BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2024 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2(1−2i)+i(4+i)=12(1-2i)+i(4+i)=1, unde i2=−1i^2=-1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se efectuează calculele: 2(1−2i)+i(4+i)=2−4i+4i+i2=2(1-2i)+i(4+i)=2-4i+4i+i^2=
2
2 puncte
=2+(−1)=1=2+(-1)=1.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax−af(x)=x^2+ax-a, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa pentru care punctul A(3,−3)A(3,-3) aparține graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
Condiția f(3)=−3f(3)=-3 implică 9+3a−a=−39+3a-a=-3.
2
2 puncte
Se obține 2a=−122a=-12, deci a=−6a=-6.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+8)=log⁡2(8−2x)\log_2(x^2+8)=\log_2(8-2x).

Rezolvare

1
3 puncte
Din x2+8=8−2xx^2+8=8-2x, se obține x2+2x=0x^2+2x=0.
2
2 puncte
Soluțiile sunt x=−2x=-2 sau x=0x=0, care convin.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii A={1,2,3,4,5}A=\{1,2,3,4,5\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra zecilor se poate alege în 22 moduri (cifrele pare din AA: 22 și 44).
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 44 moduri, deci se pot forma 2⋅4=82\cdot 4=8 numere.
Exercițiul 5
În sistemul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,3)A(0,3) și B(4,0)B(4,0). Determinați coordonatele punctului CC pentru care OA⃗+OB⃗=OC⃗\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OC}.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează OA⃗=3j⃗\vec{OA}=3\vec{j}, OB⃗=4i⃗\vec{OB}=4\vec{i}.
2
3 puncte
OC⃗=4i⃗+3j⃗\vec{OC}=4\vec{i}+3\vec{j}, deci punctul CC are coordonatele (4,3)(4,3).
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABCABC, cu AB=5AB=5, C=π4C=\frac{\pi}{4} și înălțimea AD=4AD=4. Arătați că BC=7BC=7.

Rezolvare

1
2 puncte
Din triunghiul dreptunghic ADCADC, cu C=π4C=\frac{\pi}{4} și AD=4AD=4, se obține DC=4DC=4.
2
3 puncte
Din triunghiul dreptunghic ADBADB, BD=AB2−AD2=25−16=3BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{25-16}=3, deci BC=BD+DC=3+4=7BC=BD+DC=3+4=7.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(001a−1a100)A(a)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1))=1. b) Arătați că A(a)⋅A(b)=A(a)−A(b)+I3A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_3, pentru orice numere reale aa și bb. c) Determinați matricea X∈M3(R)X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) pentru care A(1)⋅X⋅A(0)=I3A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se scrie A(1)=(0011−11100)A(1)=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=∣0011−11100∣=\det(A(1))=\begin{vmatrix}0&0&1\\1&-1&1\\1&0&0\end{vmatrix}=
2
3 puncte
=0+0+0−(−1)−0−0=1=0+0+0-(-1)-0-0=1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(a)⋅A(b)=(100−b+a1a−b001)=A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&0&0\\-b+a&1&a-b\\0&0&1\end{pmatrix}=
4
2 puncte
=(000a−b0a−b000)+(100010001)=A(a)−A(b)+I3=\begin{pmatrix}0&0&0\\a-b&0&a-b\\0&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=A(a)-A(b)+I_3, pentru orice numere reale aa și bb.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din det⁡(A(1))=1\det(A(1))=1 rezultă că (A(1))−1=A(1)(A(1))^{-1}=A(1) și (A(0))−1=A(0)(A(0))^{-1}=A(0).
6
3 puncte
X=(A(1))−1⋅(A(0))−1X=(A(1))^{-1}\cdot(A(0))^{-1}, de unde se obține X=(100111001)X=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[3,+∞)M=[3,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=m(x−3)(y−3)+3x\circ y=m(x-3)(y-3)+3, unde m∈(0,+∞)m\in(0,+\infty). a) Arătați că 3∘5=33\circ 5=3, pentru orice m∈(0,+∞)m\in(0,+\infty). b) Pentru m=2m=2, arătați că e=72e=\frac{7}{2} este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∘\circ\u201d. c) Se consideră funcția f:M→Mf:M\to M, f(x)=3+x−3f(x)=3+\sqrt{x-3}. Pentru m=1m=1, arătați că f(x∘y)=f(x)∘f(y)f(x\circ y)=f(x)\circ f(y), pentru orice x,y∈Mx,y\in M.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 3∘5=m(3−3)(5−3)+3=3\circ 5=m(3-3)(5-3)+3=
2
2 puncte
=m⋅0⋅2+3=3=m\cdot 0\cdot 2+3=3, pentru orice m∈(0,+∞)m\in(0,+\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se verifică x∘72=2(x−3)(72−3)+3=x−3+3=xx\circ\frac{7}{2}=2(x-3)\left(\frac{7}{2}-3\right)+3=x-3+3=x, pentru orice x∈Mx\in M.
4
3 puncte
Se verifică 72∘x=2(72−3)(x−3)+3=x−3+3=x\frac{7}{2}\circ x=2\left(\frac{7}{2}-3\right)(x-3)+3=x-3+3=x, pentru orice x∈Mx\in M, deci e=72e=\frac{7}{2} este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∘\circ\u201d.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează f(x∘y)=3+(x−3)(y−3)+3−3=3+(x−3)(y−3)=3+x−3⋅y−3f(x\circ y)=3+\sqrt{(x-3)(y-3)+3-3}=3+\sqrt{(x-3)(y-3)}=3+\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{y-3}.
6
3 puncte
Se calculează f(x)∘f(y)=(f(x)−3)(f(y)−3)+3=x−3⋅y−3+3=f(x∘y)f(x)\circ f(y)=(f(x)-3)(f(y)-3)+3=\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{y-3}+3=f(x\circ y), pentru orice x,y∈Mx,y\in M.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−e−xx−1f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}. a) Arătați că f′(x)=(x−1)2+xe−x(x−1)2f'(x)=\frac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este bijectivă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează: f′(x)=1−−e−x(x−1)−e−x(x−1)2=f'(x)=1-\frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}}{(x-1)^2}=
2
2 puncte
=1+xe−x(x−1)2=(x−1)2+xe−x(x−1)2=1+\frac{xe^{-x}}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(1−e−xx(x−1))=1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{e^{-x}}{x(x-1)}\right)=1.
4
2 puncte
Se calculează lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞(−e−xx−1)=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=0, deci dreapta de ecuație y=xy=x este asimptota oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)>0f'(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty), deci ff este strict crescătoare pe (1,+∞)(1,+\infty), deci ff este injectivă.
6
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, lim⁡x↘1f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\searrow 1}f(x)=-\infty și ff este continuă, deci ff este surjectivă, de unde obținem că ff este bijectivă.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2+1)2f(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2}. a) Arătați că ∫13f(x)(x2+1)2 dx=4\displaystyle\int_1^3 f(x)(x^2+1)^2\,dx=4. b) Arătați că ∫01f(x) dx=14\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{1}{4}. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫01xnx⋅f(x) dxI_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\sqrt{x\cdot f(x)}\,dx. Arătați că In−In+4=2(n+2)(n+4)I_n-I_{n+4}=\frac{2}{(n+2)(n+4)}, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se simplifică: ∫13f(x)(x2+1)2 dx=∫13x dx=x22∣13=\displaystyle\int_1^3 f(x)(x^2+1)^2\,dx=\int_1^3 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3=
2
2 puncte
=92−12=4=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫01x(x2+1)2 dx=12∫01(x2+1)′(x2+1)2 dx=−12⋅1x2+1∣01=\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\,dx=\left.-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}\right|_0^1=
4
2 puncte
=−14+12=14=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se scrie In=∫01xnx2(x2+1)2 dx=∫01xn+1x2+1 dxI_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\sqrt{\frac{x^2}{(x^2+1)^2}}\,dx=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+1}\,dx, pentru orice număr natural nenul nn.
6
3 puncte
In−In+4=∫01xn+1(1−x4)x2+1 dx=∫01xn+1(1−x2) dx=xn+2n+2∣01−xn+4n+4∣01=1n+2−1n+4=2(n+2)(n+4)I_n-I_{n+4}=\displaystyle\int_0^1\frac{x^{n+1}(1-x^4)}{x^2+1}\,dx=\int_0^1 x^{n+1}(1-x^2)\,dx=\left.\frac{x^{n+2}}{n+2}\right|_0^1-\left.\frac{x^{n+4}}{n+4}\right|_0^1=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}=\frac{2}{(n+2)(n+4)}, pentru orice număr natural nenul nn.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2025 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2024 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac