BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2026 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul real xx pentru care numerele xx, 88 și 2x+12x+1 sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare

1
3 puncte
Din condiția de progresie aritmetică, x+(2x+1)2=8\frac{x + (2x+1)}{2} = 8, deci x+2x+1=16x + 2x + 1 = 16.
2
2 puncte
Se obține 3x+1=163x + 1 = 16, deci 3x=153x = 15, de unde x=5x = 5.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+4g(x) = x + 4. Determinați numărul real aa pentru care (f∘g)(a)=−a(f \circ g)(a) = -a.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează g(a)=a+4g(a) = a + 4 și (f∘g)(a)=f(g(a))=2(a+4)+1=2a+9(f \circ g)(a) = f(g(a)) = 2(a + 4) + 1 = 2a + 9, pentru orice număr real aa.
2
2 puncte
Din condiția 2a+9=−a2a + 9 = -a, se obține 3a=−93a = -9, de unde a=−3a = -3.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡5x=log⁡5(4x+5)2\log_5 x = \log_5 (4x + 5).

Rezolvare

1
2 puncte
Se scrie log⁡5x2=log⁡5(4x+5)\log_5 x^2 = \log_5 (4x + 5), de unde se obține x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0.
2
3 puncte
Soluțiile ecuației sunt x=−1x = -1, care nu convine (condiția x>0x > 0), și x=5x = 5, care convine. Deci S={5}S = \{5\}.
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea A={1,3,5,7,8}A = \{1, 3, 5, 7, 8\}. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară, se pot forma cu cifre din mulțimea AA.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra zecilor trebuie să fie impară, deci poate fi aleasă din {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\}, adică în 44 moduri.
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 44 moduri (din cele 44 cifre rămase), deci se pot forma 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 numere.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,5)A(0, 5) și B(3,4)B(3, 4). Determinați coordonatele punctului CC pentru care 3OC⃗=OA⃗+OB⃗3\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează OA⃗=5j⃗\vec{OA} = 5\vec{j}, OB⃗=3i⃗+4j⃗\vec{OB} = 3\vec{i} + 4\vec{j}, deci OA⃗+OB⃗=3i⃗+9j⃗\vec{OA} + \vec{OB} = 3\vec{i} + 9\vec{j}.
2
2 puncte
Din 3OC⃗=OA⃗+OB⃗3\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}, rezultă OC⃗=13(OA⃗+OB⃗)=i⃗+3j⃗\vec{OC} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \vec{i} + 3\vec{j}, deci C(1,3)C(1, 3).
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, cu A=π2A = \frac{\pi}{2}, C=π3C = \frac{\pi}{3} și AE=2AE = 2, unde EE este punctul în care bisectoarea unghiului CC intersectează latura ABAB. Arătați că distanța de la punctul BB la dreapta CECE este egală cu 232\sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
Din A=π2A = \frac{\pi}{2} și C=π3C = \frac{\pi}{3}, rezultă B=π6B = \frac{\pi}{6}. Bisectoarea unghiului CC împarte unghiul CC în două unghiuri egale de π6\frac{\pi}{6}. Atunci ECB^=π6=EBC^\widehat{ECB} = \frac{\pi}{6} = \widehat{EBC}, deci EB=ECEB = EC și d(B,CE)=d(C,BE)=CAd(B, CE) = d(C, BE) = CA.
2
2 puncte
Din tan⁡(ACE^)=AEAC\tan(\widehat{ACE}) = \frac{AE}{AC}, adică 13=2AC\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{AC}, rezultă AC=23AC = 2\sqrt{3}, deci d(B,CE)=23d(B, CE) = 2\sqrt{3}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a0−2111−a21−2)A(a) = \begin{pmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax−2z=4x+y+(1−a)z=32x+y−2z=5\begin{cases} ax - 2z = 4 \\ x + y + (1-a)z = 3 \\ 2x + y - 2z = 5 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=2\det(A(0)) = 2. b) Determinați mulțimea numerelor reale aa pentru care matricea A(a)A(a) este inversabilă. c) Pentru a=2a = 2, arătați că x0z0+y0≥0x_0 z_0 + y_0 \geq 0, pentru orice soluție (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) a sistemului de ecuații, cu x0x_0, y0y_0 și z0z_0 numere reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se scrie A(0)=(00−211121−2)A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} și se calculează det⁡(A(0))=∣00−211121−2∣\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
Se dezvoltă determinantul: =0−2+0+4−0−0=2= 0 - 2 + 0 + 4 - 0 - 0 = 2, deci det⁡(A(0))=2\det(A(0)) = 2.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează det⁡(A(a))=∣a0−2111−a21−2∣=a2−3a+2\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = a^2 - 3a + 2, pentru orice număr real aa.
4
3 puncte
det⁡(A(a))=0⇔a=1\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = 1 sau a=2a = 2, deci matricea A(a)A(a) este inversabilă dacă și numai dacă a∈R∖{1,2}a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Pentru a=2a = 2, soluțiile (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) cu x0,y0,z0∈Rx_0, y_0, z_0 \in \mathbb{R} sunt de forma (α,1,α−2)(\alpha, 1, \alpha - 2), cu α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
6
2 puncte
Se calculează x0z0+y0=α(α−2)+1=(α−1)2≥0x_0 z_0 + y_0 = \alpha(\alpha - 2) + 1 = (\alpha - 1)^2 \geq 0, pentru orice soluție (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) cu x0,y0,z0∈Rx_0, y_0, z_0 \in \mathbb{R}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=(1,+∞)M = (1, +\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−1(x−1)(y−1)x * y = \frac{xy - 1}{(x-1)(y-1)}. a) Arătați că 3∗5=743 * 5 = \frac{7}{4}. b) Determinați x∈Mx \in M pentru care x∗x=3x * x = 3. c) Demonstrați că (x∗2)∗x>2(x * 2) * x > 2, pentru orice x∈Mx \in M.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se aplică definiția: 3∗5=3⋅5−1(3−1)(5−1)=15−12⋅43 * 5 = \frac{3 \cdot 5 - 1}{(3-1)(5-1)} = \frac{15 - 1}{2 \cdot 4}.
2
2 puncte
Se obține 148=74\frac{14}{8} = \frac{7}{4}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∗x=x2−1(x−1)2=x+1x−1x * x = \frac{x^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}, pentru orice x∈Mx \in M.
4
2 puncte
Din x+1x−1=3\frac{x+1}{x-1} = 3, se obține x+1=3x−3x + 1 = 3x - 3, deci x=2x = 2, care convine (2∈M2 \in M).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează x∗2=2x−1x−1x * 2 = \frac{2x - 1}{x - 1}, deci (x∗2)∗x=2x−1x−1⋅x−1(2x−1x−1−1)(x−1)=2x2−2x+1x(x−1)(x * 2) * x = \frac{\frac{2x-1}{x-1} \cdot x - 1}{\left(\frac{2x-1}{x-1} - 1\right)(x-1)} = \frac{2x^2 - 2x + 1}{x(x-1)}.
6
2 puncte
Se scrie 2x2−2x+1x(x−1)=2+1x(x−1)>2\frac{2x^2 - 2x + 1}{x(x-1)} = 2 + \frac{1}{x(x-1)} > 2, pentru orice x∈Mx \in M (deoarece x>1x > 1 implică x(x−1)>0x(x-1) > 0).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡2x−xln⁡xf(x) = x + \ln^2 x - x \ln x. a) Arătați că f′(x)=(2−x)ln⁡xxf'(x) = \frac{(2 - x)\ln x}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției ff în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu axa OxOx. c) Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are soluție unică.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează: f′(x)=1+2ln⁡xx−ln⁡x−1=2ln⁡xx−ln⁡xf'(x) = 1 + \frac{2\ln x}{x} - \ln x - 1 = \frac{2\ln x}{x} - \ln x.
2
2 puncte
Se simplifică: f′(x)=2ln⁡x−xln⁡xx=(2−x)ln⁡xxf'(x) = \frac{2\ln x - x\ln x}{x} = \frac{(2-x)\ln x}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Tangenta la graficul funcției ff în punctul (a,f(a))(a, f(a)) este paralelă cu axa OxOx dacă și numai dacă f′(a)=0f'(a) = 0, cu a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty).
4
3 puncte
Din (2−a)ln⁡aa=0\frac{(2 - a)\ln a}{a} = 0, se obține ln⁡a=0\ln a = 0 sau 2−a=02 - a = 0, deci a=1a = 1 sau a=2a = 2, care convin.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1]; pentru orice x∈[1,2]x \in [1, 2], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,2][1, 2]; și pentru orice x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare pe (2,+∞)(2, +\infty).
6
3 puncte
Cum f(1)=1>0f(1) = 1 > 0, f(2)=2+ln⁡22−2ln⁡2=2+(ln⁡2−1)2−1>0f(2) = 2 + \ln^2 2 - 2\ln 2 = 2 + (\ln 2 - 1)^2 - 1 > 0, și lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty (deoarece termenul −xln⁡x-x\ln x domină), iar ff este continuă și strict descrescătoare pe (2,+∞)(2, +\infty), ecuația f(x)=0f(x) = 0 are soluție unică pe (2,+∞)(2, +\infty) și nicio soluție pe (0,2](0, 2] (unde f>0f > 0).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2+x2+4f(x) = x^2 - 2 + \sqrt{x^2 + 4}. a) Arătați că ∫03(f(x)−x2+4)dx=3\displaystyle\int_0^3 \left(f(x) - \sqrt{x^2 + 4}\right) dx = 3. b) Arătați că ∫05xf(x)−x2+2 dx=1\displaystyle\int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{f(x) - x^2 + 2} \, dx = 1. c) Demonstrați că lim⁡x→01x2∫0xF(t) dt=0\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x F(t) \, dt = 0, unde F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} este primitiva funcției ff pentru care F(0)=0F(0) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se simplifică: ∫03(f(x)−x2+4) dx=∫03(x2−2) dx=(x33−2x)∣03\int_0^3 (f(x) - \sqrt{x^2 + 4})\,dx = \int_0^3 (x^2 - 2)\,dx = \left(\frac{x^3}{3} - 2x\right)\Big|_0^3.
2
2 puncte
Se calculează: =273−6−0=9−6=3= \frac{27}{3} - 6 - 0 = 9 - 6 = 3.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se observă că f(x)−x2+2=x2+4f(x) - x^2 + 2 = \sqrt{x^2 + 4}, deci ∫05xx2+4 dx=∫05(x2+4)′2x2+4 dx=x2+4∣05\int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\,dx = \int_0^{\sqrt{5}} \frac{(x^2 + 4)'}{2\sqrt{x^2 + 4}}\,dx = \sqrt{x^2 + 4}\Big|_0^{\sqrt{5}}.
4
2 puncte
Se calculează: =5+4−0+4=3−2=1= \sqrt{5 + 4} - \sqrt{0 + 4} = 3 - 2 = 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se aplică regula lui l'Hôpital (formă 00\frac{0}{0}): lim⁡x→0∫0xF(t) dtx2=lim⁡x→0F(x)2x=lim⁡x→0F′(x)2=lim⁡x→0f(x)2\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x F(t)\,dt}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{F'(x)}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2}.
6
2 puncte
Se calculează: lim⁡x→0f(x)2=f(0)2=0−2+42=02=0\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2} = \frac{f(0)}{2} = \frac{0 - 2 + \sqrt{4}}{2} = \frac{0}{2} = 0.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Următor →

Model 2026 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac