BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2021 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (0,25⋅10−12)(0,25⋅10+12)=6\left(0{,}25 \cdot 10 - \frac{1}{2}\right)\left(0{,}25 \cdot 10 + \frac{1}{2}\right) = 6.

Rezolvare

1
2 puncte
(0,25⋅10−12)(0,25⋅10+12)=(2,5−0,5)(2,5+0,5)\left(0{,}25 \cdot 10 - \frac{1}{2}\right)\left(0{,}25 \cdot 10 + \frac{1}{2}\right) = (2{,}5 - 0{,}5)(2{,}5 + 0{,}5)
2
3 puncte
=2⋅3=6= 2 \cdot 3 = 6
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−ax+1f(x) = x^2 - ax + 1, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că punctul A(2,1)A(2, 1) aparține graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
f(2)=1⇒4−2a+1=1f(2) = 1 \Rightarrow 4 - 2a + 1 = 1
2
2 puncte
a=2a = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2+3x=303^{x+2} + 3^x = 30.

Rezolvare

1
3 puncte
3x(32+1)=30⇔3x=33^x(3^2 + 1) = 30 \Leftrightarrow 3^x = 3
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Un obiect costă 500500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 20%20\%.

Rezolvare

1
3 puncte
20100⋅500=100\frac{20}{100} \cdot 500 = 100 de lei
2
2 puncte
Prețul după scumpire este 500+100=600500 + 100 = 600 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,3)A(0, 3) și B(8,3)B(8, 3). Punctul MM este mijlocul segmentului ABAB. Calculați distanța de la punctul MM la punctul O(0,0)O(0, 0).

Rezolvare

1
2 puncte
Mijlocul segmentului ABAB este punctul M(4,3)M(4, 3)
2
3 puncte
OM=(4−0)2+(3−0)2=5OM = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = 5
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC dreptunghic în AA, cu AB=5AB = 5 și AC=10AC = 10. Calculați aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
A△ABC=AB⋅AC2\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2}
2
3 puncte
=5⋅102=25= \frac{5 \cdot 10}{2} = 25

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1312)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=−1\det A = -1. b) Arătați că A⋅A−3A=I2A \cdot A - 3A = I_2. c) Se consideră matricea X=(1xy1)X = \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & 1 \end{pmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale. Determinați numerele reale xx și yy pentru care A⋅X−X⋅A=(−21−12)A \cdot X - X \cdot A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣1312∣=1⋅2−1⋅3\det A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3
2
2 puncte
=2−3=−1= 2 - 3 = -1
b)5 puncte
3
3 puncte
A⋅A=(4937)A \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}
4
2 puncte
A⋅A−3A=(4937)−(3936)=(1001)=I2A \cdot A - 3A = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2
c)5 puncte
5
2 puncte
A⋅X=(1+3yx+31+2yx+2)A \cdot X = \begin{pmatrix} 1 + 3y & x + 3 \\ 1 + 2y & x + 2 \end{pmatrix}, X⋅A=(1+x3+2xy+13y+2)X \cdot A = \begin{pmatrix} 1 + x & 3 + 2x \\ y + 1 & 3y + 2 \end{pmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale
6
3 puncte
(3y−x−x+32yx−3y)−(x2x13y)=(−21−12)\begin{pmatrix} 3y - x & -x + 3 \\ 2y & x - 3y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x & 2x \\ 1 & 3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, de unde obținem x=−1x = -1 și y=−1y = -1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4xy+x+yx \circ y = 4xy + x + y. a) Arătați că 3∘2=293 \circ 2 = 29. b) Demonstrați că x∘y=(4x+1)(4y+1)−14x \circ y = \frac{(4x + 1)(4y + 1) - 1}{4}, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui xx pentru care x∘x≤2x \circ x \leq 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
3∘2=4⋅3⋅2+3+23 \circ 2 = 4 \cdot 3 \cdot 2 + 3 + 2
2
2 puncte
=24+5=29= 24 + 5 = 29
b)5 puncte
3
3 puncte
x∘y=16xy+4x+4y4=16xy+4x+4y+1−14x \circ y = \frac{16xy + 4x + 4y}{4} = \frac{16xy + 4x + 4y + 1 - 1}{4}
4
2 puncte
=4x(4y+1)+(4y+1)−14=(4x+1)(4y+1)−14= \frac{4x(4y + 1) + (4y + 1) - 1}{4} = \frac{(4x + 1)(4y + 1) - 1}{4}, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
x∘x=(4x+1)2−14x \circ x = \frac{(4x + 1)^2 - 1}{4}, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
(4x+1)2−14≤2⇔(4x+1)2≤9⇔−3≤4x+1≤3\frac{(4x + 1)^2 - 1}{4} \leq 2 \Leftrightarrow (4x + 1)^2 \leq 9 \Leftrightarrow -3 \leq 4x + 1 \leq 3, de unde obținem x∈[−1,12]x \in \left[-1, \frac{1}{2}\right]

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+xx2+1f(x) = e^x + \frac{x}{x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=ex+1−x2(x2+1)2f'(x) = e^x + \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞-\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că 2−e2e≤f(x)≤2e+12\frac{2 - e}{2e} \leq f(x) \leq \frac{2e + 1}{2}, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=ex+1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2f'(x) = e^x + \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
2
2 puncte
=ex+x2+1−2x2(x2+1)2=ex+1−x2(x2+1)2= e^x + \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = e^x + \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞(ex+xx2+1)=lim⁡x→−∞(ex+1x+1x)=0\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(e^x + \frac{x}{x^2 + 1}\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(e^x + \frac{1}{x + \frac{1}{x}}\right) = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptota orizontală spre −∞-\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
x∈[−1,1]⇒1−x2≥0⇒f′(x)≥0⇒fx \in [-1, 1] \Rightarrow 1 - x^2 \geq 0 \Rightarrow f'(x) \geq 0 \Rightarrow f este crescătoare pe [−1,1]⇒f(−1)≤f(x)≤f(1)[-1, 1] \Rightarrow f(-1) \leq f(x) \leq f(1), pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
6
2 puncte
Cum f(−1)=2−e2ef(-1) = \frac{2 - e}{2e} și f(1)=2e+12f(1) = \frac{2e + 1}{2}, obținem 2−e2e≤f(x)≤2e+12\frac{2 - e}{2e} \leq f(x) \leq \frac{2e + 1}{2}, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:[0,+∞)→Rf : [0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(x+1)xf(x) = (x + 1)\sqrt{x}. a) Arătați că ∫12f(x)x dx=52\int_1^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = \frac{5}{2}. b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x), este egal cu 17π12\frac{17\pi}{12}. c) Determinați numărul real aa, știind că ∫1ef(x)xln⁡xx+1 dx=e2+a4\int_1^e \frac{f(x) \sqrt{x} \ln x}{x + 1} \, dx = \frac{e^2 + a}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫12f(x)x dx=∫12(x+1) dx=(x22+x)∣12\int_1^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = \int_1^2 (x + 1) \, dx = \left(\frac{x^2}{2} + x\right) \Big|_1^2
2
2 puncte
=(2+2)−(12+1)=52= (2 + 2) - \left(\frac{1}{2} + 1\right) = \frac{5}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
V=π∫01g2(x) dx=π∫01x(x+1)2 dx=π∫01(x3+2x2+x) dx=π(x44+2x33+x22)∣01V = \pi \int_0^1 g^2(x) \, dx = \pi \int_0^1 x(x + 1)^2 \, dx = \pi \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx = \pi \left(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right) \Big|_0^1
4
2 puncte
=π(14+23+12)=17π12= \pi \left(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right) = \frac{17\pi}{12}
c)5 puncte
5
3 puncte
∫1ef(x)xln⁡xx+1 dx=∫1exln⁡x dx=∫1e(x22)′ln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx=e22−12∫1ex dx\int_1^e \frac{f(x) \sqrt{x} \ln x}{x + 1} \, dx = \int_1^e x \ln x \, dx = \int_1^e \left(\frac{x^2}{2}\right)' \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x \Big|_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \int_1^e x \, dx
6
2 puncte
=e22−12⋅x22∣1e=e22−e24+14=e2+14= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}, deci a=1a = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2021 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2020 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac