BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2019 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul a=(11−i−11+i)2a=\left(\frac{1}{1-i}-\frac{1}{1+i}\right)^2 este întreg, unde i2=−1i^2=-1.

Rezolvare

1
3 puncte
11−i−11+i=(1+i)−(1−i)12−i2=2i2=i\frac{1}{1-i}-\frac{1}{1+i}=\frac{(1+i)-(1-i)}{1^2-i^2}=\frac{2i}{2}=i.
2
2 puncte
a=i2=−1a=i^2=-1, care este număr întreg.
Exercițiul 2
Determinați cel mai mare număr natural mm pentru care soluțiile ecuației x2−7x+m=0x^2-7x+m=0 sunt numere reale.

Rezolvare

1
2 puncte
Δ=49−4m\Delta=49-4m.
2
3 puncte
Δ≥0⇔m∈(−∞,494]\Delta\geq 0 \Leftrightarrow m\in\left(-\infty,\frac{49}{4}\right], deci cel mai mare număr natural mm pentru care soluțiile ecuației sunt numere reale este 1212.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+3x+1+3x+2=1173^x+3^{x+1}+3^{x+2}=117.

Rezolvare

1
3 puncte
3x(1+3+32)=117⇔3x=93^x(1+3+3^2)=117 \Leftrightarrow 3^x=9.
2
2 puncte
x=2x=2.
Exercițiul 4
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 3636 de submulțimi cu două elemente.

Rezolvare

1
3 puncte
Cn2=36C_n^2=36, unde nn este numărul de elemente ale mulțimii.
2
2 puncte
n(n−1)2=36\frac{n(n-1)}{2}=36, deci n=9n=9.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,1)A(-1,1), B(3,−3)B(3,-3) și C(3,0)C(3,0). Determinați ecuația medianei din CC a triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
Mijlocul segmentului ABAB este punctul M(1,−1)M(1,-1).
2
3 puncte
Ecuația medianei din CC este y+1=12(x−1)y+1=\frac{1}{2}(x-1), deci y=12x−32y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}.
Exercițiul 6
Determinați x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) pentru care cos⁡xsin⁡(π−x)−sin⁡xcos⁡(π+x)=1\cos x\sin(\pi-x)-\sin x\cos(\pi+x)=1.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡xsin⁡x+sin⁡xcos⁡x=1⇔sin⁡2x=1\cos x\sin x+\sin x\cos x=1 \Leftrightarrow \sin 2x=1.
2
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), obținem x=π4x=\frac{\pi}{4}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(2a132a−11a−3a1)A(a)=\begin{pmatrix}2&a&1\\3&2a-1&1\\a-3&a&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+z=13x+(2a−1)y+z=1(a−3)x+ay+z=2a−1\begin{cases}2x+ay+z=1\\3x+(2a-1)y+z=1\\(a-3)x+ay+z=2a-1\end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=−5\det(A(0))=-5. b) Determinați numerele reale aa pentru care det⁡(A(a))=0\det(A(a))=0. c) Pentru a=1a=1, determinați soluțiile (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) ale sistemului pentru care x02=y0z0x_0^2=y_0 z_0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(2013−11−301)⇒det⁡(A(0))=∣2013−11−301∣=A(0)=\begin{pmatrix}2&0&1\\3&-1&1\\-3&0&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0))=\begin{vmatrix}2&0&1\\3&-1&1\\-3&0&1\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=−2+0+0−3−0−0=−5=-2+0+0-3-0-0=-5.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(a))=∣2a132a−11a−3a1∣=−a2+6a−5\det(A(a))=\begin{vmatrix}2&a&1\\3&2a-1&1\\a-3&a&1\end{vmatrix}=-a^2+6a-5, pentru orice număr real aa.
4
2 puncte
a=1a=1 sau a=5a=5.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Pentru a=1a=1, sistemul este {2x+y+z=13x+y+z=1−2x+y+z=1\begin{cases}2x+y+z=1\\3x+y+z=1\\-2x+y+z=1\end{cases} și, scăzând primele două ecuații, obținem x0=0x_0=0, deci y0+z0=1y_0+z_0=1.
6
2 puncte
x02=y0z0⇒y0z0=0x_0^2=y_0 z_0 \Rightarrow y_0 z_0=0, deci soluțiile sunt (0,1,0)(0,1,0) sau (0,0,1)(0,0,1), care convin.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5xy−5(x+y)+6x*y=5xy-5(x+y)+6. a) Demonstrați că x∗y=5(x−1)(y−1)+1x*y=5(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați valorile reale ale lui xx pentru care x∗x∗x<26x*x*x<26. c) Determinați numărul natural nenul nn pentru care 1n2∗1(n+1)2∗1(n+2)2=−19\frac{1}{n^2}*\frac{1}{(n+1)^2}*\frac{1}{(n+2)^2}=-19.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) x∗y=5xy−5x−5y+5+1=x*y=5xy-5x-5y+5+1=
2
2 puncte
=5x(y−1)−5(y−1)+1=5(x−1)(y−1)+1=5x(y-1)-5(y-1)+1=5(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗x=5(x−1)2+1x*x=5(x-1)^2+1, x∗x∗x=25(x−1)3+1x*x*x=25(x-1)^3+1.
4
3 puncte
(x−1)3<1⇔x∈(−∞,2)(x-1)^3<1 \Leftrightarrow x\in(-\infty,2).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 25(1n−1)(1n+1)(1n+1−1)(1n+1+1)(1n+2−1)(1n+2+1)+1=−19⇔(1−n)(n+3)n(n+2)=−4525\left(\frac{1}{n}-1\right)\left(\frac{1}{n}+1\right)\left(\frac{1}{n+1}-1\right)\left(\frac{1}{n+1}+1\right)\left(\frac{1}{n+2}-1\right)\left(\frac{1}{n+2}+1\right)+1=-19 \Leftrightarrow \frac{(1-n)(n+3)}{n(n+2)}=-\frac{4}{5}.
6
2 puncte
Cum nn este număr natural nenul, obținem n=3n=3.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−2(x−1)xf(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}. a) Arătați că f′(x)=x−2x2f'(x)=\frac{x-2}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty). b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției ff în care tangenta la graficul funcției ff este perpendiculară pe dreapta de ecuație y=xy=x. c) Demonstrați că f(π2)<0f\left(\frac{\pi}{2}\right)<0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=1x−2x−2(x−1)x2=f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2x-2(x-1)}{x^2}=
2
2 puncte
=x−2x+2x−2x2=x−2x2=\frac{x-2x+2x-2}{x^2}=\frac{x-2}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Tangenta la graficul funcției ff în punctul (a,f(a))(a,f(a)) este perpendiculară pe dreapta de ecuație y=x⇔f′(a)=−1y=x \Leftrightarrow f'(a)=-1.
4
2 puncte
a−2a2=−1⇔a2+a−2=0⇔a=−2\frac{a-2}{a^2}=-1 \Leftrightarrow a^2+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2, care nu convine sau a=1a=1, care convine.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)<0f'(x)<0, pentru orice x∈(0,2)⇒fx\in(0,2) \Rightarrow f este strict descrescătoare pe (0,2)(0,2).
6
3 puncte
0<1<π2<2⇒f(π2)<f(1)0<1<\frac{\pi}{2}<2 \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}\right)<f(1) și, cum f(1)=0f(1)=0, obținem f(π2)<0f\left(\frac{\pi}{2}\right)<0.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1f(x)=x^2+1. a) Arătați că ∫03f(x) dx=12\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx=12. b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=xf(x)g(x)=\frac{x}{f(x)}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x=0 și x=1x=1. c) Demonstrați că există un unic număr real xx pentru care ∫0xef(t) dt=x\displaystyle\int_0^x e^{f(t)}\,dt=x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫03f(x) dx=∫03(x2+1) dx=(x33+x)∣03=\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx=\int_0^3(x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\bigg|_0^3=
2
2 puncte
=273+3−0=12=\frac{27}{3}+3-0=12.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) g(x)=xx2+1⇒A=∫01∣g(x)∣ dx=∫01xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)∣01=g(x)=\frac{x}{x^2+1} \Rightarrow \mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1|g(x)|\,dx=\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)\bigg|_0^1=
4
2 puncte
=12ln⁡2=\frac{1}{2}\ln 2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Funcția h:R→Rh:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, h(x)=∫0xef(t) dt−xh(x)=\displaystyle\int_0^x e^{f(t)}\,dt-x este derivabilă și h′(x)=ex2+1−1h'(x)=e^{x^2+1}-1.
6
3 puncte
h′(x)>0h'(x)>0 pentru orice număr real xx, deci hh este strict crescătoare pe R⇒h\mathbb{R} \Rightarrow h este injectivă și, cum h(0)=0h(0)=0, există un unic număr real xx pentru care ∫0xef(t) dt=x\displaystyle\int_0^x e^{f(t)}\,dt=x.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2019 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare XI 2019 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac