BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2020 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (0,3⋅10−1)(0,3⋅10+1)=8(0{,}3\cdot 10-1)(0{,}3\cdot 10+1)=8.

Rezolvare

1
3 puncte
(0,3⋅10−1)(0,3⋅10+1)=(3−1)(3+1)=(0{,}3\cdot 10-1)(0{,}3\cdot 10+1)=(3-1)(3+1)=
2
2 puncte
=2⋅4=8=2\cdot 4=8.
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1 și x2x_2 soluțiile ecuației x2−6x+m=0x^2-6x+m=0, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm pentru care x1x2(x1+x2)=12x_1 x_2(x_1+x_2)=12.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=6x_1+x_2=6, x1x2=mx_1 x_2=m.
2
3 puncte
6m=126m=12, deci m=2m=2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 25−x=x+102\sqrt{5-x}=\sqrt{x+10}.

Rezolvare

1
3 puncte
4(5−x)=x+10⇒20−4x=x+10⇒5x=104(5-x)=x+10 \Rightarrow 20-4x=x+10 \Rightarrow 5x=10.
2
2 puncte
x=2x=2, care convine.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu 33 mai mare decât cifra unităților.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
2
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 77 numere care au cifra zecilor cu 33 mai mare decât cifra unităților, deci sunt 77 cazuri favorabile.
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=790p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{90}.
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa pentru care vectorii u⃗=ai⃗+(a−1)j⃗\vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j} și v⃗=3i⃗+4j⃗\vec{v}=3\vec{i}+4\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
a3=a−14⇔4a=3a−3\frac{a}{3}=\frac{a-1}{4} \Leftrightarrow 4a=3a-3.
2
2 puncte
a=−3a=-3.
Exercițiul 6
Arătați că, dacă xx este număr real pentru care sin⁡x=cos⁡x\sin x=\cos x, atunci cos⁡2x=0\cos 2x=0.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=
2
3 puncte
=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)=0⋅(cos⁡x+sin⁡x)=0=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0\cdot(\cos x+\sin x)=0.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a,b)=(a2b−ba)A(a,b)=\begin{pmatrix}a&2b\\-b&a\end{pmatrix}, unde aa și bb sunt numere reale. a) Arătați că det⁡(A(1,1))=3\det(A(1,1))=3. b) Demonstrați că A(a,b)⋅A(b,a)=A(−ab,a2+b2)A(a,b)\cdot A(b,a)=A(-ab,a^2+b^2), pentru orice numere reale aa și bb. c) Determinați perechile de numere întregi mm și nn pentru care det⁡(A(m,n))=1\det(A(m,n))=1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(1,1)=(12−11)⇒det⁡(A(1,1))=∣12−11∣=1⋅1−(−1)⋅2=A(1,1)=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1,1))=\begin{vmatrix}1&2\\-1&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-(-1)\cdot 2=
2
2 puncte
=1+2=3=1+2=3.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(a,b)⋅A(b,a)=(a2b−ba)(b2a−ab)=(ab−2ab2a2+2b2−b2−a2−2ab+ab)=A(a,b)\cdot A(b,a)=\begin{pmatrix}a&2b\\-b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b&2a\\-a&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ab-2ab&2a^2+2b^2\\-b^2-a^2&-2ab+ab\end{pmatrix}=
4
2 puncte
=(−ab2(a2+b2)−(a2+b2)−ab)=A(−ab,a2+b2)=\begin{pmatrix}-ab&2(a^2+b^2)\\-(a^2+b^2)&-ab\end{pmatrix}=A(-ab,a^2+b^2), pentru orice numere reale aa și bb.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡(A(m,n))=∣m2n−nm∣=m2+2n2\det(A(m,n))=\begin{vmatrix}m&2n\\-n&m\end{vmatrix}=m^2+2n^2.
6
3 puncte
Cum mm și nn sunt numere întregi, din m2+2n2=1m^2+2n^2=1 obținem m=−1m=-1, n=0n=0 sau m=1m=1, n=0n=0.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−15X2+mX−80f=X^3-15X^2+mX-80, unde mm este număr real. a) Pentru m=95m=95, arătați că f(1)=1f(1)=1. b) Determinați numărul real mm pentru care x1(x1−x2)+x2(x2−x3)+x3(x3−x1)=0x_1(x_1-x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=0, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Determinați rădăcinile polinomului ff, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f=X3−15X2+95X−80⇒f(1)=13−15⋅12+95⋅1−80=f=X^3-15X^2+95X-80 \Rightarrow f(1)=1^3-15\cdot 1^2+95\cdot 1-80=
2
3 puncte
=1−15+95−80=1=1-15+95-80=1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x1+x2+x3=15x_1+x_2+x_3=15 și x1x2+x2x3+x1x3=mx_1 x_2+x_2 x_3+x_1 x_3=m.
4
3 puncte
(x1+x2+x3)2−3(x1x2+x2x3+x1x3)=0⇔225−3m=0(x_1+x_2+x_3)^2-3(x_1 x_2+x_2 x_3+x_1 x_3)=0 \Leftrightarrow 225-3m=0, deci m=75m=75.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) 2x2=x1+x32x_2=x_1+x_3 și x1+x2+x3=15⇒x2=5x_1+x_2+x_3=15 \Rightarrow x_2=5.
6
3 puncte
x1x2x3=80⇒x1x3=16x_1 x_2 x_3=80 \Rightarrow x_1 x_3=16 și, cum x1+x3=10x_1+x_3=10, polinomul ff are rădăcinile 22, 55 și 88.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−10f(x)=e^x-x-10. a) Arătați că f′(0)=0f'(0)=0. b) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției ff sunt concurente. c) Demonstrați că ex3≥(x+1)(x2−x+1)e^{x^3}\geq(x+1)(x^2-x+1), pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=ex−1f'(x)=e^x-1, x∈Rx\in\mathbb{R}.
2
2 puncte
f′(0)=e0−1=0f'(0)=e^0-1=0.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′′(x)=ex>0f''(x)=e^x>0, pentru orice număr real x⇒f′x \Rightarrow f' este strict crescătoare, deci f′f' este injectivă.
4
3 puncte
Pentru orice numere reale x1x_1 și x2x_2, x1≠x2⇒f′(x1)≠f′(x2)x_1\neq x_2 \Rightarrow f'(x_1)\neq f'(x_2), deci tangentele la graficul lui ff în punctele de coordonate (x1,f(x1))(x_1,f(x_1)) și (x2,f(x2))(x_2,f(x_2)) au pante diferite, deci sunt concurente.
c)5 puncte
5
1 punct
c) f′(x)=0⇔x=0f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0. f′(x)≤0f'(x)\leq 0, pentru orice x∈(−∞,0]⇒fx\in(-\infty,0] \Rightarrow f este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty,0], f′(x)≥0f'(x)\geq 0, pentru orice x∈[0,+∞)⇒fx\in[0,+\infty) \Rightarrow f este crescătoare pe [0,+∞)[0,+\infty) și, cum f(0)=−9f(0)=-9, obținem f(x)≥−9f(x)\geq -9, pentru orice număr real xx.
6
4 puncte
f(x3)≥−9⇒ex3≥x3+1f(x^3)\geq -9 \Rightarrow e^{x^3}\geq x^3+1, deci ex3≥(x+1)(x2−x+1)e^{x^3}\geq(x+1)(x^2-x+1), pentru orice număr real xx.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞)f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), f(x)=x+9xf(x)=x+\frac{9}{x}. a) Arătați că ∫13(f(x)−9x)dx=4\displaystyle\int_1^3\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)dx=4. b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=2f(x)g(x)=\frac{2}{f(x)}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x=1 și x=9x=9 are aria egală cu 2ln⁡32\ln 3. c) Determinați numărul real aa, știind că ∫13(f(x)−9x)arctg⁡x dx=5π12−3+3−a2\displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)\operatorname{arctg} x\,dx=\frac{5\pi}{12}-\frac{3+\sqrt{3}-a}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫13(f(x)−9x)dx=∫13(x+9x−9x)dx=∫13x dx=x22∣13=\displaystyle\int_1^3\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)dx=\int_1^3\left(x+\frac{9}{x}-\frac{9}{x}\right)dx=\int_1^3 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3=
2
2 puncte
=92−12=4=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) g(x)=2xx2+9⇒A=∫19∣g(x)∣ dx=∫192xx2+9 dx=ln⁡(x2+9)∣19=g(x)=\frac{2x}{x^2+9} \Rightarrow \mathcal{A}=\displaystyle\int_1^9|g(x)|\,dx=\int_1^9\frac{2x}{x^2+9}\,dx=\ln(x^2+9)\bigg|_1^9=
4
2 puncte
=ln⁡90−ln⁡10=ln⁡9=2ln⁡3=\ln 90-\ln 10=\ln 9=2\ln 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫13xarctg⁡x dx=∫13(x2+12)′arctg⁡x dx=x2+12arctg⁡x∣13−∫13x2+12(x2+1) dx=(x2+12arctg⁡x−x2)∣13=\displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}x\operatorname{arctg} x\,dx=\int_1^{\sqrt{3}}\left(\frac{x^2+1}{2}\right)'\operatorname{arctg} x\,dx=\left.\frac{x^2+1}{2}\operatorname{arctg} x\right|_1^{\sqrt{3}}-\int_1^{\sqrt{3}}\frac{x^2+1}{2(x^2+1)}\,dx=\left(\frac{x^2+1}{2}\operatorname{arctg} x-\frac{x}{2}\right)\bigg|_1^{\sqrt{3}}=
6
2 puncte
=5π12−3−12=\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}, de unde obținem a=4a=4.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2020 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2020 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac