BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2016 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați primul termen al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n\geq 1}, știind că b5=48b_5=48 și b8=384b_8=384.

Rezolvare

1
3 puncte
b1⋅q4=48b_1\cdot q^4=48 și b1⋅q7=384⇒q=2b_1\cdot q^7=384 \Rightarrow q=2.
2
2 puncte
b1=3b_1=3.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−7x+6f(x)=x^2-7x+6. Determinați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției ff cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇔x2−7x+6=0⇔x1=1f(x)=0 \Leftrightarrow x^2-7x+6=0 \Leftrightarrow x_1=1 și x2=6x_2=6, deci graficul funcției ff intersectează axa OxOx în punctele (1,0)(1,0) și (6,0)(6,0).
2
2 puncte
Distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției ff cu axa OxOx este egală cu 55.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x=16⋅2x32^x=16\cdot 2^x.

Rezolvare

1
3 puncte
(25)x=24⋅2x⇔5x=4+x(2^5)^x=2^4\cdot 2^x \Leftrightarrow 5x=4+x.
2
2 puncte
x=1x=1.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr natural nn din mulțimea {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}, acesta să verifice egalitatea n2−5n+6=0n^2-5n+6=0.

Rezolvare

1
3 puncte
Mulțimea {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} are 55 elemente, deci sunt 55 cazuri posibile. În mulțimea {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} sunt 22 numere care verifică egalitatea, deci sunt 22 cazuri favorabile.
2
2 puncte
p=25p=\frac{2}{5}.
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa, știind că vectorii u⃗=(a+1)i⃗+(a−1)j⃗\vec{u}=(a+1)\vec{i}+(a-1)\vec{j} și v⃗=6i⃗+2j⃗\vec{v}=6\vec{i}+2\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
a+16=a−12⇔2a+2=6a−6\frac{a+1}{6}=\frac{a-1}{2} \Leftrightarrow 2a+2=6a-6.
2
2 puncte
a=2a=2.
Exercițiul 6
Arătați că (2sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x+2cos⁡x)2−4sin⁡2x=5(2\sin x+\cos x)^2+(\sin x+2\cos x)^2-4\sin 2x=5, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
(2sin⁡x+cos⁡x)2=4sin⁡2x+4sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x(2\sin x+\cos x)^2=4\sin^2 x+4\sin x\cos x+\cos^2 x.
2
3 puncte
(sin⁡x+2cos⁡x)2=sin⁡2x+4sin⁡xcos⁡x+4cos⁡2x⇒(2sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x+2cos⁡x)2−4sin⁡2x=5(sin⁡2x+cos⁡2x)+8sin⁡xcos⁡x−4⋅2sin⁡xcos⁡x=5(\sin x+2\cos x)^2=\sin^2 x+4\sin x\cos x+4\cos^2 x \Rightarrow (2\sin x+\cos x)^2+(\sin x+2\cos x)^2-4\sin 2x=5(\sin^2 x+\cos^2 x)+8\sin x\cos x-4\cdot 2\sin x\cos x=5, pentru orice număr real xx.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1241)A=\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix} și B=(0xy0)B=\begin{pmatrix}0&x\\y&0\end{pmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale. a) Arătați că det⁡(2A)=−28\det(2A)=-28. b) Determinați numerele reale xx și yy, știind că A+2B=I2A+2B=I_2, unde I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. c) Dacă AB=BAAB=BA, arătați că det⁡B≤0\det B\leq 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2A=(2482)2A=\begin{pmatrix}2&4\\8&2\end{pmatrix}, det⁡(2A)=∣2482∣=\det(2A)=\begin{vmatrix}2&4\\8&2\end{vmatrix}=
2
2 puncte
=2⋅2−4⋅8=4−32=−28=2\cdot 2-4\cdot 8=4-32=-28.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A+2B=(1241)+(02x2y0)=(12+2x4+2y1)A+2B=\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&2x\\2y&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2+2x\\4+2y&1\end{pmatrix}.
4
3 puncte
(12+2x4+2y1)=(1001)⇒x=−1\begin{pmatrix}1&2+2x\\4+2y&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \Rightarrow x=-1 și y=−2y=-2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) AB=(2yxy4x)AB=\begin{pmatrix}2y&x\\y&4x\end{pmatrix}, BA=(4xxy2y)BA=\begin{pmatrix}4x&x\\y&2y\end{pmatrix}.
6
3 puncte
AB=BA⇔y=2xAB=BA \Leftrightarrow y=2x, deci det⁡B=∣0x2x0∣=−2x2≤0\det B=\begin{vmatrix}0&x\\2x&0\end{vmatrix}=-2x^2\leq 0, pentru orice număr real xx.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3xy+3x+3y+2x\circ y=3xy+3x+3y+2. a) Arătați că (−1)∘1=−1(-1)\circ 1=-1. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x=xx\circ x=x. c) Determinați perechile (a,b)(a,b) de numere întregi, știind că a∘b=8a\circ b=8.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) (−1)∘1=3⋅(−1)⋅1+3⋅(−1)+3⋅1+2=(-1)\circ 1=3\cdot(-1)\cdot 1+3\cdot(-1)+3\cdot 1+2=
2
2 puncte
=−3−3+3+2=−1=-3-3+3+2=-1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 3x2+3x+3x+2=x⇔3x2+5x+2=03x^2+3x+3x+2=x \Leftrightarrow 3x^2+5x+2=0.
4
2 puncte
x1=−23x_1=-\frac{2}{3} și x2=−1x_2=-1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 3ab+3a+3b+3−1=8⇔(a+1)(b+1)=33ab+3a+3b+3-1=8 \Leftrightarrow (a+1)(b+1)=3.
6
2 puncte
Cum aa și bb sunt numere întregi, obținem (−4,−2)(-4,-2), (−2,−4)(-2,-4), (0,2)(0,2) și (2,0)(2,0).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x. a) Arătați că f′(x)=(x−1)exf'(x)=(x-1)e^x, x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞-\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că f′(x)≥−1f'(x)\geq -1, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x−2)′ex+(x−2)(ex)′=f'(x)=(x-2)'e^x+(x-2)(e^x)'=
2
3 puncte
=ex+(x−2)ex=(x−1)ex=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x, x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞(x−2)ex=lim⁡x→−∞x−2e−x=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x-2)e^x=\lim_{x\to-\infty}\frac{x-2}{e^{-x}}=0.
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y=0 este asimptotă orizontală spre −∞-\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=xexf''(x)=xe^x, f′′(x)=0⇔x=0f''(x)=0 \Leftrightarrow x=0. f′′(x)≤0f''(x)\leq 0, pentru orice x∈(−∞,0]x\in(-\infty,0], deci f′f' este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty,0]. f′′(x)≥0f''(x)\geq 0, pentru orice x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty), deci f′f' este crescătoare pe [0,+∞)[0,+\infty).
6
3 puncte
f′(x)≥f′(0)=−1f'(x)\geq f'(0)=-1, pentru orice număr real xx.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+1xf(x)=\frac{2x^2+1}{x}. a) Arătați că ∫12(f(x)−1x)dx=3\displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=3. b) Demonstrați că funcția F:(0,+∞)→RF:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x2+ln⁡x+2016F(x)=x^2+\ln x+2016 este o primitivă a funcției ff. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x)=f(x) este mai mic decât 14π14\pi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(f(x)−1x)dx=∫122x dx=x2∣12=\displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^2 2x\,dx=\left.x^2\right|_1^2=
2
2 puncte
=4−1=3=4-1=3.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) F′(x)=(x2+ln⁡x+2016)′=2x+1x=F'(x)=(x^2+\ln x+2016)'=2x+\frac{1}{x}=
4
3 puncte
=2x2+1x=f(x)=\frac{2x^2+1}{x}=f(x), pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty), deci FF este o primitivă a funcției ff.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) V=π∫12g2(x) dx=π∫12(2x2+1x)2dx=π∫12(4x2+4+1x2)dx=V=\pi\displaystyle\int_1^2 g^2(x)\,dx=\pi\int_1^2\left(\frac{2x^2+1}{x}\right)^2dx=\pi\int_1^2\left(4x^2+4+\frac{1}{x^2}\right)dx=
6
3 puncte
=π(4x33+4x−1x)∣12=83π6<14π=\pi\left.\left(\frac{4x^3}{3}+4x-\frac{1}{x}\right)\right|_1^2=\frac{83\pi}{6}<14\pi.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2016 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare XI 2016 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac