BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2016 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1−12)(1−13)(1−14)=14\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
1−12=121-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, 1−13=231-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}, 1−14=341-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
2
2 puncte
12⋅23⋅34=14\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.
Exercițiul 2
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2f(x)=x^2-3x+2 cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇔x2−3x+2=0f(x)=0 \Leftrightarrow x^2-3x+2=0.
2
2 puncte
x1=1x_1=1 și x2=2x_2=2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(2x−1)=2\log_5(2x-1)=2.

Rezolvare

1
3 puncte
2x−1=522x-1=5^2.
2
2 puncte
x=13x=13, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={10,20,30,40,50,60,70,80,90}A=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}, acesta să fie divizor al lui 10001000.

Rezolvare

1
3 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile. În mulțimea AA sunt 44 divizori ai lui 10001000, deci sunt 44 cazuri favorabile.
2
2 puncte
p=49p=\frac{4}{9}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0,0), A(0,3)A(0,3) și B(4,0)B(4,0). Calculați perimetrul triunghiului AOBAOB.

Rezolvare

1
3 puncte
AO=3AO=3, BO=4BO=4, AB=5AB=5.
2
2 puncte
P△AOB=3+4+5=12P_{\triangle AOB}=3+4+5=12.
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡x=35\sin x=\frac{3}{5}, știind că x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=45\cos x=\frac{4}{5}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−(45)2=925\sin^2 x=1-\cos^2 x=1-\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}.
2
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), obținem sin⁡x=35\sin x=\frac{3}{5}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(−1100)A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix} și I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=0\det A=0. b) Verificați dacă A⋅(A+I2)=O2A\cdot(A+I_2)=O_2, unde O2=(0000)O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. c) Determinați numerele reale mm pentru care det⁡B=0\det B=0, unde B=A⋅A+mI2B=A\cdot A+mI_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡A=∣−1100∣=\det A=\begin{vmatrix}-1&1\\0&0\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=−1⋅0−1⋅0=0=-1\cdot 0-1\cdot 0=0.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A+I2=(0101)A+I_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}.
4
3 puncte
A⋅(A+I2)=(−1100)(0101)=(0000)=O2A\cdot(A+I_2)=\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A⋅A=(1−100)A\cdot A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}, B=(1+m−10m)B=\begin{pmatrix}1+m&-1\\0&m\end{pmatrix}, det⁡B=m(m+1)\det B=m(m+1).
6
2 puncte
det⁡B=0⇔m=−1\det B=0 \Leftrightarrow m=-1 sau m=0m=0.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+X2+4X+4f=X^3+X^2+4X+4. a) Arătați că f(−1)=0f(-1)=0. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X2+3X+2X^2+3X+2. c) Demonstrați că 1x1+1x2+1x3+1x1x2+1x2x3+1x3x1=−34\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=-\frac{3}{4}, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(−1)=(−1)3+(−1)2+4⋅(−1)+4=f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+4\cdot(-1)+4=
2
2 puncte
=−1+1−4+4=0=-1+1-4+4=0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Câtul este X−2X-2.
4
2 puncte
Restul este 8X+88X+8.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=−1x_1+x_2+x_3=-1, x1x2+x1x3+x2x3=4x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=4, x1x2x3=−4x_1x_2x_3=-4.
6
2 puncte
(x2x3+x1x3+x1x2)+(x3+x1+x2)x1x2x3=4+(−1)−4=−34\frac{(x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2)+(x_3+x_1+x_2)}{x_1x_2x_3}=\frac{4+(-1)}{-4}=-\frac{3}{4}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12x. a) Arătați că f′(x)=3(x−2)(x+2)f'(x)=3(x-2)(x+2), x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x=2, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că −16≤f(x)≤16-16\leq f(x)\leq 16, pentru orice x∈[−2,2]x\in[-2,2].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=3x2−12=f'(x)=3x^2-12=
2
2 puncte
=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2), x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(2)=−16f(2)=-16, f′(2)=0f'(2)=0.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(2)=f′(2)(x−2)⇒y=−16y-f(2)=f'(2)(x-2) \Rightarrow y=-16.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(−2)=0f'(-2)=0, f′(2)=0f'(2)=0 și f′(x)≤0f'(x)\leq 0, pentru orice x∈[−2,2]x\in[-2,2].
6
2 puncte
f(2)≤f(x)≤f(−2)⇒−16≤f(x)≤16f(2)\leq f(x)\leq f(-2) \Rightarrow -16\leq f(x)\leq 16, pentru orice x∈[−2,2]x\in[-2,2].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x4+3x2+1f(x)=5x^4+3x^2+1. a) Arătați că ∫01(f(x)−3x2−1) dx=1\displaystyle\int_0^1(f(x)-3x^2-1)\,dx=1. b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x=1 și x=2x=2. c) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este crescătoare pe R\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(f(x)−3x2−1) dx=∫015x4 dx=x5∣01=\displaystyle\int_0^1(f(x)-3x^2-1)\,dx=\int_0^1 5x^4\,dx=\left.x^5\right|_0^1=
2
2 puncte
=1−0=1=1-0=1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12(5x4+3x2+1) dx=(x5+x3+x)∣12=\mathcal{A}=\displaystyle\int_1^2|f(x)|\,dx=\int_1^2(5x^4+3x^2+1)\,dx=\left.(x^5+x^3+x)\right|_1^2=
4
2 puncte
=(25+23+2)−(15+13+1)=39=(2^5+2^3+2)-(1^5+1^3+1)=39.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R} este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)f \Rightarrow F'(x)=f(x), x∈Rx\in\mathbb{R}.
6
3 puncte
F′(x)=5x4+3x2+1>0F'(x)=5x^4+3x^2+1>0 pentru orice număr real xx, deci FF este crescătoare pe R\mathbb{R}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2016 — Științele Naturii

Următor →

Simulare XI 2016 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac