BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2024 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 0,5+10⋅(1−0,75)=30{,}5 + 10 \cdot (1 - 0{,}75) = 3.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează 0,5+10⋅(1−0,75)=0,5+10⋅0,250{,}5 + 10 \cdot (1 - 0{,}75) = 0{,}5 + 10 \cdot 0{,}25.
2
3 puncte
=0,5+2,5=3= 0{,}5 + 2{,}5 = 3.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+1g(x) = x + 1. Arătați că f(m)+g(−m)=mf(m) + g(-m) = m, pentru orice număr real mm.

Rezolvare

1
2 puncte
f(m)=2m−1f(m) = 2m - 1, pentru orice număr real mm.
2
3 puncte
g(−m)=−m+1g(-m) = -m + 1, deci f(m)+g(−m)=2m−1−m+1=mf(m) + g(-m) = 2m - 1 - m + 1 = m, pentru orice număr real mm.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+6=5x\sqrt{x^2 + 6} = \sqrt{5x}.

Rezolvare

1
2 puncte
Se ridică la pătrat: x2+6=5xx^2 + 6 = 5x, deci x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0.
2
3 puncte
Se obțin soluțiile x=2x = 2 sau x=3x = 3, care convin.
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea AA, acesta să fie divizor al lui 3030.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile.
2
3 puncte
În mulțimea AA sunt 55 divizori ai lui 3030 (și anume 1,2,3,5,61, 2, 3, 5, 6), deci sunt 55 cazuri favorabile, de unde obținem p=59p = \frac{5}{9}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1), B(2,2)B(2, 2) și C(4,0)C(4, 0). Arătați că triunghiul ABCABC este dreptunghic în BB.

Rezolvare

1
2 puncte
mAB=2−12−1=1m_{AB} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = 1.
2
3 puncte
mBC=0−24−2=−1m_{BC} = \frac{0 - 2}{4 - 2} = -1, deci mAB⋅mBC=1⋅(−1)=−1m_{AB} \cdot m_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1, de unde rezultă că triunghiul ABCABC este dreptunghic în BB.
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=3cos⁡2x−cos⁡x2⋅sin⁡xE(x) = 3\cos^2 x - \cos\frac{x}{2} \cdot \sin x, unde xx este număr real. Arătați că E(π3)=0E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
2
2 puncte
E(π3)=3⋅14−32⋅32=34−34=0E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x−2x1x−6)A(x) = \begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x - 6 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(6))=12\det(A(6)) = 12. b) Determinați numărul real aa pentru care A(4)⋅A(4)=aA(4)A(4) \cdot A(4) = aA(4). c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere naturale nenule, cu m<nm < n, pentru care det⁡(A(m)+A(n))=0\det(A(m) + A(n)) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(6)=(6−1210)A(6) = \begin{pmatrix} 6 & -12 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(6))=6⋅0−(−12)⋅1\det(A(6)) = 6 \cdot 0 - (-12) \cdot 1.
2
2 puncte
=0+12=12= 0 + 12 = 12.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(4)=(4−81−2)A(4) = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, A(4)⋅A(4)=(8−162−4)=2A(4)A(4) \cdot A(4) = \begin{pmatrix} 8 & -16 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} = 2A(4).
4
2 puncte
aA(4)=2A(4)aA(4) = 2A(4), de unde obținem a=2a = 2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(m)+A(n)=(m+n−2m−2n2m+n−12)A(m) + A(n) = \begin{pmatrix} m + n & -2m - 2n \\ 2 & m + n - 12 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(m)+A(n))=(m+n)(m+n−12)+2(2m+2n)=(m+n)(m+n−12)+4(m+n)=(m+n)(m+n−8)\det(A(m) + A(n)) = (m + n)(m + n - 12) + 2(2m + 2n) = (m + n)(m + n - 12) + 4(m + n) = (m + n)(m + n - 8), pentru orice numere naturale nenule mm și nn.
6
3 puncte
(m+n)(m+n−8)=0(m + n)(m + n - 8) = 0 și, cum mm și nn sunt numere naturale nenule, cu m<nm < n, obținem perechile (1,7)(1, 7), (2,6)(2, 6) și (3,5)(3, 5).
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy(x+y−xy)x * y = xy(x + y - xy). a) Arătați că 1∗3=31 * 3 = 3. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗2=−x2x * 2 = -x^2. c) Determinați numărul întreg nenul mm pentru care 12m∗m=m\frac{1}{2m} * m = m.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗3=1⋅3(1+3−1⋅3)=3(1+3−3)1 * 3 = 1 \cdot 3(1 + 3 - 1 \cdot 3) = 3(1 + 3 - 3).
2
2 puncte
=3⋅1=3= 3 \cdot 1 = 3.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗2=x⋅2(x+2−2x)=2x(2−x)x * 2 = x \cdot 2(x + 2 - 2x) = 2x(2 - x), pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
2x(2−x)=−x22x(2 - x) = -x^2, de unde obținem 4x−2x2=−x24x - 2x^2 = -x^2, deci x2−4x=0x^2 - 4x = 0, și x=0x = 0 sau x=4x = 4.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) 12m∗m=12m⋅m(12m+m−12m⋅m)=12⋅2m2−m+12m\frac{1}{2m} * m = \frac{1}{2m} \cdot m\left(\frac{1}{2m} + m - \frac{1}{2m} \cdot m\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2m^2 - m + 1}{2m}, pentru orice număr real nenul mm.
6
3 puncte
2m2−m+14m=m\frac{2m^2 - m + 1}{4m} = m, deci 2m2−m+1=4m22m^2 - m + 1 = 4m^2, de unde 2m2+m−1=02m^2 + m - 1 = 0 și, cum mm este număr întreg nenul, obținem m=−1m = -1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x−3ln⁡xf(x) = \frac{x^2 - 2}{x} - 3\ln x. a) Arătați că f′(x)=x2−3x+2x2f'(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→+∞f(x)+3ln⁡xx+1=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) + 3\ln x}{x + 1} = 1. c) Demonstrați că x2+x−2x≤3ln⁡x\frac{x^2 + x - 2}{x} \leq 3\ln x, pentru orice x∈(0,2]x \in (0, 2].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2x⋅x−(x2−2)x2−3x=x2+2x2−3xf'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 - 2)}{x^2} - \frac{3}{x} = \frac{x^2 + 2}{x^2} - \frac{3}{x}.
2
2 puncte
=x2+2x2−3xx2=x2−3x+2x2= \frac{x^2 + 2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)+3ln⁡xx+1=lim⁡x→+∞x2−2xx+1=lim⁡x→+∞x2−2x2+x=lim⁡x→+∞x2(1−2x2)x2(1+1x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) + 3\ln x}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x^2 - 2}{x}}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 2}{x^2 + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1 - \frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{1}{x}\right)}.
4
2 puncte
=lim⁡x→+∞1−2x21+1x=11=1= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{1} = 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 sau x=2x = 2. Pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (0,1](0, 1], și pentru orice x∈[1,2]x \in [1, 2], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [1,2][1, 2], de unde obținem f(x)≤f(1)f(x) \leq f(1), pentru orice x∈(0,2]x \in (0, 2].
6
2 puncte
f(1)=−1f(1) = -1, deci x2−2x−3ln⁡x≤−1\frac{x^2 - 2}{x} - 3\ln x \leq -1, de unde obținem x2+x−2x≤3ln⁡x\frac{x^2 + x - 2}{x} \leq 3\ln x, pentru orice x∈(0,2]x \in (0, 2].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+x+1f(x) = x^3 + x + 1. a) Arătați că ∫02(f(x)−x3)dx=4\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - x^3\right) dx = 4. b) Arătați că ∫01x2f(x)−x dx=ln⁡23\displaystyle\int_0^1 \frac{x^2}{f(x) - x} \, dx = \frac{\ln 2}{3}. c) Determinați a∈(−∞,0)a \in (-\infty, 0), știind că ∫a0e−x(f′(x)−f(x))dx=1−a3e−a\displaystyle\int_a^0 e^{-x}\left(f'(x) - f(x)\right) dx = 1 - a^3 e^{-a}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02(f(x)−x3)dx=∫02(x+1) dx=x22+x∣02\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - x^3\right) dx = \int_0^2 (x + 1) \, dx = \left. \frac{x^2}{2} + x \right|_0^2.
2
2 puncte
=222+2=2+2=4= \frac{2^2}{2} + 2 = 2 + 2 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01x2f(x)−x dx=∫01x2x3+1 dx=13∫01(x3+1)′x3+1 dx=13ln⁡(x3+1)∣01\displaystyle\int_0^1 \frac{x^2}{f(x) - x} \, dx = \int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 1} \, dx = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{(x^3 + 1)'}{x^3 + 1} \, dx = \frac{1}{3} \left. \ln(x^3 + 1) \right|_0^1.
4
2 puncte
=ln⁡2−ln⁡13=ln⁡23= \frac{\ln 2 - \ln 1}{3} = \frac{\ln 2}{3}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫a0e−x(f′(x)−f(x))dx=∫a0(e−xf(x))′dx=e−xf(x)∣a0=1−e−a(a3+a+1)\displaystyle\int_a^0 e^{-x}\left(f'(x) - f(x)\right) dx = \int_a^0 \left(e^{-x} f(x)\right)' dx = \left. e^{-x} f(x) \right|_a^0 = 1 - e^{-a}(a^3 + a + 1), unde a∈(−∞,0)a \in (-\infty, 0).
6
2 puncte
1−e−a(a3+a+1)=1−a3e−a1 - e^{-a}(a^3 + a + 1) = 1 - a^3 e^{-a}, de unde e−a(a3+a+1)=a3e−ae^{-a}(a^3 + a + 1) = a^3 e^{-a}, deci a+1=0a + 1 = 0 și obținem a=−1a = -1, care convine.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2024 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare 2024 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac