BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2016 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul real xx, știind că numerele 77, 3x3x și x2+2x^2+2 sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare

1
3 puncte
7+x2+2=2⋅3x7+x^2+2=2\cdot 3x.
2
2 puncte
x2−6x+9=0⇔x=3x^2-6x+9=0 \Leftrightarrow x=3.
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, știind că parabola asociată funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+mf(x)=x^2-2x+m este tangentă axei OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
Δ=0⇔4−4m=0\Delta=0 \Leftrightarrow 4-4m=0.
2
2 puncte
m=1m=1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (12)4x−9=32x\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-9}=32^x.

Rezolvare

1
3 puncte
(2−1)4x−9=25x⇔−4x+9=5x(2^{-1})^{4x-9}=2^{5x} \Leftrightarrow -4x+9=5x.
2
2 puncte
x=1x=1.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii A={1,2,3,4,5,6}A=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\sqrt{6}\}, aceasta să aibă cel mult două elemente.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are C60+C61+C62+C63+C64+C65+C66=26=64C_6^0+C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5+C_6^6=2^6=64 de submulțimi, deci sunt 6464 de cazuri posibile. Mulțimea AA are C60+C61+C62=1+6+15=22C_6^0+C_6^1+C_6^2=1+6+15=22 de submulțimi cu cel mult două elemente, deci sunt 2222 de cazuri favorabile.
2
3 puncte
p=2264=1132p=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,0)A(-1,0), B(1,0)B(1,0) și C(1,4)C(1,4). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul BB și este paralelă cu mediana din AA a triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
3 puncte
Punctul M(1,2)M(1,2) este mijlocul laturii BCBC. mAM=2−01−(−1)=1m_{AM}=\frac{2-0}{1-(-1)}=1.
2
2 puncte
Ecuația dreptei care trece prin punctul BB și este paralelă cu dreapta AMAM este y=x−1y=x-1.
Exercițiul 6
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABCABC în care A=3π4A=\frac{3\pi}{4} și BC=2BC=\sqrt{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
BCsin⁡A=2R⇒R=22sin⁡3π4=\frac{BC}{\sin A}=2R \Rightarrow R=\frac{\sqrt{2}}{2\sin\frac{3\pi}{4}}=
2
2 puncte
=1=1.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(1x0010002x)A(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&0\\0&0&2^x\end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(10))=1024\det(A(10))=1024. b) Determinați numerele reale xx, știind că A(x)⋅A(2x)=A(x2+2)A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2). c) Știind că A(n)=A(1)⋅A(2)⋅A(3)⋅…⋅A(2016)A(n)=A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\cdot\ldots\cdot A(2016), demonstrați că nn este număr natural divizibil cu 20172017.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(10)=(110001000210)⇒det⁡(A(10))=∣110001000210∣=A(10)=\begin{pmatrix}1&10&0\\0&1&0\\0&0&2^{10}\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(10))=\begin{vmatrix}1&10&0\\0&1&0\\0&0&2^{10}\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=210=1024=2^{10}=1024.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(x)⋅A(2x)=A(3x)A(x)\cdot A(2x)=A(3x). A(3x)=A(x2+2)⇔x2−3x+2=0A(3x)=A(x^2+2) \Leftrightarrow x^2-3x+2=0.
4
3 puncte
x1=1x_1=1 și x2=2x_2=2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Deoarece A(x)⋅A(y)=A(x+y)A(x)\cdot A(y)=A(x+y), pentru orice numere reale xx și yy, obținem A(n)=A(1)⋅A(2)⋅A(3)⋅…⋅A(2016)=A(1+2+3+…+2016)=A(2017⋅1008)A(n)=A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\cdot\ldots\cdot A(2016)=A(1+2+3+\ldots+2016)=A(2017\cdot 1008).
6
2 puncte
n=2017⋅1008n=2017\cdot 1008, deci nn este număr natural divizibil cu 20172017.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−5X+af=X^3-5X+a, unde aa este număr real. a) Arătați că f(0)=af(0)=a. b) Determinați numărul real aa pentru care x13+x23+x33=2016−4ax_1^3+x_2^3+x_3^3=2016-4a, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Demonstrați că polinomul ff are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(0)=03−5⋅0+a=f(0)=0^3-5\cdot 0+a=
2
2 puncte
=0−0+a=a=0-0+a=a.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x1+x2+x3=0x_1+x_2+x_3=0, x13+x23+x33=5(x1+x2+x3)−3a=−3ax_1^3+x_2^3+x_3^3=5(x_1+x_2+x_3)-3a=-3a.
4
2 puncte
−3a=2016−4a⇔a=2016-3a=2016-4a \Leftrightarrow a=2016.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Presupunem că ff are cel puțin două rădăcini întregi x1x_1 și x2x_2; cum x1+x2+x3=0⇒x3∈Zx_1+x_2+x_3=0 \Rightarrow x_3\in\mathbb{Z}. Știind că x12+x22+x32=10x_1^2+x_2^2+x_3^2=10, dacă x12≥x22≥x32x_1^2\geq x_2^2\geq x_3^2, obținem x12=9x_1^2=9, x22=1x_2^2=1 și x32=0x_3^2=0.
6
2 puncte
Deoarece pentru valorile pe care le obținem pentru x1x_1, x2x_2 și x3x_3, relația x1+x2+x3=0x_1+x_2+x_3=0 nu este verificată, polinomul ff are cel mult o rădăcină întreagă.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−12x2−x−1f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1. a) Arătați că f′(x)=ex−x−1f'(x)=e^x-x-1, x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→+∞f′(x)f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}. c) Demonstrați că f(23)<f(32)f(2\sqrt{3})<f(3\sqrt{2}).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(ex)′−(12x2)′−x′−1′=f'(x)=(e^x)'-\left(\frac{1}{2}x^2\right)'-x'-1'=
2
3 puncte
=ex−12⋅2x−1=ex−x−1=e^x-\frac{1}{2}\cdot 2x-1=e^x-x-1, x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Aplicând succesiv teorema lui l'Hospital, obținem lim⁡x→+∞ex−x−1ex−12x2−x−1=lim⁡x→+∞ex−1ex−x−1=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-x-1}{e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-1}{e^x-x-1}=
4
2 puncte
=lim⁡x→+∞exex−1=1=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{e^x-1}=1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′′(x)=ex−1>0f''(x)=e^x-1>0 pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty), deci f′f' strict crescătoare pe (0,+∞)(0,+\infty) și cum f′(0)=0f'(0)=0, obținem f′(x)>0f'(x)>0 pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty), deci ff strict crescătoare pe (0,+∞)(0,+\infty).
6
2 puncte
0<23<32⇒f(23)<f(32)0<2\sqrt{3}<3\sqrt{2} \Rightarrow f(2\sqrt{3})<f(3\sqrt{2}).
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫01(1−x2)n dxI_n=\displaystyle\int_0^1(1-x^2)^n\,dx. a) Arătați că I1=23I_1=\frac{2}{3}. b) Demonstrați că In+1≤InI_{n+1}\leq I_n, pentru orice număr natural nenul nn. c) Demonstrați că (2n+3)In+1=2(n+1)In(2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) I1=∫01(1−x2) dx=(x−x33)∣01=I_1=\displaystyle\int_0^1(1-x^2)\,dx=\left.\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=
2
2 puncte
=1−13=23=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) In+1−In=∫01(−x2)(1−x2)n dxI_{n+1}-I_n=\displaystyle\int_0^1(-x^2)(1-x^2)^n\,dx, pentru orice număr natural nenul nn.
4
3 puncte
Pentru orice număr natural nenul nn și x∈[0,1]x\in[0,1] avem −x2≤0-x^2\leq 0 și (1−x2)n≥0(1-x^2)^n\geq 0, deci In+1≤InI_{n+1}\leq I_n.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) In+1=∫01x′(1−x2)n+1 dx=x(1−x2)n+1∣01−∫01x(n+1)(1−x2)n(−2x) dx=I_{n+1}=\displaystyle\int_0^1 x'(1-x^2)^{n+1}\,dx=\left.x(1-x^2)^{n+1}\right|_0^1-\int_0^1 x(n+1)(1-x^2)^n(-2x)\,dx=
6
3 puncte
=2(n+1)∫01x2(1−x2)n dx=−2(n+1)∫01(x2−1)(1−x2)n dx−2(n+1)∫01(1−x2)n dx=−2(n+1)(In+1−In)=2(n+1)\displaystyle\int_0^1 x^2(1-x^2)^n\,dx=-2(n+1)\int_0^1(x^2-1)(1-x^2)^n\,dx-2(n+1)\int_0^1(1-x^2)^n\,dx=-2(n+1)(I_{n+1}-I_n), deci (2n+3)In+1=2(n+1)In(2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n, pentru orice număr natural nenul nn.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2016 — Științele Naturii

Următor →

Simulare XI 2016 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac