BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2023 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numerele reale aa și bb pentru care (a+bi)(1+i)=4(a + bi)(1 + i) = 4, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
a−b+(a+b)i=4a - b + (a + b)i = 4, de unde obținem a−b=4a - b = 4 și a+b=0a + b = 0
2
2 puncte
a=2a = 2 și b=−2b = -2
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=mx2−2x+mf(x) = mx^2 - 2x + m, unde mm este număr real nenul. Determinați numerele reale mm pentru care f(m−x)=f(m+x)f(m - x) = f(m + x), pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
m(m−x)2−2(m−x)+m=m(m+x)2−2(m+x)+m⇒x(m2−1)=0m(m - x)^2 - 2(m - x) + m = m(m + x)^2 - 2(m + x) + m \Rightarrow x(m^2 - 1) = 0 și, cum egalitatea are loc pentru orice număr real xx, obținem m2−1=0m^2 - 1 = 0
2
2 puncte
m=−1m = -1 sau m=1m = 1, care convin
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡2(2x)−1=log⁡2(x2+x+2)2\log_2(2x) - 1 = \log_2(x^2 + x + 2).

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡2(2x2)=log⁡2(x2+x+2)\log_2(2x^2) = \log_2(x^2 + x + 2), de unde obținem x2−x−2=0x^2 - x - 2 = 0
2
2 puncte
x=−1x = -1, care nu convine; x=2x = 2, care convine
Exercițiul 4
Se consideră mulțimile A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} și F={f∣f:A→A}F = \{f \mid f : A \to A\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un element ff din mulțimea FF, acesta să verifice inegalitatea f(n)≤nf(n) \leq n, pentru orice n∈An \in A.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea FF are 44=2564^4 = 256 de elemente, deci sunt 256256 de cazuri posibile
2
3 puncte
Pentru fiecare n∈An \in A, f(n)f(n) se poate alege în nn moduri, deci sunt 1⋅2⋅3⋅4=241 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 de cazuri favorabile, de unde obținem p=24256=332p = \frac{24}{256} = \frac{3}{32}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(5,3)A(5, 3) și B(−1,5)B(-1, 5). Determinați coordonatele punctului CC, știind că CA⃗+CB⃗=2OC⃗\vec{CA} + \vec{CB} = 2\vec{OC}.

Rezolvare

1
3 puncte
CM⃗=12(CA⃗+CB⃗)\vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}), unde MM este mijlocul segmentului ABAB, de unde obținem CM⃗=OC⃗\vec{CM} = \vec{OC}, deci punctul CC este mijlocul segmentului OMOM
2
2 puncte
Cum xM=2x_M = 2 și yM=4y_M = 4, obținem xC=1x_C = 1 și yC=2y_C = 2
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, cu AB=8AB = 8, măsura unghiului CC de 30°30° și punctul OO, centrul cercului circumscris triunghiului ABCABC. Determinați distanța de la punctul OO la latura ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
ABsin⁡C=2R⇒R=AB2sin⁡C=82⋅12=8\frac{AB}{\sin C} = 2R \Rightarrow R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 8, unde RR este raza cercului circumscris triunghiului ABCABC
2
3 puncte
Triunghiul OABOAB este echilateral cu latura egală cu 88, deci distanța de la punctul OO la latura ABAB este OM=43OM = 4\sqrt{3}, unde MM este mijlocul segmentului ABAB

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(3a−22a+11−a−1a+2−21)A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a & -2 \\ 2a+1 & 1-a & -1 \\ a+2 & -2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {3x+ay−2z=b(2a+1)x+(1−a)y−z=c(a+2)x−2y+z=−1\begin{cases} 3x + ay - 2z = b \\ (2a+1)x + (1-a)y - z = c \\ (a+2)x - 2y + z = -1 \end{cases}, unde aa, bb și cc sunt numere reale. a) Arătați că det⁡(A(0))=5\det(A(0)) = 5. b) Determinați numerele reale aa pentru care matricea A(a)A(a) este inversabilă. c) Determinați numerele reale bb și cc pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real aa.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(0)=(30−211−12−21)⇒det⁡(A(0))=∣30−211−12−21∣A(0) = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=3+4+0+4−6−0=5= 3 + 4 + 0 + 4 - 6 - 0 = 5
b)5 puncte
3
2 puncte
det⁡(A(a))=∣3a−22a+11−a−1a+2−21∣=5(1+a)(1−a)\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 3 & a & -2 \\ 2a+1 & 1-a & -1 \\ a+2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 5(1+a)(1-a), pentru orice număr real aa
4
3 puncte
det⁡(A(a))=0⇔a=−1\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -1 sau a=1a = 1, deci matricea A(a)A(a) este inversabilă dacă și numai dacă a∈R∖{−1,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}
c)5 puncte
5
3 puncte
Pentru a∈R∖{−1,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numerele reale bb și cc; pentru a∈{−1,1}a \in \{-1, 1\}, ∣a−21−a−1∣≠0\begin{vmatrix} a & -2 \\ 1-a & -1 \end{vmatrix} \neq 0, deci sistemul este compatibil dacă și numai dacă ∣−1−2b2−1c−21−1∣=0\begin{vmatrix} -1 & -2 & b \\ 2 & -1 & c \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 și ∣1−2b0−1c−21−1∣=0\begin{vmatrix} 1 & -2 & b \\ 0 & -1 & c \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0
6
2 puncte
b=2b = 2 și c=1c = 1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X4+aX3+aX2+8X−8f = X^4 + aX^3 + aX^2 + 8X - 8, unde aa este număr real. a) Arătați că f(−1)=−15f(-1) = -15, pentru orice număr real aa. b) Determinați numărul real aa pentru care restul împărțirii polinomului ff la polinomul g=X2−1g = X^2 - 1 este egal cu 15X15X. c) Arătați că, pentru orice număr real aa, polinomul ff nu are toate rădăcinile numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f(−1)=(−1)4+a⋅(−1)3+a⋅(−1)2+8⋅(−1)−8f(-1) = (-1)^4 + a \cdot (-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) - 8
2
2 puncte
=1−a+a−8−8=−15= 1 - a + a - 8 - 8 = -15, pentru orice număr real aa
b)5 puncte
3
3 puncte
Restul împărțirii polinomului ff la polinomul gg este egal cu (a+8)X+a−7(a + 8)X + a - 7, pentru orice număr real aa
4
2 puncte
(a+8)X+a−7=15X(a + 8)X + a - 7 = 15X, de unde obținem a=7a = 7
c)5 puncte
5
2 puncte
Presupunând că rădăcinile x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 ale polinomului ff sunt numere întregi, cum x1+x2+x3+x4=−ax_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -a, obținem că a∈Za \in \mathbb{Z}
6
3 puncte
x1x2x3x4=−8⇒∣x1∣⋅∣x2∣⋅∣x3∣⋅∣x4∣=8x_1 x_2 x_3 x_4 = -8 \Rightarrow |x_1| \cdot |x_2| \cdot |x_3| \cdot |x_4| = 8, de unde obținem că cel puțin o rădăcină a polinomului ff are modulul egal cu 11 și, cum f(−1)≠0f(-1) \neq 0 pentru orice număr real aa, obținem f(1)=0f(1) = 0, deci a=−12a = -\frac{1}{2}, ceea ce este fals, deci polinomul ff nu are toate rădăcinile numere întregi

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1−x−(x4−1)arctg⁡xf(x) = 1 - x - (x^4 - 1)\operatorname{arctg} x. a) Arătați că f′(x)=−x2(4xarctg⁡x+1)f'(x) = -x^2(4x \operatorname{arctg} x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff care este paralelă cu axa OxOx. c) Demonstrați că tg⁡(f(x))≥f(x)≥f(tg⁡x)\operatorname{tg}(f(x)) \geq f(x) \geq f(\operatorname{tg} x), pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=−1−4x3arctg⁡x−(x4−1)⋅1x2+1f'(x) = -1 - 4x^3 \operatorname{arctg} x - (x^4 - 1) \cdot \frac{1}{x^2 + 1}
2
2 puncte
=−1−4x3arctg⁡x−x2+1=−x2(4xarctg⁡x+1)= -1 - 4x^3 \operatorname{arctg} x - x^2 + 1 = -x^2(4x \operatorname{arctg} x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
Tangenta la graficul funcției ff în punctul A(x0,f(x0))A(x_0, f(x_0)) este paralelă cu axa Ox⇔f′(x0)=0Ox \Leftrightarrow f'(x_0) = 0
4
3 puncte
−x02(4x0arctg⁡x0+1)=0-x_0^2(4x_0 \operatorname{arctg} x_0 + 1) = 0 și, cum x0arctg⁡x0≥0x_0 \operatorname{arctg} x_0 \geq 0 pentru orice x0∈Rx_0 \in \mathbb{R}, obținem x0=0x_0 = 0, deci ecuația tangentei la graficul funcției ff care este paralelă cu axa OxOx este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=1y = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci funcția ff este descrescătoare pe R\mathbb{R} și, cum f(0)=1f(0) = 1 și f(1)=0f(1) = 0, obținem 0≤f(x)≤10 \leq f(x) \leq 1, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1]
6
3 puncte
Pentru g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=tg⁡x−xg(x) = \operatorname{tg} x - x, g′(x)=1cos⁡2x−1≥0g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \geq 0, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], deci gg este crescătoare, de unde obținem tg⁡x≥x\operatorname{tg} x \geq x, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], deci tg⁡(f(x))≥f(x)≥f(tg⁡x)\operatorname{tg}(f(x)) \geq f(x) \geq f(\operatorname{tg} x), pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+ex1+e−xf(x) = \frac{x^2 + e^x}{1 + e^{-x}}. a) Arătați că ∫03(1+e−x)f(x) dx=8+e3\int_0^3 (1 + e^{-x}) f(x) \, dx = 8 + e^3. b) Arătați că ∫−mmf(x)x2+ex dx=m\int_{-m}^{m} \frac{f(x)}{x^2 + e^x} \, dx = m, pentru orice m∈(0,+∞)m \in (0, +\infty). c) Determinați numărul real nenul aa pentru care lim⁡x→0(1eax−1∫0xf(t) dt)=1\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^{ax} - 1} \int_0^x f(t) \, dt \right) = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫03(1+e−x)f(x) dx=∫03(x2+ex) dx=(x33+ex)∣03\int_0^3 (1 + e^{-x}) f(x) \, dx = \int_0^3 (x^2 + e^x) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + e^x \right) \Big|_0^3
2
2 puncte
=273+e3−0−1=8+e3= \frac{27}{3} + e^3 - 0 - 1 = 8 + e^3
b)5 puncte
3
3 puncte
∫−mmf(x)x2+ex dx=∫−mm11+e−x dx=∫−mm(ex+1)′ex+1 dx\int_{-m}^{m} \frac{f(x)}{x^2 + e^x} \, dx = \int_{-m}^{m} \frac{1}{1 + e^{-x}} \, dx = \int_{-m}^{m} \frac{(e^x + 1)'}{e^x + 1} \, dx
4
2 puncte
=ln⁡(1+ex)∣−mm=ln⁡(1+em)−ln⁡(1+emem)=ln⁡em=m= \ln(1 + e^x) \Big|_{-m}^{m} = \ln(1 + e^m) - \ln\left(\frac{1 + e^m}{e^m}\right) = \ln e^m = m, pentru orice m∈(0,+∞)m \in (0, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
lim⁡x→0(1eax−1∫0xf(t) dt)=lim⁡x→0(∫0xf(t) dt)′(eax−1)′\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^{ax} - 1} \int_0^x f(t) \, dt \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_0^x f(t) \, dt \right)'}{(e^{ax} - 1)'} (se aplică regula lui L'Hôpital)
6
3 puncte
=lim⁡x→0f(x)aeax=12a= \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{ae^{ax}} = \frac{1}{2a}, de unde obținem 12a=1\frac{1}{2a} = 1, deci a=12a = \frac{1}{2}, care convine

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2024 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2023 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac