BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2019 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul N=(4+3i)2+(3−4i)2N=(4+3i)^2+(3-4i)^2 este natural, unde i2=−1i^2=-1.

Rezolvare

1
2 puncte
N=16+24i+9i2+9−24i+16i2=N=16+24i+9i^2+9-24i+16i^2=
2
3 puncte
=16−9+9−16=0=16-9+9-16=0, care este număr natural.
Exercițiul 2
Determinați numerele reale aa, știind că punctul A(a,a)A(a,a) aparține graficului funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2−x2f(x)=2-x^2.

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=a⇔2−a2=a⇔a2+a−2=0f(a)=a \Leftrightarrow 2-a^2=a \Leftrightarrow a^2+a-2=0.
2
2 puncte
a=−2a=-2 sau a=1a=1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+5x+1=305^x+5^{x+1}=30.

Rezolvare

1
3 puncte
5x(1+5)=30⇔5x=55^x(1+5)=30 \Leftrightarrow 5^x=5.
2
2 puncte
x=1x=1.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,…,49}M=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\ldots,\sqrt{49}\}, acesta să fie număr natural.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea MM are 4949 de elemente, deci sunt 4949 de cazuri posibile.
2
2 puncte
În mulțimea MM sunt 77 numere naturale, deci sunt 77 cazuri favorabile.
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=749=17p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{49}=\frac{1}{7}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,5)A(2,5), B(3,5)B(3,5) și C(2,1)C(2,1). Determinați lungimea medianei din BB a triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
Mijlocul segmentului ACAC este punctul M(2,3)M(2,3).
2
3 puncte
BM=(3−2)2+(5−3)2=5BM=\sqrt{(3-2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{5}.
Exercițiul 6
Demonstrați că (sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x−cos⁡x)2=2(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=2, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
(sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x−cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=
2
3 puncte
=2(sin⁡2x+cos⁡2x)=2⋅1=2=2(\sin^2 x+\cos^2 x)=2\cdot 1=2, pentru orice număr real xx.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x,y)=(x−yyx)A(x,y)=\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale. a) Arătați că det⁡(A(1,1))=2\det(A(1,1))=2. b) Determinați numărul natural nn pentru care A(n−1,0)+A(n+1,0)=A(2018,0)A(n-1,0)+A(n+1,0)=A(2018,0). c) Determinați numărul real aa, știind că există un număr real xx pentru care A(x,1)⋅A(x,1)=A(a,−2)A(x,1)\cdot A(x,1)=A(a,-2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(1,1)=(1−111)⇒det⁡(A(1,1))=∣1−111∣=1⋅1−1⋅(−1)=A(1,1)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1,1))=\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot(-1)=
2
2 puncte
=1+1=2=1+1=2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) (n−100n−1)+(n+100n+1)=(2018002018)⇔(2n002n)=(2018002018)\begin{pmatrix}n-1&0\\0&n-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n+1&0\\0&n+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2018&0\\0&2018\end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix}2n&0\\0&2n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2018&0\\0&2018\end{pmatrix}.
4
2 puncte
n=1009n=1009.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (x−11x)(x−11x)=(a2−2a)⇔(x2−1−2x2xx2−1)=(a2−2a)\begin{pmatrix}x&-1\\1&x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&-1\\1&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&2\\-2&a\end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix}x^2-1&-2x\\2x&x^2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&2\\-2&a\end{pmatrix}.
6
2 puncte
x=−1x=-1, de unde obținem a=0a=0.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−7X2+mX−8f=X^3-7X^2+mX-8, unde mm este număr real. a) Arătați că f(−1)+f(1)=−30f(-1)+f(1)=-30, pentru orice număr real mm. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la X2−3X+1X^2-3X+1, știind că ff se divide cu X−2X-2. c) Determinați numărul real mm pentru care polinomul ff are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(−1)=(−1)3−7⋅(−1)2+m⋅(−1)−8=−m−16f(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)^2+m\cdot(-1)-8=-m-16.
2
3 puncte
f(1)=13−7⋅12+m⋅1−8=m−14⇒f(−1)+f(1)=−m−16+m−14=−30f(1)=1^3-7\cdot 1^2+m\cdot 1-8=m-14 \Rightarrow f(-1)+f(1)=-m-16+m-14=-30, pentru orice număr real mm.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(2)=0⇒m=14f(2)=0 \Rightarrow m=14, deci f=X3−7X2+14X−8f=X^3-7X^2+14X-8.
4
3 puncte
Câtul este X−4X-4 și restul este X−4X-4.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1x3=x22⇒x1x2x3=x23x_1 x_3=x_2^2 \Rightarrow x_1 x_2 x_3=x_2^3 și, cum x1x2x3=8x_1 x_2 x_3=8, obținem x2=2x_2=2.
6
3 puncte
Polinomul ff are rădăcinile 11, 22 și 44, deci m=14m=14.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+1x+2f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x+2}. a) Arătați că f′(x)=(x+1)(x+3)(x+2)2f'(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}, x∈(−2,+∞)x\in(-2,+\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este convexă pe (−2,+∞)(-2,+\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x+2)(x+2)−(x2+2x+1)⋅1(x+2)2=f'(x)=\frac{(2x+2)(x+2)-(x^2+2x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}=
2
2 puncte
=x2+4x+3(x+2)2=(x+1)(x+3)(x+2)2=\frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}, x∈(−2,+∞)x\in(-2,+\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2+2x+1x(x+2)=1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x+1}{x(x+2)}=1.
4
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞1x+2=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x+2}=0, deci dreapta de ecuație y=xy=x este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=2(x+2)3f''(x)=\frac{2}{(x+2)^3}, x∈(−2,+∞)x\in(-2,+\infty).
6
3 puncte
f′′(x)>0f''(x)>0, pentru orice x∈(−2,+∞)x\in(-2,+\infty), deci funcția ff este convexă pe (−2,+∞)(-2,+\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1xf(x)=x^2+\frac{1}{x}. a) Determinați primitiva FF a funcției ff pentru care F(1)=0F(1)=0. b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)} este egal cu 97π10\frac{97\pi}{10}. c) Determinați numărul m∈(1,+∞)m\in(1,+\infty), știind că ∫1m(f(x)−x2)ln⁡x dx=12\displaystyle\int_1^m (f(x)-x^2)\ln x\,dx=\frac{1}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) F:(0,+∞)→RF:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x33+ln⁡x+cF(x)=\frac{x^3}{3}+\ln x+c, unde c∈Rc\in\mathbb{R}.
2
2 puncte
Cum F(1)=13+cF(1)=\frac{1}{3}+c, obținem F(1)=0⇔c=−13F(1)=0 \Leftrightarrow c=-\frac{1}{3}, deci F(x)=x33+ln⁡x−13F(x)=\frac{x^3}{3}+\ln x-\frac{1}{3}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) g(x)=x2+1x⇒V=π∫12g2(x) dx=π∫12(x4+2x+1x2)dx=π⋅(x55+x2−1x)∣12=g(x)=x^2+\frac{1}{x} \Rightarrow V=\pi\displaystyle\int_1^2 g^2(x)\,dx=\pi\int_1^2\left(x^4+2x+\frac{1}{x^2}\right)dx=\pi\cdot\left(\frac{x^5}{5}+x^2-\frac{1}{x}\right)\bigg|_1^2=
4
2 puncte
=π(325+4−12−15−1+1)=97π10=\pi\left(\frac{32}{5}+4-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-1+1\right)=\frac{97\pi}{10}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫1m(f(x)−x2)ln⁡x dx=∫1m1xln⁡x dx=12ln⁡2x∣1m=12ln⁡2m\displaystyle\int_1^m (f(x)-x^2)\ln x\,dx=\int_1^m \frac{1}{x}\ln x\,dx=\frac{1}{2}\ln^2 x\bigg|_1^m=\frac{1}{2}\ln^2 m.
6
2 puncte
12ln⁡2m=12⇔ln⁡m=−1\frac{1}{2}\ln^2 m=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \ln m=-1 sau ln⁡m=1\ln m=1, deci m=1em=\frac{1}{e}, care nu convine sau m=em=e, care convine.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2019 — Științele Naturii

Următor →

Simulare XI 2019 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac