BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2021 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numerele log⁡23\log_2 3, log⁡26\log_2 6 și log⁡212\log_2 12 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡23+log⁡212=log⁡236=log⁡262\log_2 3 + \log_2 12 = \log_2 36 = \log_2 6^2
2
2 puncte
=2log⁡26= 2\log_2 6, deci numerele date sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−x+1f(x) = x^2 - x + 1. Determinați numărul real xx pentru care f(x)=xf(x) = x.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=x⇔x2−x+1=x⇔x2−2x+1=0f(x) = x \Leftrightarrow x^2 - x + 1 = x \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ∣2x−1∣=2x+1|2x - 1| = 2x + 1.

Rezolvare

1
3 puncte
2x−1=2x+12x - 1 = 2x + 1 sau 2x−1=−2x−12x - 1 = -2x - 1
2
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor pară și cifra unităților impară.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 4⋅5=204 \cdot 5 = 20 de numere care au cifra zecilor pară și cifra unităților impară, deci sunt 2020 de cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=2090=29p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa, pentru care vectorii u⃗=ai⃗+j⃗\vec{u} = a\vec{i} + \vec{j} și v⃗=8i⃗+2j⃗\vec{v} = 8\vec{i} + 2\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
a8=12\frac{a}{8} = \frac{1}{2}
2
2 puncte
a=4a = 4
Exercițiul 6
În triunghiul ABCABC dreptunghic în AA, BC=12BC = 12 și B=π6B = \frac{\pi}{6}. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 18318\sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡B=ABBC⇒32=AB12⇒AB=63\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{12} \Rightarrow AB = 6\sqrt{3}
2
2 puncte
A△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B=12⋅63⋅12⋅12=183\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 18\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(2a−14a−41−a3−2a)A(a) = \begin{pmatrix} 2a - 1 & 4a - 4 \\ 1 - a & 3 - 2a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=1\det(A(2)) = 1. b) Demonstrați că A(a)⋅A(b)=A(a+b−1)A(a) \cdot A(b) = A(a + b - 1), pentru orice numere reale aa și bb. c) Determinați numărul natural nn, știind că A(1)⋅A(2)⋅A(22)⋅A(23)⋅A(24)=A(32)⋅A(−n)A(1) \cdot A(2) \cdot A(2^2) \cdot A(2^3) \cdot A(2^4) = A(32) \cdot A(-n).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A(2)=(34−1−1)⇒det⁡(A(2))=∣34−1−1∣=3⋅(−1)−(−1)⋅4A(2) = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - (-1) \cdot 4
2
2 puncte
=−3+4=1= -3 + 4 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
A(a)⋅A(b)=(2a−14a−41−a3−2a)(2b−14b−41−b3−2b)=(2a+2b−34a+4b−8−a−b+2−2a−2b+5)A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 2a - 1 & 4a - 4 \\ 1 - a & 3 - 2a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2b - 1 & 4b - 4 \\ 1 - b & 3 - 2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 2b - 3 & 4a + 4b - 8 \\ -a - b + 2 & -2a - 2b + 5 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(2(a+b−1)−14(a+b−1)−41−(a+b−1)3−2(a+b−1))=A(a+b−1)= \begin{pmatrix} 2(a + b - 1) - 1 & 4(a + b - 1) - 4 \\ 1 - (a + b - 1) & 3 - 2(a + b - 1) \end{pmatrix} = A(a + b - 1), pentru orice numere reale aa și bb
c)5 puncte
5
3 puncte
A(1)⋅A(2)⋅A(22)⋅A(23)⋅A(24)=A(1+2+22+23+24−4)=A(27)A(1) \cdot A(2) \cdot A(2^2) \cdot A(2^3) \cdot A(2^4) = A(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 - 4) = A(27)
6
2 puncte
A(27)=A(32)⋅A(−n)=A(32+(−n)−1)A(27) = A(32) \cdot A(-n) = A(32 + (-n) - 1), de unde obținem n=4n = 4
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x2−5xy+2y2x \circ y = 3x^2 - 5xy + 2y^2. a) Arătați că 1∘2=11 \circ 2 = 1. b) Demonstrați că x∘x=0x \circ x = 0, pentru orice număr real xx. c) Determinați numerele reale xx pentru care 2x∘3x=02^x \circ 3^x = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
1∘2=3⋅12−5⋅1⋅2+2⋅221 \circ 2 = 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2
2
2 puncte
=3−10+8=1= 3 - 10 + 8 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
x∘x=3x2−5x2+2x2x \circ x = 3x^2 - 5x^2 + 2x^2
4
2 puncte
=−2x2+2x2=0= -2x^2 + 2x^2 = 0, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
3⋅22x−5⋅2x⋅3x+2⋅32x=0⇔3⋅2x(2x−3x)−2⋅3x(2x−3x)=0⇔(2x−3x)(3⋅2x−2⋅3x)=03 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot 2^x(2^x - 3^x) - 2 \cdot 3^x(2^x - 3^x) = 0 \Leftrightarrow (2^x - 3^x)(3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x) = 0
6
2 puncte
2x=3x2^x = 3^x sau 3x−1=2x−13^{x-1} = 2^{x-1}, de unde obținem x=0x = 0 sau x=1x = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+2−xf(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 2} - x. a) Arătați că f′(x)=x+1x2+2x+2−1f'(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=−1x = -1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că (x2+1)2+2(x2+1)+2−4x2+4x+2≤(x−1)2\sqrt{(x^2 + 1)^2 + 2(x^2 + 1) + 2} - \sqrt{4x^2 + 4x + 2} \leq (x - 1)^2, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=(x2+2x+2)′2x2+2x+2−1f'(x) = \frac{(x^2 + 2x + 2)'}{2\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1
2
2 puncte
=2(x+1)2x2+2x+2−1=x+1x2+2x+2−1= \frac{2(x + 1)}{2\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1 = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
f(−1)=2f(-1) = 2, f′(−1)=−1f'(-1) = -1
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(−1)=f′(−1)(x−(−1))y - f(-1) = f'(-1)(x - (-1)), adică y=−x+1y = -x + 1
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(x)<0f'(x) < 0, pentru orice număr real xx, deci ff este descrescătoare pe R\mathbb{R} și, cum x2+1≥2xx^2 + 1 \geq 2x, obținem f(x2+1)≤f(2x)f(x^2 + 1) \leq f(2x), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
Cum f(x2+1)=(x2+1)2+2(x2+1)+2−(x2+1)f(x^2 + 1) = \sqrt{(x^2 + 1)^2 + 2(x^2 + 1) + 2} - (x^2 + 1) și f(2x)=(2x)2+2⋅2x+2−2xf(2x) = \sqrt{(2x)^2 + 2 \cdot 2x + 2} - 2x, obținem (x2+1)2+2(x2+1)+2−4x2+4x+2≤(x−1)2\sqrt{(x^2 + 1)^2 + 2(x^2 + 1) + 2} - \sqrt{4x^2 + 4x + 2} \leq (x - 1)^2, pentru orice număr real xx
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}. a) Arătați că ∫01(4−f2(x)) dx=π\int_0^1 (4 - f^2(x)) \, dx = \pi. b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1 are aria egală cu 2(2−1)2(\sqrt{2} - 1). c) Arătați că ∫12f(x2)x dx=ln⁡(34−17+42−4)\int_1^2 \frac{f(x^2)}{x} \, dx = \ln(\sqrt{34} - \sqrt{17} + 4\sqrt{2} - 4).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫01(4−f2(x)) dx=∫01(4−4x2x2+1)dx=4∫011x2+1 dx=4arctan⁡x∣01\int_0^1 (4 - f^2(x)) \, dx = \int_0^1 \left(4 - \frac{4x^2}{x^2 + 1}\right) dx = 4\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = 4 \arctan x \Big|_0^1
2
2 puncte
=4(arctan⁡1−arctan⁡0)=π= 4(\arctan 1 - \arctan 0) = \pi
b)5 puncte
3
3 puncte
A=∫01∣f(x)∣ dx=∫012xx2+1 dx=∫01(x2+1)′x2+1 dx\mathcal{A} = \int_0^1 |f(x)| \, dx = \int_0^1 \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \int_0^1 \frac{(x^2 + 1)'}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx
4
2 puncte
=2x2+1∣01=2(2−1)= 2\sqrt{x^2 + 1} \Big|_0^1 = 2(\sqrt{2} - 1)
c)5 puncte
5
3 puncte
∫12f(x2)x dx=∫122x2xx4+1 dx=∫122xx4+1 dx=∫12(x2)′(x2)2+1 dx\int_1^2 \frac{f(x^2)}{x} \, dx = \int_1^2 \frac{2x^2}{x\sqrt{x^4 + 1}} \, dx = \int_1^2 \frac{2x}{\sqrt{x^4 + 1}} \, dx = \int_1^2 \frac{(x^2)'}{\sqrt{(x^2)^2 + 1}} \, dx
6
2 puncte
=ln⁡(x2+x4+1)∣12=ln⁡4+171+2=ln⁡(34−17+42−4)= \ln(x^2 + \sqrt{x^4 + 1}) \Big|_1^2 = \ln \frac{4 + \sqrt{17}}{1 + \sqrt{2}} = \ln(\sqrt{34} - \sqrt{17} + 4\sqrt{2} - 4)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2021 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2021 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac