BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2019 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați elementele mulțimii M={x∈Z | 3x+1∈N}M=\left\{x\in\mathbb{Z}\,\middle|\,\frac{3}{x+1}\in\mathbb{N}\right\}.

Rezolvare

1
3 puncte
3x+1∈N⇒x+1=1\frac{3}{x+1}\in\mathbb{N} \Rightarrow x+1=1 sau x+1=3x+1=3.
2
2 puncte
Elementele mulțimii MM sunt 00 și 22.
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1 și x2x_2 soluțiile ecuației x2−mx−1=0x^2-mx-1=0, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm, știind că x12−1x1+x22−1x2=2\frac{x_1^2-1}{x_1}+\frac{x_2^2-1}{x_2}=2.

Rezolvare

1
2 puncte
x12−1=mx1x_1^2-1=mx_1, x22−1=mx2x_2^2-1=mx_2, pentru orice număr real mm.
2
3 puncte
mx1x1+mx2x2=2\frac{mx_1}{x_1}+\frac{mx_2}{x_2}=2, deci m=1m=1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2−x−x=0\sqrt{2-x}-x=0.

Rezolvare

1
3 puncte
2−x=x⇒2−x=x2⇒x2+x−2=0\sqrt{2-x}=x \Rightarrow 2-x=x^2 \Rightarrow x^2+x-2=0.
2
2 puncte
x=−2x=-2, care nu convine sau x=1x=1, care convine.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={log⁡2n | n∈N∗, n≤20}A=\left\{\log_2 n\,\middle|\,n\in\mathbb{N}^*,\,n\leq 20\right\}, acesta să fie număr natural.

Rezolvare

1
1 punct
În mulțimea AA sunt 2020 de numere, deci sunt 2020 de cazuri posibile.
2
2 puncte
Pentru n≤20n\leq 20, obținem log⁡2n∈N⇔n∈{1,2,4,8,16}\log_2 n\in\mathbb{N} \Leftrightarrow n\in\{1,2,4,8,16\}, deci sunt 55 cazuri favorabile.
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=520=14p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(0,2)M(0,2) și P(1,1)P(1,1). Determinați ecuația mediatoarei segmentului MPMP.

Rezolvare

1
2 puncte
mMP=−1m_{MP}=-1, deci panta mediatoarei segmentului MPMP este m=1m=1.
2
3 puncte
Q(12,32)Q\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) este mijlocul lui MPMP, deci ecuația mediatoarei este y−32=x−12⇔y=x+1y-\frac{3}{2}=x-\frac{1}{2} \Leftrightarrow y=x+1.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=52AB=5\sqrt{2}, m(∡A)=45°m(\measuredangle A)=45° și m(∡C)=30°m(\measuredangle C)=30°. Determinați lungimea laturii BCBC.

Rezolvare

1
3 puncte
ABsin⁡C=BCsin⁡A⇔5212=BC22\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A} \Leftrightarrow \frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.
2
2 puncte
BC=10BC=10.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea M(m)=(124−1m−1m13)M(m)=\begin{pmatrix}1&2&4\\-1&m&-1\\m&1&3\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+2y+4z=5−x+my−z=−2mx+y+3z=4\begin{cases}x+2y+4z=5\\-x+my-z=-2\\mx+y+3z=4\end{cases}, unde mm este număr real. a) Arătați că det⁡(M(0))=3\det(M(0))=3. b) Determinați valorile reale ale lui mm pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru m=1m=1, determinați soluțiile (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) ale sistemului pentru care 4y02=(x0+z0)24y_0^2=(x_0+z_0)^2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) M(0)=(124−10−1013)⇒det⁡(M(0))=∣124−10−1013∣=M(0)=\begin{pmatrix}1&2&4\\-1&0&-1\\0&1&3\end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(0))=\begin{vmatrix}1&2&4\\-1&0&-1\\0&1&3\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=0+(−4)+0−0−(−6)−(−1)=3=0+(-4)+0-0-(-6)-(-1)=3.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) det⁡(M(m))=∣124−1m−1m13∣=−4m2+m+3\det(M(m))=\begin{vmatrix}1&2&4\\-1&m&-1\\m&1&3\end{vmatrix}=-4m^2+m+3, pentru orice număr real mm.
4
3 puncte
det⁡(M(m))=0⇔m=−34\det(M(m))=0 \Leftrightarrow m=-\frac{3}{4} sau m=1m=1, deci sistemul are soluție unică pentru m∈R∖{−34,1}m\in\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{3}{4},1\right\}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Pentru m=1m=1, sistemul este compatibil nedeterminat și soluțiile sistemului sunt (3−2α,1−α,α)(3-2\alpha,1-\alpha,\alpha), unde α∈R\alpha\in\mathbb{R}.
6
2 puncte
4(1−α)2=(3−α)2⇔α=−14(1-\alpha)^2=(3-\alpha)^2 \Leftrightarrow \alpha=-1 sau α=53\alpha=\frac{5}{3}, deci soluțiile sunt (5,2,−1)(5,2,-1) sau (−13,−23,53)\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right).
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, x∗y=13xy−12(x+y)+94x*y=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{9}{4}. a) Demonstrați că x∗y=13(x−32)(y−32)+32x*y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗x∗x=xx*x*x=x. c) Demonstrați că nu există niciun număr natural nn al cărui simetric în raport cu legea de compoziție \u201e∗*\u201d să fie număr natural.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∗y=13xy−12x−12y+34+64=x*y=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}+\frac{6}{4}=
2
3 puncte
=13x(y−32)−12(y−32)+32=13(x−32)(y−32)+32=\frac{1}{3}x\left(y-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗x=13(x−32)2+32x*x=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}, x∗x∗x=19(x−32)3+32x*x*x=\frac{1}{9}\left(x-\frac{3}{2}\right)^3+\frac{3}{2}.
4
3 puncte
19(x−32)3+32=x⇔x=−32\frac{1}{9}\left(x-\frac{3}{2}\right)^3+\frac{3}{2}=x \Leftrightarrow x=-\frac{3}{2} sau x=32x=\frac{3}{2} sau x=92x=\frac{9}{2}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗92=92∗x=xx*\frac{9}{2}=\frac{9}{2}*x=x, pentru orice număr real xx, deci e=92e=\frac{9}{2} este elementul neutru al legii \u201e∗*\u201d.
6
3 puncte
n∗n′=n′∗n=92⇔4nn′−6n−6n′=27n*n'=n'*n=\frac{9}{2} \Leftrightarrow 4nn'-6n-6n'=27, unde n′n' este simetricul lui nn și, cum pentru n,n′∈Nn,n'\in\mathbb{N}, numărul 4nn′−6n−6n′4nn'-6n-6n' este par, obținem că nu există niciun număr natural nn al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „∗*" să fie număr natural.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(x2+x+1)f(x)=x-\ln(x^2+x+1). a) Arătați că f′(x)=x(x−1)x2+x+1f'(x)=\frac{x(x-1)}{x^2+x+1}, x∈Rx\in\mathbb{R}. b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției ff în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu dreapta de ecuație y=−17x+2y=-\frac{1}{7}x+2. c) Demonstrați că pentru fiecare număr natural nenul nn, ecuația f(x)+n=0f(x)+n=0 are soluție unică.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=1−2x+1x2+x+1=f'(x)=1-\frac{2x+1}{x^2+x+1}=
2
2 puncte
=x2−xx2+x+1=x(x−1)x2+x+1=\frac{x^2-x}{x^2+x+1}=\frac{x(x-1)}{x^2+x+1}, x∈Rx\in\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Tangenta la graficul funcției ff în punctul (a,f(a))(a,f(a)) este paralelă cu dreapta de ecuație y=−17x+2⇔f′(a)=−17y=-\frac{1}{7}x+2 \Leftrightarrow f'(a)=-\frac{1}{7}.
4
3 puncte
a(a−1)a2+a+1=−17⇔8a2−6a+1=0⇔a=14\frac{a(a-1)}{a^2+a+1}=-\frac{1}{7} \Leftrightarrow 8a^2-6a+1=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{4} sau a=12a=\frac{1}{2}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ff continuă pe R\mathbb{R}, lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, f(0)=0f(0)=0, f(1)=1−ln⁡3∈(−1,0)f(1)=1-\ln 3\in(-1,0).
6
2 puncte
ff este strict descrescătoare pe (0,1)(0,1) și ff este strict crescătoare pe (1,+∞)(1,+\infty), deci, pentru fiecare n∈N∗n\in\mathbb{N}^*, ecuația f(x)+n=0f(x)+n=0 nu are nicio soluție în [0,+∞)[0,+\infty). ff este strict crescătoare pe (−∞,0)⇒(-\infty,0) \Rightarrow pentru fiecare n∈N∗n\in\mathbb{N}^*, ecuația f(x)+n=0f(x)+n=0 are soluție unică în (−∞,0)(-\infty,0), deci pentru fiecare n∈N∗n\in\mathbb{N}^*, ecuația f(x)+n=0f(x)+n=0 are soluție unică.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xexf(x)=\frac{x}{e^x}. a) Arătați că ∫02exf(x) dx=2\displaystyle\int_0^2 e^x f(x)\,dx=2. b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=−1x=-1 și x=1x=1 are aria egală cu 2−2e2-\frac{2}{e}. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră In=∫01xnf(x) dxI_n=\displaystyle\int_0^1 x^n f(x)\,dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞(n+2)In=1e\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+2)I_n=\frac{1}{e}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02exf(x) dx=∫02ex⋅xex dx=∫02x dx=x22∣02=\displaystyle\int_0^2 e^x f(x)\,dx=\int_0^2 e^x\cdot\frac{x}{e^x}\,dx=\int_0^2 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^2=
2
2 puncte
=2−0=2=2-0=2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A=∫−11∣f(x)∣ dx=∫−10−xe−x dx+∫01xe−x dx=(x+1)e−x∣−10−(x+1)e−x∣01=\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-1}^{1}|f(x)|\,dx=\int_{-1}^{0}-xe^{-x}\,dx+\int_0^1 xe^{-x}\,dx=\left.(x+1)e^{-x}\right|_{-1}^{0}-\left.(x+1)e^{-x}\right|_0^1=
4
2 puncte
=1−2e+1=2−2e=1-\frac{2}{e}+1=2-\frac{2}{e}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (n+2)In=(n+2)∫01xnf(x) dx=(n+2)∫01xn+1e−x dx=∫01(xn+2)′e−x dx=1e+∫01xn+2e−x dx(n+2)I_n=(n+2)\displaystyle\int_0^1 x^n f(x)\,dx=(n+2)\int_0^1 x^{n+1}e^{-x}\,dx=\int_0^1 (x^{n+2})'e^{-x}\,dx=\frac{1}{e}+\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx.
6
3 puncte
0≤x≤1⇒1e≤e−x≤1⇒1e⋅xn+2≤xn+2e−x≤xn+2⇒1e∫01xn+2 dx≤∫01xn+2e−x dx≤∫01xn+2 dx0\leq x\leq 1 \Rightarrow \frac{1}{e}\leq e^{-x}\leq 1 \Rightarrow \frac{1}{e}\cdot x^{n+2}\leq x^{n+2}e^{-x}\leq x^{n+2} \Rightarrow \frac{1}{e}\int_0^1 x^{n+2}\,dx\leq\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx\leq\int_0^1 x^{n+2}\,dx. Cum lim⁡n→+∞∫01xn+2 dx=lim⁡n→+∞1n+3=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 x^{n+2}\,dx=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+3}=0, obținem lim⁡n→+∞∫01xn+2e−x dx=0⇒lim⁡n→+∞(n+2)In=1e\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx=0 \Rightarrow \lim_{n\to+\infty}(n+2)I_n=\frac{1}{e}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2019 — Tehnologic

Următor →

Simulare XI 2019 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac