BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2025 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=4+iz_1 = 4 + i și z2=2−4iz_2 = 2 - 4i. Arătați că i⋅z1+z2=1i \cdot z_1 + z_2 = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează i⋅z1+z2=4i+i2+2−4i=−1+2i \cdot z_1 + z_2 = 4i + i^2 + 2 - 4i = -1 + 2.
2
2 puncte
Se obține i⋅z1+z2=−1+2=1i \cdot z_1 + z_2 = -1 + 2 = 1.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+5f(x) = x^2 - 3x + 5. Determinați numerele reale aa pentru care punctul A(a,5)A(a, 5) aparține graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
Din f(a)=5f(a) = 5, se obține a2−3a+5=5a^2 - 3a + 5 = 5, de unde a2−3a=0a^2 - 3a = 0.
2
2 puncte
Se obține a(a−3)=0a(a - 3) = 0, deci a=0a = 0 sau a=3a = 3.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡6(7x−5)=log⁡6(x+1)+1log⁡x6\log_6(7x - 5) = \log_6(x + 1) + \frac{1}{\log_x 6}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 1log⁡x6=log⁡6x\frac{1}{\log_x 6} = \log_6 x, deci ecuația devine log⁡6(7x−5)=log⁡6(x2+x)\log_6(7x - 5) = \log_6(x^2 + x), de unde 7x−5=x2+x7x - 5 = x^2 + x, adică x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0.
2
2 puncte
Soluțiile ecuației sunt x=1x = 1, care nu convine (condiția x>0x > 0, x≠1x \neq 1), și x=5x = 5, care convine.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui 99.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele 2727, 4545, 6363, 8181 și 9999 sunt multiplii impari ai lui 99, deci sunt 55 cazuri favorabile, de unde p=590=118p = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,0)A(2, 0), B(2,4)B(2, 4) și C(5,a)C(5, a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că dreptele OBOB și ACAC sunt paralele.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează panta dreptei OBOB: mOB=4−02−0=2m_{OB} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2.
2
3 puncte
Se calculează panta dreptei ACAC: mAC=a−05−2=a3m_{AC} = \frac{a - 0}{5 - 2} = \frac{a}{3} și, din condiția mOB=mACm_{OB} = m_{AC}, se obține a3=2\frac{a}{3} = 2, deci a=6a = 6.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, cu AB=6AB = 6, BC=10BC = 10 și cos⁡B=45\cos B = \frac{4}{5}. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 1818.

Rezolvare

1
3 puncte
Din cos⁡B=45\cos B = \frac{4}{5} și sin⁡2B+cos⁡2B=1\sin^2 B + \cos^2 B = 1, se obține sin⁡B=35\sin B = \frac{3}{5} (deoarece sin⁡B>0\sin B > 0).
2
2 puncte
Se calculează A△ABC=AB⋅BC⋅sin⁡B2=12⋅6⋅10⋅35=18\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot BC \cdot \sin B}{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5} = 18.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(001−1000−10)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} și B(x)=(1x001x−x01)B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ -x & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=1\det A = 1. b) Arătați că A−B(x)⋅A=xI3A - B(x) \cdot A = xI_3, pentru orice număr real xx. c) Pentru fiecare număr real xx se consideră matricea C(x)C(x) astfel încât A⋅C(x)=B(x)A \cdot C(x) = B(x). Arătați că C(x)−C(y)=(y−x)AC(x) - C(y) = (y - x)A, pentru orice numere reale xx și yy.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣001−1000−10∣=0+0+1−0−0−0=1\det A = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 + 1 - 0 - 0 - 0 = 1.
2
2 puncte
Deci det⁡A=0+1+0−0−0−0=1\det A = 0 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează B(x)⋅A=(−x01−1−x00−1−x)B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} -x & 0 & 1 \\ -1 & -x & 0 \\ 0 & -1 & -x \end{pmatrix}, deci A−B(x)⋅A=(x000x000x)A - B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se obține A−B(x)⋅A=xI3A - B(x) \cdot A = xI_3, pentru orice număr real xx.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A−1=(0−1000−1100)A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} și C(x)=A−1⋅B(x)=(0−1−xx0−11x0)C(x) = A^{-1} \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -x \\ x & 0 & -1 \\ 1 & x & 0 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Se calculează C(x)−C(y)=(00−(x−y)x−y000x−y0)=(y−x)AC(x) - C(y) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -(x-y) \\ x-y & 0 & 0 \\ 0 & x-y & 0 \end{pmatrix} = (y - x)A, pentru orice numere reale xx și yy.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2y+xy2+x+yx * y = x^2y + xy^2 + x + y. a) Arătați că 1∗3=161 * 3 = 16. b) Determinați numerele reale nenule xx pentru care x∗2x=9xx * \frac{2}{x} = 9x. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere întregi, cu m≤nm \leq n, pentru care m∗n=1m * n = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se aplică definiția: 1∗3=12⋅3+1⋅32+1+3=3+9+1+31 * 3 = 1^2 \cdot 3 + 1 \cdot 3^2 + 1 + 3 = 3 + 9 + 1 + 3.
2
2 puncte
Se obține 1∗3=3+9+4=161 * 3 = 3 + 9 + 4 = 16.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∗2x=x2⋅2x+x⋅4x2+x+2x=3x2+6xx * \frac{2}{x} = x^2 \cdot \frac{2}{x} + x \cdot \frac{4}{x^2} + x + \frac{2}{x} = \frac{3x^2 + 6}{x}, pentru orice număr real nenul xx.
4
2 puncte
Din 3x2+6x=9x\frac{3x^2 + 6}{x} = 9x, se obține 3x2+6=9x23x^2 + 6 = 9x^2, deci x2=1x^2 = 1, de unde x=−1x = -1 sau x=1x = 1, care convin.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se scrie m∗n=(m+n)(mn+1)m * n = (m + n)(mn + 1), pentru orice numere întregi mm și nn.
6
3 puncte
Din (m+n)(mn+1)=1(m + n)(mn + 1) = 1 și cum mm, nn sunt numere întregi cu m≤nm \leq n, se obțin perechile (0,1)(0, 1) și (−2,1)(-2, 1).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx3f(x) = \frac{\ln x}{x^3}. a) Arătați că f′(x)=1−3ln⁡xx4f'(x) = \frac{1 - 3\ln x}{x^4}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați mulțimea numerelor reale mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are cel puțin o soluție.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează: f′(x)=1x⋅x3−3x2⋅ln⁡xx6=x2−3x2ln⁡xx6f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - 3x^2 \cdot \ln x}{x^6} = \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6}.
2
2 puncte
Se simplifică: f′(x)=1−3ln⁡xx4f'(x) = \frac{1 - 3\ln x}{x^4}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡xx3=lim⁡x→+∞1x3x2=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{3x^2} = 0.
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din f′(x)=0f'(x) = 0 se obține x=e3x = \sqrt[3]{e}. Pentru x∈(0,e3)x \in (0, \sqrt[3]{e}), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare, iar pentru x∈(e3,+∞)x \in (\sqrt[3]{e}, +\infty), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este descrescătoare.
6
3 puncte
Cum lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty, f(e3)=13ef(\sqrt[3]{e}) = \frac{1}{3e} și ff este continuă, mulțimea numerelor reale mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are cel puțin o soluție este (−∞,13e]\left(-\infty, \frac{1}{3e}\right].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+x2−1f(x) = e^x + x^2 - 1. a) Arătați că ∫14(f(x)−ex)dx=18\displaystyle\int_1^4 \left(f(x) - e^x\right) dx = 18. b) Arătați că ∫12exf(x)−x2 dx=ln⁡(e+1)\displaystyle\int_1^2 \frac{e^x}{f(x) - x^2} \, dx = \ln(e + 1). c) Demonstrați că ∫01xf(x)+1 dx≤1−2e\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{f(x) + 1} \, dx \leq 1 - \frac{2}{e}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se simplifică: ∫14(f(x)−ex) dx=∫14(x2−1) dx=(x33−x)∣14\int_1^4 (f(x) - e^x)\,dx = \int_1^4 (x^2 - 1)\,dx = \left(\frac{x^3}{3} - x\right)\Big|_1^4.
2
2 puncte
Se calculează: =643−4−13+1=633−3=21−3=18= \frac{64}{3} - 4 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{63}{3} - 3 = 21 - 3 = 18.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se observă că f(x)−x2=ex−1f(x) - x^2 = e^x - 1, deci ∫12exex−1 dx=∫12(ex−1)′ex−1 dx=ln⁡(ex−1)∣12\int_1^2 \frac{e^x}{e^x - 1}\,dx = \int_1^2 \frac{(e^x - 1)'}{e^x - 1}\,dx = \ln(e^x - 1)\Big|_1^2.
4
2 puncte
Se calculează: =ln⁡(e2−1)−ln⁡(e−1)=ln⁡e2−1e−1=ln⁡(e+1)= \ln(e^2 - 1) - \ln(e - 1) = \ln\frac{e^2 - 1}{e - 1} = \ln(e + 1).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se scrie xf(x)+1=xex+x2\frac{x}{f(x) + 1} = \frac{x}{e^x + x^2} și, cum ex+x2≥exe^x + x^2 \geq e^x pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], se obține ∫01xf(x)+1 dx≤∫01xe−x dx\int_0^1 \frac{x}{f(x) + 1}\,dx \leq \int_0^1 x e^{-x}\,dx.
6
2 puncte
Se calculează ∫01xe−x dx=−e−x(x+1)∣01=−2e+1=1−2e\int_0^1 x e^{-x}\,dx = -e^{-x}(x + 1)\Big|_0^1 = -\frac{2}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}, deci ∫01xf(x)+1 dx≤1−2e\int_0^1 \frac{x}{f(x) + 1}\,dx \leq 1 - \frac{2}{e}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2026 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2025 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac