BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2015 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=3a_1=3 și rația r=2r=2.

Rezolvare

1
3 puncte
a1+a2+a3=3+(3+2)+(3+2⋅2)=a_1+a_2+a_3=3+(3+2)+(3+2\cdot 2)=
2
2 puncte
=15=15.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x−2f(x)=x^2+2x-2.

Rezolvare

1
2 puncte
−b2a=−1-\frac{b}{2a}=-1.
2
3 puncte
−Δ4a=−3-\frac{\Delta}{4a}=-3.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−4x+5=1\sqrt{x^2-4x+5}=1.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−4x+4=0x^2-4x+4=0.
2
2 puncte
x=2x=2 care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}.

Rezolvare

1
3 puncte
Numărul submulțimilor cu 33 elemente ale unei mulțimi cu 55 elemente este egal cu C53=C_5^3=
2
2 puncte
=10=10.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,3)A(2,3), B(−2,1)B(-2,1) și C(−2,5)C(-2,5). Determinați lungimea vectorului AM⃗\vec{AM}, știind că MM este mijlocul segmentului BCBC.

Rezolvare

1
2 puncte
M(−2,3)M(-2,3).
2
3 puncte
AM=4AM=4.
Exercițiul 6
Calculați ctg a\text{ctg}\,a, știind că sin⁡a=13\sin a=\frac{1}{3} și a∈(0,π2)a\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡a=223\cos a=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
2
2 puncte
ctg a=22\text{ctg}\,a=2\sqrt{2}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(2x13)A(x)=\begin{pmatrix} 2 & x \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați det⁡(A(3))\det(A(3)). b) Arătați că A(−2015)+A(2015)=2A(0)A(-2015)+A(2015)=2A(0). c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A(x))=x2\det(A(x))=x^2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡(A(3))=∣2313∣=2⋅3−1⋅3=\det(A(3))=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot 3-1\cdot 3=
2
2 puncte
=3=3.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(−2015)=(2−201513)A(-2015)=\begin{pmatrix} 2 & -2015 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, A(2015)=(2201513)A(2015)=\begin{pmatrix} 2 & 2015 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.
4
3 puncte
A(−2015)+A(2015)=(4026)=2⋅(2013)=2A(0)A(-2015)+A(2015)=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}=2A(0).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡(A(x))=∣2x13∣=6−x\det(A(x))=\begin{vmatrix} 2 & x \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=6-x.
6
3 puncte
x2+x−6=0⇔x1=−3x^2+x-6=0 \Leftrightarrow x_1=-3 și x2=2x_2=2.
Exercițiul 2
În Z5[X]\mathbb{Z}_5[X] se consideră polinomul f=X3+aXf=X^3+aX, unde Z5={0^,1^,2^,3^,4^}\mathbb{Z}_5=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\} și a∈Z5a\in\mathbb{Z}_5. a) Calculați f(0^)f(\hat{0}). b) Determinați a∈Z5a\in\mathbb{Z}_5, știind că f(3^)=3^f(\hat{3})=\hat{3}. c) Arătați că, dacă f(1^)=f(2^)f(\hat{1})=f(\hat{2}), atunci f(3^)=f(4^)f(\hat{3})=f(\hat{4}).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(0^)=0^3+a⋅0^=f(\hat{0})=\hat{0}^3+a\cdot\hat{0}=
2
3 puncte
=0^=\hat{0}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(3^)=2^+a⋅3^f(\hat{3})=\hat{2}+a\cdot\hat{3}.
4
3 puncte
2^+a⋅3^=3^⇒a=2^\hat{2}+a\cdot\hat{3}=\hat{3} \Rightarrow a=\hat{2}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) 1^+a=3^+a⋅2^⇒a=3^\hat{1}+a=\hat{3}+a\cdot\hat{2} \Rightarrow a=\hat{3}.
6
3 puncte
f(3^)=1^f(\hat{3})=\hat{1} și f(4^)=1^⇒f(3^)=f(4^)f(\hat{4})=\hat{1} \Rightarrow f(\hat{3})=f(\hat{4}).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡xxf(x)=\frac{x+\ln x}{x}. a) Arătați că f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=1x_0=1, situat pe graficul funcției ff. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x+ln⁡x)′⋅x−(x+ln⁡x)⋅x′x2=f'(x)=\frac{(x+\ln x)'\cdot x-(x+\ln x)\cdot x'}{x^2}=
2
3 puncte
=(1+1x)⋅x−x−ln⁡xx2=1−ln⁡xx2=\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot x-x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) y−f(1)=f′(1)(x−1)y-f(1)=f'(1)(x-1).
4
3 puncte
f(1)=1f(1)=1, f′(1)=1f'(1)=1, deci ecuația tangentei este y=xy=x.
c)5 puncte
5
1 punct
c) f′(x)=0⇔x=ef'(x)=0 \Leftrightarrow x=e.
6
2 puncte
f′(x)≥0f'(x)\geq 0 pentru orice x∈(0,e]⇒fx\in(0,e] \Rightarrow f este crescătoare pe (0,e](0,e].
7
2 puncte
f′(x)≤0f'(x)\leq 0 pentru orice x∈[e,+∞)⇒fx\in[e,+\infty) \Rightarrow f este descrescătoare pe [e,+∞)[e,+\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x+1f(x)=x+\frac{1}{x+1}. a) Calculați ∫01(f(x)−1x+1)dx\int_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx. b) Arătați că ∫01xf(x) dx=43−ln⁡2\int_0^1 x f(x)\,dx=\frac{4}{3}-\ln 2. c) Determinați numărul natural nenul nn, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x=0, x=1x=1, are aria egală cu 12+ln⁡(n2+n)\frac{1}{2}+\ln(n^2+n).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(f(x)−1x+1)dx=∫01(x+1x+1−1x+1)dx=∫01x dx=\int_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx=\int_0^1\left(x+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)dx=\int_0^1 x\,dx=
2
2 puncte
=x22∣01=12=\frac{x^2}{2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫01xf(x) dx=∫01(x2+xx+1)dx=∫01(x2+1−1x+1)dx=\int_0^1 xf(x)\,dx=\int_0^1\left(x^2+\frac{x}{x+1}\right)dx=\int_0^1\left(x^2+1-\frac{1}{x+1}\right)dx=
4
3 puncte
=(x33+x−ln⁡(x+1))∣01=43−ln⁡2=\left(\frac{x^3}{3}+x-\ln(x+1)\right)\Big|_0^1=\frac{4}{3}-\ln 2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫01∣f(x)∣ dx=∫01(x+1x+1)dx=(x22+ln⁡(x+1))∣01=12+ln⁡2\mathcal{A}=\int_0^1|f(x)|\,dx=\int_0^1\left(x+\frac{1}{x+1}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+\ln(x+1)\right)\Big|_0^1=\frac{1}{2}+\ln 2.
6
2 puncte
12+ln⁡2=12+ln⁡(n2+n)⇒n2+n=2⇒n=−2\frac{1}{2}+\ln 2=\frac{1}{2}+\ln(n^2+n) \Rightarrow n^2+n=2 \Rightarrow n=-2 nu este număr natural și n=1n=1.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2015 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2015 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac