BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2025 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (3+32)⋅2−32+4=10(3 + 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4 = 10.

Rezolvare

1
2 puncte
Se efectuează înmulțirea (3+32)⋅2=32+32⋅2=32+3⋅2=32+6(3 + 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3 \cdot 2 = 3\sqrt{2} + 6.
2
3 puncte
Se obține 32+6−32+4=6+4=103\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{2} + 4 = 6 + 4 = 10.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+6f(x) = 3x + 6. Arătați că f(0)+f(2)=f(4)f(0) + f(2) = f(4).

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(0)=6f(0) = 6 și f(2)=12f(2) = 12.
2
3 puncte
Se calculează f(4)=18f(4) = 18, deci f(0)+f(2)=6+12=18=f(4)f(0) + f(2) = 6 + 12 = 18 = f(4).
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1−3=0\sqrt{2x - 1} - 3 = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
Se obține 2x−1=3\sqrt{2x - 1} = 3, deci 2x−1=92x - 1 = 9.
2
2 puncte
Se obține x=5x = 5, care convine (verificare: 2⋅5−1=9=3\sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3).
Exercițiul 4
Prețul unui obiect este de 400400 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 25%25\%.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează valoarea ieftinirii: 25100⋅400=100\frac{25}{100} \cdot 400 = 100 de lei.
2
3 puncte
Prețul obiectului după ieftinire este 400−100=300400 - 100 = 300 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,3)A(2, 3), B(5,6)B(5, 6) și C(6,2)C(6, 2). Arătați că triunghiul ABCABC este isoscel.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează AC=42+12=17AC = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}.
2
3 puncte
Se calculează BC=12+42=17BC = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}, deci AC=BCAC = BC, de unde obținem că triunghiul ABCABC este isoscel.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=4AC = 4 și măsura unghiului CC egală cu 60°60°. Arătați că BC=8BC = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
Se aplică cos⁡C=ACBC=12\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}, deci 4BC=12\frac{4}{BC} = \frac{1}{2}.
2
2 puncte
Se obține BC=8BC = 8.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(112x)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(3))=1\det(A(3)) = 1. b) Arătați că A(2)+A(6)=2A(4)A(2) + A(6) = 2A(4). c) Determinați numărul real xx pentru care A(x)⋅A(x)=3I2A(x) \cdot A(x) = 3I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(3)=(1123)A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(3))=∣1123∣=1⋅3−1⋅2\det(A(3)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(3))=3−2=1\det(A(3)) = 3 - 2 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(2)+A(6)=(1122)+(1126)=(2248)A(2) + A(6) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se calculează 2A(4)=2(1124)=(2248)2A(4) = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}, deci A(2)+A(6)=2A(4)A(2) + A(6) = 2A(4).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A(x)⋅A(x)=(112x)⋅(112x)=(31+x2+2x2+x2)A(x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 + x \\ 2 + 2x & 2 + x^2 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Din (31+x2+2x2+x2)=(3003)\begin{pmatrix} 3 & 1 + x \\ 2 + 2x & 2 + x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} rezultă 1+x=01 + x = 0, de unde obținem x=−1x = -1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+6x \circ y = x + y + 6. a) Arătați că 1∘(−3)=41 \circ (-3) = 4. b) Determinați numărul real xx pentru care x∘2=3xx \circ 2 = 3x. c) Arătați că (x2+2)∘(1−6x)≥0(x^2 + 2) \circ (1 - 6x) \geq 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 1∘(−3)=1+(−3)+6=1−3+61 \circ (-3) = 1 + (-3) + 6 = 1 - 3 + 6.
2
2 puncte
Se obține 1∘(−3)=41 \circ (-3) = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∘2=x+2+6=x+8x \circ 2 = x + 2 + 6 = x + 8, pentru orice număr real xx.
4
2 puncte
Din condiția x+8=3xx + 8 = 3x rezultă 2x=82x = 8, de unde obținem x=4x = 4.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează (x2+2)∘(1−6x)=x2+2+1−6x+6=x2−6x+9(x^2 + 2) \circ (1 - 6x) = x^2 + 2 + 1 - 6x + 6 = x^2 - 6x + 9, pentru orice număr real xx.
6
3 puncte
Se obține x2−6x+9=(x−3)2≥0x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \geq 0, pentru orice număr real xx.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=5x−2x−1f(x) = \frac{5x - 2}{x - 1}. a) Arătați că f′(x)=−3(x−1)2f'(x) = -\frac{3}{(x - 1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x = 2, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este convexă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează folosind regula câtului: f′(x)=(5x−2)′(x−1)−(5x−2)(x−1)′(x−1)2=5(x−1)−(5x−2)(x−1)2f'(x) = \frac{(5x - 2)'(x - 1) - (5x - 2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{5(x - 1) - (5x - 2)}{(x - 1)^2}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=5x−5−5x+2(x−1)2=−3(x−1)2f'(x) = \frac{5x - 5 - 5x + 2}{(x - 1)^2} = -\frac{3}{(x - 1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f(2)=8f(2) = 8 și f′(2)=−3f'(2) = -3.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f(2) = f'(2)(x - 2), adică y=−3x+14y = -3x + 14.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează f′′(x)=6(x−1)3f''(x) = \frac{6}{(x - 1)^3}, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty).
6
2 puncte
Se obține f′′(x)>0f''(x) > 0, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), deci funcția ff este convexă.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3. a) Arătați că ∫01(f(x)−3)dx=1\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 3\right) dx = 1. b) Arătați că ∫01exf(x) dx=3e−1\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\, dx = 3e - 1. c) Determinați a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty) pentru care ∫12f(x)x(x+3) dx=ln⁡a2\displaystyle\int_1^2 \frac{f(x)}{x(x + 3)}\, dx = \ln\frac{a}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫01(f(x)−3) dx=∫012x dx=[x2]01\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 3)\, dx = \int_0^1 2x\, dx = \left[x^2\right]_0^1.
2
2 puncte
Se obține 1−0=11 - 0 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫01ex(2x+3) dx=[ex(2x+3)]01−∫012ex dx=5e−3−[2ex]01\displaystyle\int_0^1 e^x(2x + 3)\, dx = \left[e^x(2x + 3)\right]_0^1 - \int_0^1 2e^x\, dx = 5e - 3 - \left[2e^x\right]_0^1.
4
2 puncte
Se obține 5e−3−2e+2=3e−15e - 3 - 2e + 2 = 3e - 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫122x+3x(x+3) dx=∫12(x2+3x)′x2+3x dx=[ln⁡(x2+3x)]12=ln⁡10−ln⁡4=ln⁡104=ln⁡52\displaystyle\int_1^2 \frac{2x + 3}{x(x + 3)}\, dx = \int_1^2 \frac{(x^2 + 3x)'}{x^2 + 3x}\, dx = \left[\ln(x^2 + 3x)\right]_1^2 = \ln 10 - \ln 4 = \ln\frac{10}{4} = \ln\frac{5}{2}.
6
2 puncte
Din ln⁡52=ln⁡a2\ln\frac{5}{2} = \ln\frac{a}{2} rezultă a=5a = 5, care convine.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2025 — Științele Naturii

Următor →

Simulare 2025 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac