BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2018 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul n=log⁡3(7−2)+log⁡3(7+2)n=\log_3(\sqrt{7}-2)+\log_3(\sqrt{7}+2) este natural.

Rezolvare

1
3 puncte
n=log⁡3((7−2)(7+2))=log⁡3(7−4)=n=\log_3((\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2))=\log_3(7-4)=
2
2 puncte
=log⁡33=1∈N=\log_3 3=1\in\mathbb{N}.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x)=2x-1 și g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+6x+3g(x)=x^2+6x+3.

Rezolvare

1
2 puncte
f(x)=g(x)⇔2x−1=x2+6x+3⇔x2+4x+4=0f(x)=g(x) \Leftrightarrow 2x-1=x^2+6x+3 \Leftrightarrow x^2+4x+4=0.
2
3 puncte
Coordonatele sunt x=−2x=-2 și y=f(−2)=−5y=f(-2)=-5.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x+2)3=(2−x)3(x+2)^3=(2-x)^3.

Rezolvare

1
3 puncte
(x+2)3=(2−x)3⇔x+2=2−x(x+2)^3=(2-x)^3 \Leftrightarrow x+2=2-x.
2
2 puncte
x=0x=0.
Exercițiul 4
Calculați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulțimii {0,2,4,6,8}\{0,2,4,6,8\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra zecilor poate fi aleasă în 44 moduri.
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în 44 moduri, deci se pot forma 4⋅4=164\cdot 4=16 numere.
Exercițiul 5
Punctele MM, NN și PP verifică relația 2MN⃗+3NP⃗=0⃗2\vec{MN}+3\vec{NP}=\vec{0}. Calculați lungimea segmentului MPMP, știind că MN=3MN=3.

Rezolvare

1
2 puncte
NP=2NP=2.
2
3 puncte
Punctul PP aparține segmentului MNMN, deci MP=MN−NP=1MP=MN-NP=1.
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡x+sin⁡(π−x)+sin⁡(π+x)+sin⁡(2π−x)=0\sin x+\sin(\pi-x)+\sin(\pi+x)+\sin(2\pi-x)=0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x, sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x, sin⁡(2π−x)=−sin⁡x\sin(2\pi-x)=-\sin x.
2
2 puncte
sin⁡x+sin⁡x+(−sin⁡x)+(−sin⁡x)=0\sin x+\sin x+(-\sin x)+(-\sin x)=0, pentru orice număr real xx.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x,y)=(xy11xyx1y)A(x,y)=\begin{pmatrix}x&y&1\\1&x&y\\x&1&y\end{pmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale. a) Arătați că det⁡(A(2,3))=12\det(A(2,3))=12. b) Demonstrați că det⁡(A(n2,n))≥0\det(A(n^2,n))\geq 0, pentru orice număr natural nn. c) Determinați numărul real xx pentru care inversa matricei B=A(x,0)⋅A(x,0)B=A(x,0)\cdot A(x,0) este matricea A(x,0)A(x,0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(2,3)=(231123213)⇒det⁡(A(2,3))=∣231123213∣=A(2,3)=\begin{pmatrix}2&3&1\\1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2,3))=\begin{vmatrix}2&3&1\\1&2&3\\2&1&3\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=12+1+18−4−6−9=12=12+1+18-4-6-9=12.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(n2,n))=(n2+n+1)∣1n10n2−nn−101−nn−1∣=\det(A(n^2,n))=(n^2+n+1)\begin{vmatrix}1&n&1\\0&n^2-n&n-1\\0&1-n&n-1\end{vmatrix}=
4
2 puncte
=(n2+n+1)(n−1)2(n+1)≥0=(n^2+n+1)(n-1)^2(n+1)\geq 0, pentru orice număr natural nn.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Inversa matricei BB este matricea A(x,0)⇔B⋅A(x,0)=A(x,0)⋅A(x,0)⋅A(x,0)=I3A(x,0) \Leftrightarrow B\cdot A(x,0)=A(x,0)\cdot A(x,0)\cdot A(x,0)=I_3.
6
2 puncte
Deci x=0x=0.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=nXn+X2−nX−1f=nX^n+X^2-nX-1, unde nn este număr natural, n≥3n\geq 3. a) Arătați că f(1)=0f(1)=0, pentru orice număr natural nn, n≥3n\geq 3. b) Arătați că, dacă nn este număr natural impar, n≥3n\geq 3, atunci polinomul ff este divizibil cu X2−1X^2-1. c) Arătați că, pentru orice număr natural nn, n≥5n\geq 5, polinomul ff nu are rădăcini în mulțimea Q∖Z\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=n⋅1n+12−n⋅1−1=f(1)=n\cdot 1^n+1^2-n\cdot 1-1=
2
2 puncte
=n+1−n−1=0=n+1-n-1=0, pentru orice număr natural nn, n≥3n\geq 3.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Pentru nn număr natural impar, n≥3n\geq 3, f(−1)=n⋅(−1)n+(−1)2−n⋅(−1)−1=0f(-1)=n\cdot(-1)^n+(-1)^2-n\cdot(-1)-1=0, deci polinomul ff este divizibil cu X+1X+1.
4
3 puncte
f(1)=0⇒ff(1)=0 \Rightarrow f este divizibil cu X−1X-1, deci polinomul ff este divizibil cu X2−1X^2-1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Dacă α=1d∈Q∖Z\alpha=\frac{1}{d}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} este o rădăcină a polinomului ff, unde d∈Z∗∖{±1}d\in\mathbb{Z}^*\setminus\{\pm 1\} este un divizor al lui nn, atunci f(α)=0⇒dn−2(d2+nd−1)=n⇒∣d∣n−2≤nf(\alpha)=0 \Rightarrow d^{n-2}(d^2+nd-1)=n \Rightarrow |d|^{n-2}\leq n.
6
2 puncte
Cum ∣d∣n−2≥2n−2>n|d|^{n-2}\geq 2^{n-2}>n pentru orice număr natural nn, n≥5n\geq 5, obținem o contradicție, deci polinomul ff nu are rădăcini în mulțimea Q∖Z\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=arctg⁡x−xf(x)=\operatorname{arctg} x-x. a) Arătați că f′(x)=−x2x2+1f'(x)=-\frac{x^2}{x^2+1}, x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)+g(x)=π2f(x)+g(x)=\frac{\pi}{2}, pentru orice număr real xx, unde g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=arcctg⁡x+xg(x)=\operatorname{arcctg} x+x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(arctg⁡x)′−(x)′=1x2+1−1=f'(x)=(\operatorname{arctg} x)'-(x)'=\frac{1}{x^2+1}-1=
2
3 puncte
=1−x2−1x2+1=−x2x2+1=\frac{1-x^2-1}{x^2+1}=-\frac{x^2}{x^2+1}, x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(arctg⁡xx−1)=−1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\operatorname{arctg} x}{x}-1\right)=-1.
4
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)+x)=lim⁡x→+∞(arctg⁡x−x+x)=π2\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)+x)=\lim_{x\to+\infty}(\operatorname{arctg} x-x+x)=\frac{\pi}{2}, deci dreapta de ecuație y=−x+π2y=-x+\frac{\pi}{2} este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f(x)+g(x)=arctg⁡x+arcctg⁡xf(x)+g(x)=\operatorname{arctg} x+\operatorname{arcctg} x, x∈R⇒(f(x)+g(x))′=1x2+1+−1x2+1=0x\in\mathbb{R} \Rightarrow (f(x)+g(x))'=\frac{1}{x^2+1}+\frac{-1}{x^2+1}=0, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Cum f(0)+g(0)=π2f(0)+g(0)=\frac{\pi}{2}, obținem că f(x)+g(x)=π2f(x)+g(x)=\frac{\pi}{2}, pentru orice număr real xx.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^2}. a) Arătați că ∫01f(x) dx=e−1e\displaystyle\int_0^1 f(\sqrt{x})\,dx=\frac{e-1}{e}. b) Arătați că orice primitivă a funcției ff este concavă pe (0,+∞)(0,+\infty). c) Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫1n1f(x) dxI_n=\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^1 f(x)\,dx. Demonstrați că șirul (In)n≥1(I_n)_{n\geq 1} este convergent.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01f(x) dx=∫01e−x dx=−e−x∣01=\displaystyle\int_0^1 f(\sqrt{x})\,dx=\int_0^1 e^{-x}\,dx=\left.-e^{-x}\right|_0^1=
2
2 puncte
=−1e+1=e−1e=-\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) FF este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)f \Rightarrow F'(x)=f(x), x∈Rx\in\mathbb{R}.
4
3 puncte
F′′(x)=−2xe−x2<0F''(x)=-2xe^{-x^2}<0 pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty), deci funcția FF este concavă pe (0,+∞)(0,+\infty).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) In+1−In=∫1n+11f(x) dx−∫1n1f(x) dx=∫1n+11nf(x) dx≥0I_{n+1}-I_n=\displaystyle\int_{\frac{1}{n+1}}^1 f(x)\,dx-\int_{\frac{1}{n}}^1 f(x)\,dx=\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} f(x)\,dx\geq 0, deci In+1≥InI_{n+1}\geq I_n. 0≤In=∫1n1e−x2 dx≤∫1n11 dx=1−1n<10\leq I_n=\int_{\frac{1}{n}}^1 e^{-x^2}\,dx\leq\int_{\frac{1}{n}}^1 1\,dx=1-\frac{1}{n}<1, pentru orice număr natural nenul nn.
6
2 puncte
Șirul (In)n≥1(I_n)_{n\geq 1} este monoton și mărginit, deci șirul (In)n≥1(I_n)_{n\geq 1} este convergent.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2018 — Tehnologic

Următor →

Simulare XI 2018 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac