BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2017 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=1−iz=1-i. Arătați că z2+2i=0z^2+2i=0.

Rezolvare

1
2 puncte
z2+2i=(1−i)2+2i=1−2i+i2+2i=z^2+2i=(1-i)^2+2i=1-2i+i^2+2i=
2
3 puncte
=1−1=0=1-1=0.
Exercițiul 2
Calculați (g∘f)(0)(g\circ f)(0), unde f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2017f(x)=x+2017 și g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x−2017g(x)=x-2017.

Rezolvare

1
2 puncte
f(0)=2017f(0)=2017.
2
3 puncte
(g∘f)(0)=g(f(0))=g(2017)=0(g\circ f)(0)=g(f(0))=g(2017)=0.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2−3x=3x−43^{x^2-3x}=3^{x-4}.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−3x=x−4⇔x2−4x+4=0x^2-3x=x-4 \Leftrightarrow x^2-4x+4=0.
2
2 puncte
x=2x=2.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,…,100}M=\{1,2,3,\ldots,100\}, acesta să fie pătrat perfect.

Rezolvare

1
3 puncte
Mulțimea MM are 100100 de elemente, deci sunt 100100 de cazuri posibile. În mulțimea MM sunt 1010 pătrate perfecte, deci sunt 1010 cazuri favorabile.
2
2 puncte
p=10100=110p=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul A(0,1)A(0,1). Determinați ecuația dreptei dd, care trece prin punctul AA și este perpendiculară pe dreapta de ecuație y=x−10y=x-10.

Rezolvare

1
2 puncte
Panta unei perpendiculare pe dreapta dd este egală cu −1-1.
2
3 puncte
Ecuația dreptei care trece prin punctul AA și este perpendiculară pe dreapta dd este y=−x+1y=-x+1.
Exercițiul 6
Determinați aria triunghiului ABCABC, știind că AB=6AB=6, AC=4AC=4 și A=π6A=\frac{\pi}{6}.

Rezolvare

1
3 puncte
A△ABC=6⋅4⋅sin⁡π62=6⋅4⋅122=\mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{6\cdot 4\cdot\sin\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{6\cdot 4\cdot\frac{1}{2}}{2}=
2
2 puncte
=6=6.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(m)=(m−1−12m−2)A(m)=\begin{pmatrix}m-1&-1\\2&m-2\end{pmatrix}, unde mm este număr real. a) Calculați det⁡(A(0))\det(A(0)). b) Demonstrați că A(1+m)+A(1−m)=2A(1)A(1+m)+A(1-m)=2A(1), pentru orice număr real mm. c) Demonstrați că matricea A(m)A(m) este inversabilă, pentru orice număr real mm.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(−1−12−2)⇒det⁡(A(0))=∣−1−12−2∣=A(0)=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&-2\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0))=\begin{vmatrix}-1&-1\\2&-2\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=2−(−2)=4=2-(-2)=4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(1+m)+A(1−m)=(1+m−1−121+m−2)+(1−m−1−121−m−2)=(0−24−2)=A(1+m)+A(1-m)=\begin{pmatrix}1+m-1&-1\\2&1+m-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1-m-1&-1\\2&1-m-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\\4&-2\end{pmatrix}=
4
2 puncte
=2(0−12−1)=2A(1)=2\begin{pmatrix}0&-1\\2&-1\end{pmatrix}=2A(1), pentru orice număr real mm.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡(A(m))=∣m−1−12m−2∣=m2−3m+4\det(A(m))=\begin{vmatrix}m-1&-1\\2&m-2\end{vmatrix}=m^2-3m+4.
6
3 puncte
Pentru orice număr real mm, m2−3m+4≠0m^2-3m+4\neq 0, deci matricea A(m)A(m) este inversabilă.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−3xy+9x+9y−24x*y=-3xy+9x+9y-24. a) Arătați că x∗y=−3(x−3)(y−3)+3x*y=-3(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale xx și yy. b) Demonstrați că legea de compoziție „∗*" este asociativă. c) Determinați numărul real xx, pentru care (x∗x)∗x=12(x*x)*x=12.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∗y=−3xy+9x+9y−27+3=x*y=-3xy+9x+9y-27+3=
2
3 puncte
=−3x(y−3)+9(y−3)+3=−3(x−3)(y−3)+3=-3x(y-3)+9(y-3)+3=-3(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) (x∗y)∗z=(−3(x−3)(y−3)+3)∗z=9(x−3)(y−3)(z−3)+3(x*y)*z=(-3(x-3)(y-3)+3)*z=9(x-3)(y-3)(z-3)+3.
4
3 puncte
x∗(y∗z)=x∗(−3(y−3)(z−3)+3)=9(x−3)(y−3)(z−3)+3=(x∗y)∗zx*(y*z)=x*(-3(y-3)(z-3)+3)=9(x-3)(y-3)(z-3)+3=(x*y)*z, pentru orice numere reale xx, yy și zz, deci legea de compoziție „∗*" este asociativă.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (x∗x)∗x=9(x−3)3+3(x*x)*x=9(x-3)^3+3.
6
3 puncte
9(x−3)3+3=12⇔(x−3)3=1⇔x=49(x-3)^3+3=12 \Leftrightarrow (x-3)^3=1 \Leftrightarrow x=4.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡xf(x)=x^3-3\ln x. a) Arătați că f′(x)=3(x−1)(x2+x+1)xf'(x)=\frac{3(x-1)(x^2+x+1)}{x}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty). b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)≥1f(x)\geq 1, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=3x2−3x=3x3−3x=f'(x)=3x^2-\frac{3}{x}=\frac{3x^3-3}{x}=
2
2 puncte
=3(x3−1)x=3(x−1)(x2+x+1)x=\frac{3(x^3-1)}{x}=\frac{3(x-1)(x^2+x+1)}{x}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0(x3−3ln⁡x)=+∞\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}(x^3-3\ln x)=+\infty.
4
3 puncte
Dreapta de ecuație x=0x=0 este asimptotă verticală la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=1f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1. x∈(0,1]⇒f′(x)≤0x\in(0,1] \Rightarrow f'(x)\leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0,1]. x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0x\in[1,+\infty) \Rightarrow f'(x)\geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1,+\infty).
6
2 puncte
Cum f(1)=1f(1)=1, obținem f(x)≥1f(x)\geq 1, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+3f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}. a) Calculați ∫12(x2+3x+3)f(x) dx\displaystyle\int_1^2(x^2+3x+3)f(x)\,dx. b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x=0 și x=3x=3 are aria egală cu ln⁡7\ln 7. c) Demonstrați că ∫−10f′(x)f(x) dx=0\displaystyle\int_{-1}^0 f'(x)f(x)\,dx=0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(x2+3x+3)f(x) dx=∫12(2x+3) dx=(x2+3x)∣12=\displaystyle\int_1^2(x^2+3x+3)f(x)\,dx=\int_1^2(2x+3)\,dx=\left.(x^2+3x)\right|_1^2=
2
2 puncte
=10−4=6=10-4=6.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A=∫03∣f(x)∣ dx=∫032x+3x2+3x+3 dx=ln⁡(x2+3x+3)∣03=\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^3|f(x)|\,dx=\int_0^3\frac{2x+3}{x^2+3x+3}\,dx=\left.\ln(x^2+3x+3)\right|_0^3=
4
2 puncte
=ln⁡21−ln⁡3=ln⁡7=\ln 21-\ln 3=\ln 7.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫−10f′(x)f(x) dx=12f2(x)∣−10=\displaystyle\int_{-1}^0 f'(x)f(x)\,dx=\left.\frac{1}{2}f^2(x)\right|_{-1}^0=
6
2 puncte
=12(f2(0)−f2(−1))=12(1−1)=0=\frac{1}{2}(f^2(0)-f^2(-1))=\frac{1}{2}(1-1)=0.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2017 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2017 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac