BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2018 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că suma elementelor mulțimii {n∈N ∣ n(n+2)<14}\{n\in\mathbb{N}\,|\,n(n+2)<14\} este egală cu 33.

Rezolvare

1
3 puncte
n(n+2)<14n(n+2)<14 și n∈N⇒n=0n\in\mathbb{N} \Rightarrow n=0 sau n=1n=1 sau n=2n=2.
2
2 puncte
Suma elementelor mulțimii este egală cu 0+1+2=30+1+2=3.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x)=ax+b. Determinați numerele reale aa și bb, știind că f(0)=1f(0)=1 și f(x+1)=f(x)+2f(x+1)=f(x)+2, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
b=1b=1.
2
3 puncte
a(x+1)+1=ax+1+2a(x+1)+1=ax+1+2, pentru orice număr real x⇒a=2x \Rightarrow a=2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația (x+5)2−9>0(x+5)^2-9>0.

Rezolvare

1
2 puncte
(x+2)(x+8)>0(x+2)(x+8)>0.
2
3 puncte
Mulțimea soluțiilor inecuației este (−∞,−8)∪(−2,+∞)(-\infty,-8)\cup(-2,+\infty).
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor ordonate cu două elemente ale mulțimii {1,3,5,7,9}\{1,3,5,7,9\}.

Rezolvare

1
3 puncte
Numărul submulțimilor ordonate cu două elemente din {1,3,5,7,9}\{1,3,5,7,9\} este egal cu A52=A_5^2=
2
2 puncte
=20=20.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,2)A(0,2), B(3,5)B(3,5) și C(−1,3)C(-1,3). Determinați coordonatele simetricului punctului AA față de mijlocul segmentului BCBC.

Rezolvare

1
2 puncte
M(1,4)M(1,4) este mijlocul segmentului BCBC.
2
3 puncte
Coordonatele simetricului punctului AA față de punctul MM sunt x=2x=2 și y=6y=6.
Exercițiul 6
Calculați sinusul unghiului DD al triunghiului DEFDEF, știind că semiperimetrul triunghiului DEFDEF este egal cu 66, DE=4DE=4 și DF=5DF=5.

Rezolvare

1
2 puncte
EF=3EF=3.
2
3 puncte
△DEF\triangle DEF este dreptunghic în EE, deci sin⁡D=35\sin D=\frac{3}{5}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1010−111−10)A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-1&1\\1&-1&0\end{pmatrix} și I3=(100010001)I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=2\det A=2. b) Determinați numerele reale xx și yy pentru care A⋅A⋅A=xA+yI3A\cdot A\cdot A=xA+yI_3. c) Determinați inversa matricei B=A+I3B=A+I_3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣1010−111−10∣=0+0+0−(−1)−(−1)−0=\det A=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&-1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=0+0+0-(-1)-(-1)-0=
2
2 puncte
=1+1=2=1+1=2.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A⋅A=(2−1110−1110)A\cdot A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&0&-1\\1&1&0\end{pmatrix}, A⋅A⋅A=(3010111−12)A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}3&0&1\\0&1&1\\1&-1&2\end{pmatrix}.
4
3 puncte
(3010111−12)=x(1010−111−10)+y(100010001)⇔x=1\begin{pmatrix}3&0&1\\0&1&1\\1&-1&2\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \Leftrightarrow x=1, y=2y=2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) B=(2010011−11)⇒det⁡B=2B=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det B=2.
6
3 puncte
B−1=(12−1201212−1010)B^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-1\\0&1&0\end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=(0,+∞)M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x2log⁡3yx\circ y=x^{2\log_3 y}. a) Arătați că 2∘9=162\circ 9=16. b) Determinați numărul real xx, x∈Mx\in M pentru care x∘3=25x\circ 3=25. c) Demonstrați că legea de compoziție „∘\circ" este comutativă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2∘9=22log⁡39=22⋅2=2\circ 9=2^{2\log_3 9}=2^{2\cdot 2}=
2
2 puncte
=24=16=2^4=16.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x2log⁡33=25⇔x2=25x^{2\log_3 3}=25 \Leftrightarrow x^2=25.
4
3 puncte
x=−5x=-5 care nu convine, x=5x=5 care convine.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x∘y=x2log⁡3y=xlog⁡3y2=(y2)log⁡3x=x\circ y=x^{2\log_3 y}=x^{\log_3 y^2}=(y^2)^{\log_3 x}=
6
2 puncte
=y2log⁡3x=y∘x=y^{2\log_3 x}=y\circ x, pentru orice x,y∈Mx,y\in M.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx−1f(x)=\frac{e^x}{x-1}. a) Arătați că f′(x)=ex(x−2)(x−1)2f'(x)=\frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty). b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Demonstrați că ex−2−x+1≥0e^{x-2}-x+1\geq 0, pentru orice x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(ex)′⋅(x−1)−ex⋅(x−1)′(x−1)2=f'(x)=\frac{(e^x)'\cdot(x-1)-e^x\cdot(x-1)'}{(x-1)^2}=
2
3 puncte
=ex(x−1)−ex(x−1)2=ex(x−2)(x−1)2=\frac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2}=\frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇔x=2f'(x)=0 \Leftrightarrow x=2.
4
3 puncte
x∈(1,2]⇒f′(x)≤0x\in(1,2] \Rightarrow f'(x)\leq 0, deci ff este descrescătoare pe (1,2](1,2] și x∈[2,+∞)⇒f′(x)≥0x\in[2,+\infty) \Rightarrow f'(x)\geq 0, deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2,+\infty).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f(x)≥f(2)f(x)\geq f(2), pentru orice x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty).
6
3 puncte
f(2)=e2f(2)=e^2, deci exx−1≥e2⇔ex−2x−1≥1⇔ex−2−x+1≥0\frac{e^x}{x-1}\geq e^2 \Leftrightarrow \frac{e^{x-2}}{x-1}\geq 1 \Leftrightarrow e^{x-2}-x+1\geq 0, pentru orice x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x. a) Arătați că ∫0π3f(x) dx=12\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}}f(x)\,dx=\frac{1}{2}. b) Arătați că ∫0π2xf(x) dx=1\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}xf(x)\,dx=1. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,π4]→Rg:\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x)=f(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫0π3f(x) dx=∫0π3sin⁡x dx=−cos⁡x∣0π3=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_0^{\frac{\pi}{3}}=
2
2 puncte
=−12+1=12=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫0π2xsin⁡x dx=∫0π2x(−cos⁡x)′ dx=−xcos⁡x∣0π2+∫0π2cos⁡x dx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x(-\cos x)'\,dx=\left.-x\cos x\right|_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=
4
2 puncte
=−π2⋅cos⁡π2+0⋅cos⁡0+sin⁡x∣0π2=sin⁡π2−sin⁡0=1=-\frac{\pi}{2}\cdot\cos\frac{\pi}{2}+0\cdot\cos 0+\left.\sin x\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) V=π∫0π4g2(x) dx=π∫0π4sin⁡2x dx=π∫0π41−cos⁡2x2 dx=V=\pi\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}g^2(x)\,dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^2 x\,dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=
6
3 puncte
=π2x∣0π4−π4sin⁡2x∣0π4=π28−π4=π(π−2)8=\frac{\pi}{2}\left.x\right|_0^{\frac{\pi}{4}}-\frac{\pi}{4}\left.\sin 2x\right|_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi^2}{8}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi(\pi-2)}{8}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2018 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare XI 2018 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac