BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2018 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul n=8(2+1)−22n=\sqrt{8(\sqrt{2}+1)-2\sqrt{2}} este pătratul unui număr natural.

Rezolvare

1
2 puncte
n=16+82−22=n=\sqrt{16+8\sqrt{2}-2\sqrt{2}}=
2
3 puncte
=4+22−22=4=22=\sqrt{4+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}}=4=2^2.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+2f(x)=x^2-x+2 și g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+1g(x)=x+1. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=g(a)f(a)=g(a).

Rezolvare

1
2 puncte
f(a)=a2−a+2f(a)=a^2-a+2, g(a)=a+1g(a)=a+1.
2
3 puncte
a2−a+2=a+1⇔a2−2a+1=0⇔a=1a^2-a+2=a+1 \Leftrightarrow a^2-2a+1=0 \Leftrightarrow a=1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2−6x+5=x−1\sqrt{2x^2-6x+5}=x-1.

Rezolvare

1
3 puncte
2x2−6x+5=x2−2x+1⇒x2−4x+4=02x^2-6x+5=x^2-2x+1 \Rightarrow x^2-4x+4=0.
2
2 puncte
x=2x=2 care convine.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Prima cifră se poate alege în 55 moduri. Pentru fiecare alegere a primei cifre, a doua cifră se poate alege în câte 44 moduri.
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a primelor două cifre, a treia cifră se poate alege în câte 33 moduri, deci se pot forma 5⋅4⋅3=605\cdot 4\cdot 3=60 de numere.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,1)A(2,1) și B(3,0)B(3,0). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin mijlocul segmentului AOAO și este paralelă cu dreapta ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
mAB=−1m_{AB}=-1, deci panta dreptei dd este md=−1m_d=-1.
2
3 puncte
Mijlocul segmentului OAOA este punctul M(1,12)M\left(1,\frac{1}{2}\right), deci ecuația dreptei dd este y=−x+32y=-x+\frac{3}{2}.
Exercițiul 6
Arătați că (sin⁡x+7cos⁡x)2+(7sin⁡x−cos⁡x)2=50(\sin x+7\cos x)^2+(7\sin x-\cos x)^2=50, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
(sin⁡x+7cos⁡x)2=sin⁡2x+14sin⁡xcos⁡x+49cos⁡2x(\sin x+7\cos x)^2=\sin^2 x+14\sin x\cos x+49\cos^2 x.
2
3 puncte
(7sin⁡x−cos⁡x)2=49sin⁡2x−14sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x⇒(sin⁡x+7cos⁡x)2+(7sin⁡x−cos⁡x)2=50sin⁡2x+50cos⁡2x=50(sin⁡2x+cos⁡2x)=50(7\sin x-\cos x)^2=49\sin^2 x-14\sin x\cos x+\cos^2 x \Rightarrow (\sin x+7\cos x)^2+(7\sin x-\cos x)^2=50\sin^2 x+50\cos^2 x=50(\sin^2 x+\cos^2 x)=50, pentru orice număr real xx.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(m)=(12mm+1)A(m)=\begin{pmatrix}1&2\\m&m+1\end{pmatrix}, unde mm este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0))=1. b) Demonstrați că A(m)+A(−m)=2A(0)A(m)+A(-m)=2A(0), pentru orice număr real mm. c) Determinați matricea X∈M2(R)X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A(2)⋅X=A(5)A(2)\cdot X=A(5).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(1201)⇒det⁡(A(0))=∣1201∣=A(0)=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=1−0=1=1-0=1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(m)+A(−m)=(12mm+1)+(12−m−m+1)=(2402)=A(m)+A(-m)=\begin{pmatrix}1&2\\m&m+1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\-m&-m+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}=
4
2 puncte
=2(1201)=2A(0)=2\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=2A(0), pentru orice număr real mm.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(2)=(1223)A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}, det⁡(A(2))=−1⇒(A(2))−1=(−322−1)\det(A(2))=-1 \Rightarrow (A(2))^{-1}=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}.
6
2 puncte
X=(A(2))−1⋅A(5)⇒X=(−322−1)(1256)⇒X=(76−3−2)X=(A(2))^{-1}\cdot A(5) \Rightarrow X=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\5&6\end{pmatrix} \Rightarrow X=\begin{pmatrix}7&6\\-3&-2\end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3xy+3x+3y+2x\circ y=3xy+3x+3y+2. a) Arătați că x∘y=3(x+1)(y+1)−1x\circ y=3(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale xx și yy. b) Arătați că x∘(−23)=xx\circ\left(-\frac{2}{3}\right)=x, pentru orice număr real xx. c) Determinați numerele naturale nn pentru care n∘(n−1)<17n\circ(n-1)<17.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∘y=3xy+3x+3y+3−1=x\circ y=3xy+3x+3y+3-1=
2
3 puncte
=3x(y+1)+3(y+1)−1=3(x+1)(y+1)−1=3x(y+1)+3(y+1)-1=3(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∘(−23)=3(x+1)(−23+1)−1=3(x+1)⋅13−1=x\circ\left(-\frac{2}{3}\right)=3(x+1)\left(-\frac{2}{3}+1\right)-1=3(x+1)\cdot\frac{1}{3}-1=
4
2 puncte
=x+1−1=x=x+1-1=x, pentru orice număr real xx.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 3(n+1)(n−1+1)<17+1⇔n2+n−6<03(n+1)(n-1+1)<17+1 \Leftrightarrow n^2+n-6<0.
6
2 puncte
n∈(−3,2)n\in(-3,2) și, cum nn este număr natural, obținem n=0n=0, n=1n=1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(2,+∞)→Rf:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6xx−2f(x)=\frac{x^2+6x}{x-2}. a) Arătați că f′(x)=(x−6)(x+2)(x−2)2f'(x)=\frac{(x-6)(x+2)}{(x-2)^2}, x∈(2,+∞)x\in(2,+\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff nu are puncte de inflexiune.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x+6)(x−2)−(x2+6x)⋅1(x−2)2=f'(x)=\frac{(2x+6)(x-2)-(x^2+6x)\cdot 1}{(x-2)^2}=
2
2 puncte
=x2−4x−12(x−2)2=(x−6)(x+2)(x−2)2=\frac{x^2-4x-12}{(x-2)^2}=\frac{(x-6)(x+2)}{(x-2)^2}, x∈(2,+∞)x\in(2,+\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2+6xx(x−2)=1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+6x}{x(x-2)}=1.
4
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞x2+6x−x2+2xx−2=lim⁡x→+∞8xx−2=8\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+6x-x^2+2x}{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{8x}{x-2}=8, deci dreapta de ecuație y=x+8y=x+8 este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′′(x)=32(x−2)3f''(x)=\frac{32}{(x-2)^3}, x∈(2,+∞)x\in(2,+\infty).
6
2 puncte
f′′(x)>0f''(x)>0, pentru orice x∈(2,+∞)⇒fx\in(2,+\infty) \Rightarrow f nu are puncte de inflexiune.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1ex+1f(x)=\frac{1}{e^x+1}. a) Arătați că ∫01(ex+1)f(x) dx=1\displaystyle\int_0^1(e^x+1)f(x)\,dx=1. b) Arătați că ∫01xf(x) dx=32\displaystyle\int_0^1\frac{x}{f(x)}\,dx=\frac{3}{2}. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,1]→Rg:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=exf(x)g(x)=\sqrt{e^xf(x)}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(ex+1)f(x) dx=∫01(ex+1)⋅1ex+1 dx=∫011 dx=x∣01=\displaystyle\int_0^1(e^x+1)f(x)\,dx=\int_0^1(e^x+1)\cdot\frac{1}{e^x+1}\,dx=\int_0^1 1\,dx=\left.x\right|_0^1=
2
2 puncte
=1−0=1=1-0=1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫01xf(x) dx=∫01x(ex+1) dx=∫01xex dx+∫01x dx=\displaystyle\int_0^1\frac{x}{f(x)}\,dx=\int_0^1 x(e^x+1)\,dx=\int_0^1 xe^x\,dx+\int_0^1 x\,dx=
4
3 puncte
=(x−1)ex∣01+x22∣01=1+12=32=\left.(x-1)e^x\right|_0^1+\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) g(x)=exex+1⇒V=π∫01g2(x) dx=π∫01exex+1 dx=g(x)=\sqrt{\frac{e^x}{e^x+1}} \Rightarrow V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx=\pi\int_0^1\frac{e^x}{e^x+1}\,dx=
6
3 puncte
=πln⁡(ex+1)∣01=πln⁡e+12=\pi\left.\ln(e^x+1)\right|_0^1=\pi\ln\frac{e+1}{2}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2018 — Științele Naturii

Următor →

Simulare XI 2018 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac