BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2023 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a1a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a2=7a_2 = 7 și a6=23a_6 = 23.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează a6=a2+4ra_6 = a_2 + 4r, deci 4r=164r = 16, de unde obținem r=4r = 4, unde rr este rația progresiei aritmetice.
2
2 puncte
Se obține a1=a2−r=7−4=3a_1 = a_2 - r = 7 - 4 = 3.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=8x−5f(x) = 8x - 5. Determinați numărul real aa pentru care punctul A(a,3a)A(a, 3a) aparține graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
Punctul A(a,3a)A(a, 3a) aparține graficului funcției ff dacă f(a)=3af(a) = 3a, deci 8a−5=3a8a - 5 = 3a.
2
2 puncte
Se obține 5a=55a = 5, de unde a=1a = 1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4x+log⁡4(3x)=log⁡412\log_4 x + \log_4 (3x) = \log_4 12.

Rezolvare

1
3 puncte
Se aplică proprietatea logaritmilor: log⁡4(3x2)=log⁡412\log_4 (3x^2) = \log_4 12, de unde obținem 3x2=123x^2 = 12, deci x2=4x^2 = 4.
2
2 puncte
Se obține x=−2x = -2, care nu convine (argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv); x=2x = 2, care convine.
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n\sqrt{n} să fie număr natural par.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
2
3 puncte
Numerele naturale nn, de două cifre, pentru care n\sqrt{n} este număr natural par sunt 1616, 3636 și 6464, deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde obținem p=390=130p = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−3,2)A(-3, 2), B(1,4)B(1, 4) și C(6,0)C(6, 0). Determinați distanța dintre mijloacele segmentelor ABAB și OCOC.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează M(−1,3)M(-1, 3) și N(3,0)N(3, 0), unde punctele MM și NN sunt mijloacele segmentelor ABAB, respectiv OCOC.
2
3 puncte
Se obține MN=(3+1)2+(0−3)2=16+9=25=5MN = \sqrt{(3 + 1)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=16BC = 16 și măsura unghiului BB egală cu 30°30°. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 32332\sqrt{3}.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează sin⁡B=ACBC\sin B = \frac{AC}{BC}, deci 12=AC16\frac{1}{2} = \frac{AC}{16}, de unde AC=8AC = 8.
2
3 puncte
Se obține AB=BC2−AC2=256−64=192=83AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} și, cum AABC=AB⋅AC2\mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2}, obținem AABC=83⋅82=323\mathcal{A}_{ABC} = \frac{8\sqrt{3} \cdot 8}{2} = 32\sqrt{3}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(−33−2−1)A = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} și B(x)=(x+1−32x−1)B(x) = \begin{pmatrix} x+1 & -3 \\ 2 & x-1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=9\det A = 9. b) Determinați numărul real xx pentru care B(3)⋅B(4)=xB(1)B(3) \cdot B(4) = xB(1). c) Determinați numărul real aa pentru care matricea B(a)B(a) este inversa matricei C=19AC = \frac{1}{9}A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣−33−2−1∣=(−3)⋅(−1)−3⋅(−2)=3+6\det A = \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (-3) \cdot (-1) - 3 \cdot (-2) = 3 + 6.
2
2 puncte
Se obține det⁡A=3+6=9\det A = 3 + 6 = 9.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează B(3)=(4−322)B(3) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} și B(4)=(5−323)B(4) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, deci B(3)⋅B(4)=(14−21140)B(3) \cdot B(4) = \begin{pmatrix} 14 & -21 \\ 14 & 0 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se observă că B(3)⋅B(4)=7(2−320)=7B(1)B(3) \cdot B(4) = 7 \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 7B(1), de unde obținem x=7x = 7.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează C⋅B(a)=(−a+13a+23−2a−49−a+79)C \cdot B(a) = \begin{pmatrix} \frac{-a+1}{3} & \frac{a+2}{3} \\ \frac{-2a-4}{9} & \frac{-a+7}{9} \end{pmatrix}, pentru orice număr real aa.
6
3 puncte
Din C⋅B(a)=B(a)⋅C=I2C \cdot B(a) = B(a) \cdot C = I_2 rezultă a=−2a = -2.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+X2+mX−4f = X^3 + X^2 + mX - 4, unde mm este număr real. a) Pentru m=1m = 1, arătați că f(2)=10f(2) = 10. b) Pentru m=−4m = -4, determinați rădăcinile polinomului ff. c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul mm, polinomul ff nu are toate rădăcinile reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Pentru m=1m = 1, avem f=X3+X2+X−4f = X^3 + X^2 + X - 4, deci f(2)=23+22+2−4=8+4+2−4f(2) = 2^3 + 2^2 + 2 - 4 = 8 + 4 + 2 - 4.
2
2 puncte
Se obține f(2)=8+4+2−4=10f(2) = 8 + 4 + 2 - 4 = 10.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Pentru m=−4m = -4, avem f=X3+X2−4X−4f = X^3 + X^2 - 4X - 4, deci f=(X+1)(X−2)(X+2)f = (X + 1)(X - 2)(X + 2).
4
3 puncte
Rădăcinile polinomului ff sunt −2-2, −1-1 și 22.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Notăm x1x_1, x2x_2, x3x_3 rădăcinile polinomului ff. Din relațiile lui Viète: x1+x2+x3=−1x_1 + x_2 + x_3 = -1 și x1x2+x2x3+x3x1=mx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = m, deci x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)=1−2mx_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = 1 - 2m.
6
2 puncte
Cum mm este număr natural nenul, obținem x12+x22+x32=1−2m<0x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1 - 2m < 0, deci polinomul ff nu are toate rădăcinile reale.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+1x+2f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2}. a) Arătați că f′(x)=x2+4x−5(x+2)2f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 2)^2}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→+∞f(x)ex=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0. c) Demonstrați că funcția ff este convexă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează folosind regula câtului: f′(x)=(2x−2)(x+2)−(x2−2x+1)⋅1(x+2)2f'(x) = \frac{(2x - 2)(x + 2) - (x^2 - 2x + 1) \cdot 1}{(x + 2)^2}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=2x2+4x−2x−4−x2+2x−1(x+2)2=x2+4x−5(x+2)2f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 2x - 4 - x^2 + 2x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 2)^2}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se aplică regula lui l'Hôpital: lim⁡x→+∞f(x)ex=lim⁡x→+∞x2−2x+1ex(x+2)=lim⁡x→+∞2x−2ex(x+3)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{e^x(x + 2)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 2}{e^x(x + 3)}.
4
2 puncte
Se aplică din nou regula lui l'Hôpital: lim⁡x→+∞2ex(x+4)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x(x + 4)} = 0.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează f′′(x)=18(x+2)3f''(x) = \frac{18}{(x + 2)^3}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty).
6
2 puncte
Se observă că f′′(x)>0f''(x) > 0, pentru orice x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty), de unde obținem că funcția ff este convexă.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+1+1x+1f(x) = x + 1 + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}. a) Arătați că ∫13(f(x)−1x+1)dx=6\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\right) dx = 6. b) Arătați că ∫08(f(x)−x−1)dx=4\displaystyle\int_0^8 \left(f(x) - x - 1\right) dx = 4. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,3]→Rg : [0, 3] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x), este egal cu π(913+ln⁡4)\pi\left(\frac{91}{3} + \ln 4\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f(x)−1x+1=x+1f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+1}} = x + 1, deci ∫13(x+1) dx=[x22+x]13\displaystyle\int_1^3 (x + 1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + x\right]_1^3.
2
2 puncte
Se obține 92+3−12−1=4+2=6\frac{9}{2} + 3 - \frac{1}{2} - 1 = 4 + 2 = 6.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează f(x)−x−1=1x+1f(x) - x - 1 = \frac{1}{\sqrt{x+1}}, deci ∫081x+1 dx=2∫08(x+1)′2x+1 dx=2x+1∣08\displaystyle\int_0^8 \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx = 2\int_0^8 \frac{(x+1)'}{2\sqrt{x+1}}\,dx = 2\sqrt{x+1}\Big|_0^8.
4
2 puncte
Se obține 29−21=2⋅3−2⋅1=42\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 4.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează V=π∫03g2(x) dx=π∫03((x+1)2+2x+1+1x+1)dxV = \pi\displaystyle\int_0^3 g^2(x)\,dx = \pi\int_0^3 \left((x+1)^2 + 2\sqrt{x+1} + \frac{1}{x+1}\right)dx.
6
3 puncte
Se obține V=π[(x+1)33+4(x+1)x+13+ln⁡(x+1)]03=π(643+323+ln⁡4−13−43)=π(913+ln⁡4)V = \pi\left[\frac{(x+1)^3}{3} + \frac{4(x+1)\sqrt{x+1}}{3} + \ln(x+1)\right]_0^3 = \pi\left(\frac{64}{3} + \frac{32}{3} + \ln 4 - \frac{1}{3} - \frac{4}{3}\right) = \pi\left(\frac{91}{3} + \ln 4\right).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2023 — Științele Naturii

Următor →

Simulare 2023 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac