BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2023 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numerele 5−265 - 2\sqrt{6}, 11 și 5+245 + \sqrt{24} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Rezolvare

1
3 puncte
(5−26)(5+24)=(5−24)(5+24)=52−(24)2=25−24=1(5 - 2\sqrt{6})(5 + \sqrt{24}) = (5 - \sqrt{24})(5 + \sqrt{24}) = 5^2 - (\sqrt{24})^2 = 25 - 24 = 1
2
2 puncte
deoarece (5−26)⋅(5+24)=1=12(5 - 2\sqrt{6}) \cdot (5 + \sqrt{24}) = 1 = 1^2, numerele 5−265 - 2\sqrt{6}, 11 și 5+245 + \sqrt{24} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+1f(x) = ax + 1, unde aa este număr real nenul. Determinați numărul real nenul aa pentru care (f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=a+1f(1) = a + 1, (f∘f)(1)=a(a+1)+1(f \circ f)(1) = a(a + 1) + 1, pentru orice număr real nenul aa
2
2 puncte
a(a+1)+1=1a(a + 1) + 1 = 1, deci a(a+1)=0a(a + 1) = 0 și, cum aa este număr real nenul, obținem a=−1a = -1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x⋅(14)2−x=322^x \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2-x} = 32.

Rezolvare

1
3 puncte
2x⋅2−4+2x=32⇒23x−4=252^x \cdot 2^{-4+2x} = 32 \Rightarrow 2^{3x-4} = 2^5, de unde obținem 3x−4=53x - 4 = 5
2
2 puncte
x=3x = 3
Exercițiul 4
Determinați numărul de submulțimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu elementele mulțimii M={0,1,2,3,4}M = \{0, 1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
3 puncte
A52=5!3!A_5^2 = \dfrac{5!}{3!}
2
2 puncte
=4⋅5=20= 4 \cdot 5 = 20
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−2,1)A(-2, 1) și B(2,5)B(2, 5). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin punctul BB și este perpendiculară pe dreapta ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
mAB=1m_{AB} = 1 și, cum d⊥ABd \perp AB, obținem md=−1m_d = -1
2
2 puncte
ecuația dreptei dd este y−5=−1(x−2)y - 5 = -1(x - 2), adică y=−x+7y = -x + 7
Exercițiul 6
Arătați că (tg⁡x+1)(ctg⁡x−1)=2ctg⁡2x(\operatorname{tg} x + 1)(\operatorname{ctg} x - 1) = 2\operatorname{ctg} 2x, pentru orice x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
2 puncte
(tg⁡x+1)(ctg⁡x−1)=(sin⁡xcos⁡x+1)(cos⁡xsin⁡x−1)=cos⁡2x−sin⁡2xcos⁡xsin⁡x(\operatorname{tg} x + 1)(\operatorname{ctg} x - 1) = \left(\dfrac{\sin x}{\cos x} + 1\right)\left(\dfrac{\cos x}{\sin x} - 1\right) = \dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x \sin x}
2
3 puncte
=cos⁡2x12sin⁡2x=2ctg⁡2x= \dfrac{\cos 2x}{\dfrac{1}{2}\sin 2x} = 2\operatorname{ctg} 2x, pentru orice x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a1a+11a−12−a4)A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & a+1 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & -a & 4 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+(a+1)z=ax+ay−z=42x−ay+4z=−4\begin{cases} ax + y + (a+1)z = a \\ x + ay - z = 4 \\ 2x - ay + 4z = -4 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=−9\det(A(1)) = -9. b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui aa pentru care sistemul are soluție unică. c) Arătați că, dacă sistemul are soluția unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0), atunci x0+y0+z0=2x_0 + y_0 + z_0 = 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(1)=(11211−12−14)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=∣11211−12−14∣\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=4−2−2−4−1−4=−9= 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - 4 = -9
b)5 puncte
3
2 puncte
det⁡(A(a))=∣a1a+11a−12−a4∣=−3a−6\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & a+1 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & -a & 4 \end{vmatrix} = -3a - 6, pentru orice număr real aa
4
3 puncte
det⁡(A(a))=0⇔a=−2\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -2; sistemul de ecuații are soluție unică ⇔a∈R∖{−2}\Leftrightarrow a \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}
c)5 puncte
5
2 puncte
adunând ultimele două ecuații ale sistemului, obținem x0+z0=0x_0 + z_0 = 0
6
3 puncte
y0+z0=ay_0 + z_0 = a, ay0−2z0=4ay_0 - 2z_0 = 4, deci (a+2)(y0−2)=0(a + 2)(y_0 - 2) = 0 și, cum a∈R∖{−2}a \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}, obținem y0=2y_0 = 2, deci x0+y0+z0=2x_0 + y_0 + z_0 = 2
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−3X2+2X+mf = X^3 - 3X^2 + 2X + m, unde mm este număr real. a) Pentru m=6m = 6, arătați că f(−1)=0f(-1) = 0. b) Determinați numărul real mm pentru care polinomul ff este divizibil cu polinomul g=X2+2g = X^2 + 2. c) Determinați numărul real mm pentru care x13+x23+x33=0x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 0, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f=X3−3X2+2X+6⇒f(−1)=(−1)3−3(−1)2+2(−1)+6f = X^3 - 3X^2 + 2X + 6 \Rightarrow f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) + 6
2
2 puncte
=−1−3−2+6=0= -1 - 3 - 2 + 6 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
f=(X−3)(X2+2)+6+mf = (X - 3)(X^2 + 2) + 6 + m, pentru orice număr real mm
4
2 puncte
ff este divizibil cu polinomul gg dacă 6+m=06 + m = 0, de unde obținem m=−6m = -6
c)5 puncte
5
3 puncte
x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3 și x1x2+x2x3+x3x1=2x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = 2, deci x12+x22+x32=5x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5 și x13+x23+x33=9−3mx_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 9 - 3m, pentru orice număr real mm
6
2 puncte
9−3m=09 - 3m = 0, deci m=3m = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+x+1exf(x) = x + \dfrac{\sqrt{x+1}}{e^x}. a) Arătați că f′(x)=1−2x+12exx+1f'(x) = 1 - \dfrac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)−x≤e2f(x) - x \leq \sqrt{\dfrac{e}{2}}, pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1+12x+1⋅ex−x+1⋅exe2xf'(x) = 1 + \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot e^x - \sqrt{x+1} \cdot e^x}{e^{2x}}
2
2 puncte
=1+1−2x−22exx+1=1−2x+12exx+1= 1 + \dfrac{1 - 2x - 2}{2e^x\sqrt{x+1}} = 1 - \dfrac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(1+1ex⋅1x+1x2)=1\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{e^x} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}\right) = 1
4
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞x+1ex=lim⁡x→+∞12exx+1=0\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x+1}}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2e^x\sqrt{x+1}} = 0, deci dreapta de ecuație y=xy = x este asimptota oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
g:(−1,+∞)→Rg : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−x⇒g′(x)=−2x+12exx+1g(x) = f(x) - x \Rightarrow g'(x) = -\dfrac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}; g′(x)=0⇔x=−12g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{2}
6
3 puncte
g′(x)≥0g'(x) \geq 0 pentru orice x∈(−1,−12]⇒gx \in \left(-1, -\dfrac{1}{2}\right] \Rightarrow g este crescătoare pe (−1,−12]\left(-1, -\dfrac{1}{2}\right], g′(x)≤0g'(x) \leq 0 pentru orice x∈[−12,+∞)⇒gx \in \left[-\dfrac{1}{2}, +\infty\right) \Rightarrow g este descrescătoare pe [−12,+∞)\left[-\dfrac{1}{2}, +\infty\right), deci g(x)≤g(−12)g(x) \leq g\left(-\dfrac{1}{2}\right) pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty) și, cum g(−12)=e2g\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{e}{2}}, obținem f(x)−x≤e2f(x) - x \leq \sqrt{\dfrac{e}{2}}, pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+xln⁡xf(x) = x^2 + x \ln x. a) Arătați că ∫123(f(x)−xln⁡x) dx=7\displaystyle\int_1^2 3(f(x) - x \ln x)\, dx = 7. b) Arătați că ∫1ef(x)x3 dx=2(1−1e)\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x)}{x^3}\, dx = 2\left(1 - \dfrac{1}{e}\right). c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:[1,+∞)→Rg : [1, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=x+1f(x)g(x) = \dfrac{x+1}{f(x)}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=ex = e are aria strict mai mare decât 11.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫123(f(x)−xln⁡x) dx=∫123x2 dx=x3∣12\displaystyle\int_1^2 3(f(x) - x \ln x)\, dx = \int_1^2 3x^2\, dx = x^3 \Big|_1^2
2
2 puncte
=8−1=7= 8 - 1 = 7
b)5 puncte
3
3 puncte
∫1ef(x)x3 dx=∫1e1x dx+∫1e(−1x)′ln⁡x dx=ln⁡x∣1e−ln⁡xx∣1e+∫1e1x2 dx\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x)}{x^3}\, dx = \int_1^e \dfrac{1}{x}\, dx + \int_1^e \left(-\dfrac{1}{x}\right)' \ln x\, dx = \ln x \Big|_1^e - \dfrac{\ln x}{x}\Big|_1^e + \int_1^e \dfrac{1}{x^2}\, dx
4
2 puncte
=1−1e−1x∣1e=2−2e=2(1−1e)= 1 - \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{x}\Big|_1^e = 2 - \dfrac{2}{e} = 2\left(1 - \dfrac{1}{e}\right)
c)5 puncte
5
2 puncte
g(x)=x+1x2+xln⁡x≥0g(x) = \dfrac{x+1}{x^2 + x \ln x} \geq 0, pentru orice x∈[1,e]x \in [1, e], deci A=∫1e∣g(x)∣ dx=∫1ex+1x2+xln⁡x dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^e |g(x)|\, dx = \int_1^e \dfrac{x+1}{x^2 + x \ln x}\, dx
6
3 puncte
=∫1e(1+1x)⋅1x+ln⁡x dx=∫1e(x+ln⁡x)′⋅1x+ln⁡x dx=ln⁡(x+ln⁡x)∣1e=ln⁡(e+1)>ln⁡e=1= \displaystyle\int_1^e \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \cdot \dfrac{1}{x + \ln x}\, dx = \int_1^e (x + \ln x)' \cdot \dfrac{1}{x + \ln x}\, dx = \ln(x + \ln x)\Big|_1^e = \ln(e + 1) > \ln e = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2023 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare 2023 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac