BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2025 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a1a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a3=19a_3 = 19 și a4=25a_4 = 25.

Rezolvare

1
3 puncte
Rația progresiei este r=a4−a3=25−19=6r = a_4 - a_3 = 25 - 19 = 6
2
2 puncte
Se obține a1=a3−2r=19−12=7a_1 = a_3 - 2r = 19 - 12 = 7
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+af(x) = 2x + a, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că f(2)=8f(2) = 8.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(2)=4+af(2) = 4 + a
2
3 puncte
Din 4+a=84 + a = 8 se obține a=4a = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52−x−1625⋅25x=05^{2-x} - \frac{1}{625} \cdot 25^x = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
Se rescrie ecuația: 52−x−5−4⋅52x=05^{2-x} - 5^{-4} \cdot 5^{2x} = 0, deci 52−x=52x−45^{2-x} = 5^{2x-4}, de unde se obține 2−x=2x−42 - x = 2x - 4
2
2 puncte
Se obține x=2x = 2
Exercițiul 4
Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează C62=6!2!⋅4!C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!}
2
2 puncte
Se obține C62=15C_6^2 = 15
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,2)A(2, 2), B(2,0)B(2, 0) și C(8,2)C(8, 2). Determinați lungimea segmentului DEDE, unde punctele DD și EE sunt mijloacele segmentelor OAOA, respectiv BCBC.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează D(1,1)D(1, 1) și E(5,1)E(5, 1)
2
3 puncte
Se obține DE=(5−1)2+(1−1)2=4DE = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = 4
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=6AB = 6 și B=π6B = \frac{\pi}{6}. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABCABC este egală cu 232\sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează cos⁡B=ABBC\cos B = \frac{AB}{BC}, deci 32=6BC\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{BC}, de unde se obține BC=43BC = 4\sqrt{3}
2
2 puncte
R=BC2R = \frac{BC}{2}, unde RR este raza cercului circumscris triunghiului ABCABC, deci R=23R = 2\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(0−124)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} și M(a)=(a12−2a2−a)M(a) = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 - 2a & 2 - a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡A=2\det A = 2. b) Determinați numărul real xx pentru care M(2)⋅A=xM(1)M(2) \cdot A = xM(1). c) Determinați numerele reale aa pentru care (M(a)−2I2)⋅M(a)=(a+2)I2(M(a) - 2I_2) \cdot M(a) = (a + 2)I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣0−124∣=0⋅4−(−1)⋅2\det A = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \cdot 4 - (-1) \cdot 2
2
2 puncte
Se obține det⁡A=0+2=2\det A = 0 + 2 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează M(2)=(21−20)M(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, M(2)⋅A=(2202)=2(1101)=2M(1)M(2) \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2M(1)
4
2 puncte
Din 2M(1)=xM(1)2M(1) = xM(1) se obține x=2x = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează M(a)−2I2=(a−212−2a−a)M(a) - 2I_2 = \begin{pmatrix} a - 2 & 1 \\ 2 - 2a & -a \end{pmatrix}, (M(a)−2I2)⋅M(a)=(a2−4a+200a2−4a+2)(M(a) - 2I_2) \cdot M(a) = \begin{pmatrix} a^2 - 4a + 2 & 0 \\ 0 & a^2 - 4a + 2 \end{pmatrix}, pentru orice număr real aa
6
2 puncte
Din a2−4a+2=a+2a^2 - 4a + 2 = a + 2 se obține a2−5a=0a^2 - 5a = 0, de unde a=0a = 0 sau a=5a = 5
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=(x−6)(y−6)+6x \circ y = (x - 6)(y - 6) + 6. a) Arătați că 9∘8=129 \circ 8 = 12. b) Arătați că e=7e = 7 este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∘\circ\u201d. c) Determinați numerele reale nenule xx pentru care x∘6x=6xx \circ \frac{6}{x} = 6x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 9∘8=(9−6)(8−6)+69 \circ 8 = (9 - 6)(8 - 6) + 6
2
2 puncte
Se obține 9∘8=6+6=129 \circ 8 = 6 + 6 = 12
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează x∘7=(x−6)(7−6)+6=x−6+6=xx \circ 7 = (x - 6)(7 - 6) + 6 = x - 6 + 6 = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
Se calculează 7∘x=(7−6)(x−6)+6=x−6+6=x7 \circ x = (7 - 6)(x - 6) + 6 = x - 6 + 6 = x, pentru orice număr real xx, deci e=7e = 7 este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∘\circ\u201d
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează x∘6x=6(x−6)(1−x)x+6x \circ \frac{6}{x} = \frac{6(x - 6)(1 - x)}{x} + 6, pentru orice număr real nenul xx
6
3 puncte
Din 6(x−6)(1−x)x+6=6x\frac{6(x - 6)(1 - x)}{x} + 6 = 6x se obține x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0, de unde x=1x = 1 sau x=3x = 3, care convin

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(x2−5)xf(x) = (x^2 - 5)\sqrt{x}. a) Arătați că f′(x)=5(x−1)(x+1)2xf'(x) = \frac{5(x - 1)(x + 1)}{2\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→+∞f′(x)xx=52\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \frac{5}{2}. c) Arătați că f(x+2)−f(x)≤26f(x + 2) - f(x) \leq 26, pentru orice x∈(0,2]x \in (0, 2].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=2xx+(x2−5)⋅12xf'(x) = 2x\sqrt{x} + (x^2 - 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
2
2 puncte
Se obține f′(x)=5x2−52x=5(x−1)(x+1)2xf'(x) = \frac{5x^2 - 5}{2\sqrt{x}} = \frac{5(x - 1)(x + 1)}{2\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞f′(x)xx=lim⁡x→+∞5(x−1)(x+1)2x2=lim⁡x→+∞5x2(1−1x)(1+1x)2x2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5(x - 1)(x + 1)}{2x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2\left(1 - \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{2x^2}
4
2 puncte
Se obține lim⁡x→+∞5(1−1x)(1+1x)2=52\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{5\left(1 - \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{2} = \frac{5}{2}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, de unde x=1x = 1; pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1] și, pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
3 puncte
Pentru x∈(0,2]x \in (0, 2], avem x+2∈(2,4]x + 2 \in (2, 4], deci f(x)≥f(1)=−4f(x) \geq f(1) = -4 și f(x+2)≤f(4)=22f(x + 2) \leq f(4) = 22, de unde se obține f(x+2)−f(x)≤22−(−4)=26f(x + 2) - f(x) \leq 22 - (-4) = 26, pentru orice x∈(0,2]x \in (0, 2]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+4ln⁡xf(x) = x^2 + 4\ln x. a) Arătați că ∫12(f(x)−4ln⁡x) dx=73\displaystyle\int_1^2 (f(x) - 4\ln x) \, dx = \frac{7}{3}. b) Arătați că ∫1ef(x)−x2x dx=2\displaystyle\int_1^e \frac{f(x) - x^2}{x} \, dx = 2. c) Determinați numărul real mm pentru care ∫12(f(x)⋅f′′(x)+(f′(x))2)dx=m(f(2)−f(1))\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) \cdot f''(x) + (f'(x))^2\right) dx = m(f(2) - f(1)).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫12(f(x)−4ln⁡x) dx=∫12x2 dx=x33∣12\displaystyle\int_1^2 (f(x) - 4\ln x) \, dx = \int_1^2 x^2 \, dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_1^2
2
2 puncte
Se obține 83−13=73\frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫1ef(x)−x2x dx=∫1e4ln⁡xx dx=4∫1eln⁡x⋅(ln⁡x)′ dx=2ln⁡2x∣1e\displaystyle\int_1^e \frac{f(x) - x^2}{x} \, dx = \int_1^e \frac{4\ln x}{x} \, dx = 4\int_1^e \ln x \cdot (\ln x)' \, dx = \left.2\ln^2 x\right|_1^e
4
2 puncte
Se obține 2ln⁡2e−2ln⁡21=2⋅1−0=22\ln^2 e - 2\ln^2 1 = 2 \cdot 1 - 0 = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se observă că f(x)⋅f′′(x)+(f′(x))2=(f(x)⋅f′(x))′f(x) \cdot f''(x) + (f'(x))^2 = (f(x) \cdot f'(x))', deci ∫12(f(x)⋅f′(x))′ dx=f(x)⋅f′(x)∣12=f(2)⋅f′(2)−f(1)⋅f′(1)\displaystyle\int_1^2 (f(x) \cdot f'(x))' \, dx = \left.f(x) \cdot f'(x)\right|_1^2 = f(2) \cdot f'(2) - f(1) \cdot f'(1)
6
2 puncte
Se calculează f′(x)=2x+4xf'(x) = 2x + \frac{4}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty); f′(1)=f′(2)=6f'(1) = f'(2) = 6, deci 6(f(2)−f(1))=m(f(2)−f(1))6(f(2) - f(1)) = m(f(2) - f(1)) și, cum f(1)≠f(2)f(1) \neq f(2), se obține m=6m = 6

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2025 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare 2025 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac