MNPMNP se obține NP2=MN2+MP2−2⋅MN⋅MP⋅cos⁡(∡NMP)NP^2=MN^2+MP^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot\cos(\measuredangle NMP).
2
2 puncte
cos⁡120∘=−12⇒NP2=19⇒NP=19\cos 120^\circ=-\frac{1}{2} \Rightarrow NP^2=19 \Rightarrow NP=\sqrt{19}.
3
1 punct
Perimetrul este egal cu 5+195+\sqrt{19}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(1201)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați determinantul matricei AA. b) Calculați A2−2A+I2A^2-2A+I_2. c) Determinați matricele X∈M2(R)X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu proprietatea X2=AX^2=A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡A=∣1201∣\det A=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
=1−0=1=1-0=1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A2=(1401)A^2=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
A2−2A+I2=(1401)−2(1201)+(1001)=A^2-2A+I_2=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=
5
1 punct
=(0000)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
c)5 puncte
6
1 punct
c) X=(abcd)⇒X2=(a2+bcb(a+d)c(a+d)d2+bc)X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow X^2=\begin{pmatrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & d^2+bc \end{pmatrix}.
7
3 puncte
X2=A⇔{a2+bc=1b(a+d)=2c(a+d)=0d2+bc=1⇔{a2=1a=dab=1c=0X^2=A \Leftrightarrow \begin{cases} a^2+bc=1 \\ b(a+d)=2 \\ c(a+d)=0 \\ d^2+bc=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2=1 \\ a=d \\ ab=1 \\ c=0 \end{cases}.
8
1 punct
Se obțin soluțiile X=(1101)X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, X=(−1−10−1)X=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=xy−3x−3y+12x*y=xy-3x-3y+12. a) Demonstrați că x∗y=(x−3)(y−3)+3x*y=(x-3)(y-3)+3, oricare ar fi x,y∈Rx,y\in\mathbb{R}. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x=19x*x=19. c) Știind că legea „∗*” este asociativă, calculați 13∗23∗…∗20113\sqrt[3]{1}*\sqrt[3]{2}*\ldots*\sqrt[3]{2011}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) (x−3)(y−3)+3=xy−3x−3y+9+3=(x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3=
2
2 puncte
=x∗y=x*y, ∀x,y∈R\forall x,y\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗x=19⇒(x−3)2+3=19x*x=19 \Rightarrow (x-3)^2+3=19.
4
3 puncte
(x−3)2=16⇒x∈{−1,7}(x-3)^2=16 \Rightarrow x\in\{-1,7\}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗3=3∗x=3x*3=3*x=3, ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}.
6
2 puncte
13∗23∗…∗20113=(13∗…∗263)∗3∗(283∗…∗20113)\sqrt[3]{1}*\sqrt[3]{2}*\ldots*\sqrt[3]{2011}=(\sqrt[3]{1}*\ldots*\sqrt[3]{26})*3*(\sqrt[3]{28}*\ldots*\sqrt[3]{2011}).
7
1 punct
=3=3.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−xf(x)=e^x-x. a) Demonstrați că f′(x)−f(x)=x−1f'(x)-f(x)=x-1, oricare ar fi x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x=0, situat pe graficul funcției ff. c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției ff spre −∞-\infty.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(ex−x)′=ex−1f'(x)=(e^x-x)'=e^x-1.
2
2 puncte
f′(x)−f(x)=(ex−1)−(ex−x)=x−1f'(x)-f(x)=(e^x-1)-(e^x-x)=x-1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) y−f(0)=f′(0)(x−0)y-f(0)=f'(0)(x-0).
4
2 puncte
f(0)=1f(0)=1, f′(0)=0f'(0)=0.
5
1 punct
Ecuația tangentei este y=1y=1.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) lim⁡x→−∞f(x)x=lim⁡x→−∞ex−xx=−1\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x-x}{x}=-1.
7
2 puncte
lim⁡x→−∞(f(x)+x)=lim⁡x→−∞ex=0\lim_{x\to-\infty}(f(x)+x)=\lim_{x\to-\infty}e^x=0.
8
1 punct
Ecuația asimptotei este y=−xy=-x.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1x+1f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}. a) Calculați ∫1e(f(x)−1x+1)dx\displaystyle\int_1^e\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx. b) Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuație x=1x=1 și x=2x=2. c) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x)=f(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫1e(f(x)−1x+1)dx=∫1e1x dx\int_1^e\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx=\int_1^e\frac{1}{x}\,dx.
2
2 puncte
=ln⁡x∣1e=\ln x\Big|_1^e.
3
1 punct
=1=1.
b)5 puncte
4
2 puncte
b) A=∫12∣f(x)∣ dx=\mathcal{A}=\int_1^2|f(x)|\,dx=
5
2 puncte
=(ln⁡x+ln⁡(x+1))∣12==(\ln x+\ln(x+1))\Big|_1^2=
6
1 punct
=ln⁡3=\ln 3.
c)5 puncte
7
1 punct
c) V=π∫12g2(x) dx=V=\pi\int_1^2 g^2(x)\,dx=
8
1 punct
=π∫12(1x2+1(x+1)2+2x(x+1))dx==\pi\int_1^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{2}{x(x+1)}\right)dx=
9
2 puncte
=π(−1x−1x+1+2ln⁡xx+1)∣12==\pi\left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+2\ln\frac{x}{x+1}\right)\Big|_1^2=
10
1 punct
=π(23+2ln⁡43)=\pi\left(\frac{2}{3}+2\ln\frac{4}{3}\right).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2011 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2010 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac