BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2026 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 14+3⋅(32−14)=4\frac{1}{4} + 3 \cdot \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{4}\right) = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 32−14=64−14=54\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}, apoi 14+3⋅54=14+154\frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + \frac{15}{4}.
2
2 puncte
Se obține 14+154=164=4\frac{1}{4} + \frac{15}{4} = \frac{16}{4} = 4.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4x−9f(x) = 4x - 9. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=af(a) = a.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(a)=4a−9f(a) = 4a - 9, pentru orice număr real aa.
2
3 puncte
Din condiția f(a)=af(a) = a rezultă 4a−9=a4a - 9 = a, de unde obținem 3a=93a = 9, deci a=3a = 3.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1=x\sqrt{2x - 1} = x.

Rezolvare

1
3 puncte
Se ridică la pătrat ambii membri: 2x−1=x22x - 1 = x^2, deci x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0, adică (x−1)2=0(x - 1)^2 = 0.
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1, care convine (verificare: 2⋅1−1=1=1\sqrt{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt{1} = 1).
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea AA, numărul natural n(n+1)n(n+1) să fie multiplu de 1010.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 88 elemente, deci sunt 88 cazuri posibile.
2
3 puncte
În mulțimea AA sunt 22 numere nn pentru care n(n+1)n(n+1) este multiplu de 1010 (și anume n=4n = 4: 4⋅5=204 \cdot 5 = 20 și n=5n = 5: 5⋅6=305 \cdot 6 = 30), deci sunt 22 cazuri favorabile, de unde obținem p=28=14p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(6,8)A(6, 8), B(8,4)B(8, 4) și MM, mijlocul segmentului OAOA. Arătați că triunghiul OBMOBM este isoscel.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează M=(0+62,0+82)=(3,4)M = \left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (3, 4) și OM=32+42=9+16=25=5OM = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
2
2 puncte
Se calculează BM=(8−3)2+(4−4)2=25=5BM = \sqrt{(8-3)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{25} = 5, deci OM=BMOM = BM, de unde obținem că triunghiul OBMOBM este isoscel.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=6AC = 6 și AC=3ABAC = 3AB. Arătați că BC=210BC = 2\sqrt{10}.

Rezolvare

1
2 puncte
Din AC=3ABAC = 3AB și AC=6AC = 6 rezultă AB=AC3=63=2AB = \frac{AC}{3} = \frac{6}{3} = 2.
2
3 puncte
Aplicând teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2=22+62=4+36=40BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40, de unde obținem BC=40=210BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea M(a)=(a+14−1a−4)M(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 4 \\ -1 & a-4 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(M(0))=0\det(M(0)) = 0. b) Arătați că M(3)+2M(0)=3M(1)M(3) + 2M(0) = 3M(1). c) Determinați numărul real aa pentru care M(a)⋅M(0)=3M(0)M(a) \cdot M(0) = 3M(0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează M(0)=(14−1−4)M(0) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}, deci det⁡(M(0))=1⋅(−4)−4⋅(−1)=−4+4\det(M(0)) = 1 \cdot (-4) - 4 \cdot (-1) = -4 + 4.
2
2 puncte
Se obține det⁡(M(0))=−4+4=0\det(M(0)) = -4 + 4 = 0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează M(3)=(44−1−1)M(3) = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} și M(3)+2M(0)=(44−1−1)+(28−2−8)=(612−3−9)M(3) + 2M(0) = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ -2 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ -3 & -9 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se calculează 3M(1)=3(24−1−3)=(612−3−9)3M(1) = 3 \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ -3 & -9 \end{pmatrix}, deci M(3)+2M(0)=3M(1)M(3) + 2M(0) = 3M(1).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează M(a)⋅M(0)=(a+14−1a−4)⋅(14−1−4)=(a−34a−12−a+312−4a)=(a−34(a−3)3−a4(3−a))M(a) \cdot M(0) = \begin{pmatrix} a+1 & 4 \\ -1 & a-4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-3 & 4a-12 \\ -a+3 & 12-4a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-3 & 4(a-3) \\ 3-a & 4(3-a) \end{pmatrix}.
6
2 puncte
Din M(a)⋅M(0)=3M(0)M(a) \cdot M(0) = 3M(0) rezultă (a−34(a−3)3−a4(3−a))=(312−3−12)\begin{pmatrix} a-3 & 4(a-3) \\ 3-a & 4(3-a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -3 & -12 \end{pmatrix}, deci a−3=3a - 3 = 3, de unde obținem a=6a = 6.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4(x+y)x \circ y = xy + 4(x + y). a) Arătați că 1∘2=141 \circ 2 = 14. b) Determinați numărul real xx pentru care x∘3=xx \circ 3 = x. c) Determinați numărul real xx pentru care 2x∘4=2x+42^x \circ 4 = 2^{x+4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 1∘2=1⋅2+4(1+2)=2+4⋅31 \circ 2 = 1 \cdot 2 + 4(1 + 2) = 2 + 4 \cdot 3.
2
2 puncte
Se obține 1∘2=2+12=141 \circ 2 = 2 + 12 = 14.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∘3=x⋅3+4(x+3)=3x+4x+12=7x+12x \circ 3 = x \cdot 3 + 4(x + 3) = 3x + 4x + 12 = 7x + 12, pentru orice număr real xx.
4
2 puncte
Din condiția 7x+12=x7x + 12 = x rezultă 6x=−126x = -12, de unde obținem x=−2x = -2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează 2x∘4=2x⋅4+4(2x+4)=4⋅2x+4⋅2x+16=8⋅2x+162^x \circ 4 = 2^x \cdot 4 + 4(2^x + 4) = 4 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x + 16 = 8 \cdot 2^x + 16, pentru orice număr real xx.
6
3 puncte
Din condiția 8⋅2x+16=2x+48 \cdot 2^x + 16 = 2^{x+4} rezultă 8⋅2x+16=16⋅2x8 \cdot 2^x + 16 = 16 \cdot 2^x, deci 16=8⋅2x16 = 8 \cdot 2^x, adică 2x=22^x = 2, de unde obținem x=1x = 1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1x2+4x+5f(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 5}. a) Arătați că f′(x)=−2(x+2)(x2+4x+5)2f'(x) = \frac{-2(x + 2)}{(x^2 + 4x + 5)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞(x2−1)⋅f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 1) \cdot f(x) = 1. c) Demonstrați că 5f(x)+f(−x)≤25f(x) + f(-x) \leq 2, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se derivează folosind regula câtului: f′(x)=1′⋅(x2+4x+5)−1⋅(x2+4x+5)′(x2+4x+5)2=0−(2x+4)(x2+4x+5)2f'(x) = \frac{1' \cdot (x^2 + 4x + 5) - 1 \cdot (x^2 + 4x + 5)'}{(x^2 + 4x + 5)^2} = \frac{0 - (2x + 4)}{(x^2 + 4x + 5)^2}.
2
3 puncte
Se obține f′(x)=−(2x+4)(x2+4x+5)2=−2(x+2)(x2+4x+5)2f'(x) = \frac{-(2x + 4)}{(x^2 + 4x + 5)^2} = \frac{-2(x + 2)}{(x^2 + 4x + 5)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞(x2−1)⋅f(x)=lim⁡x→+∞x2−1x2+4x+5=lim⁡x→+∞x2(1−1x2)x2(1+4x+5x2)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 1) \cdot f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 4x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}\right)}.
4
2 puncte
Se obține lim⁡x→+∞1−1x21+4x+5x2=1−01+0+0=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0 + 0} = 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din f′(x)=0f'(x) = 0 rezultă x=−2x = -2. Pentru orice x∈(−∞,−2]x \in (-\infty, -2], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (−∞,−2](-\infty, -2]. Pentru orice x∈[−2,+∞)x \in [-2, +\infty), f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−2,+∞)[-2, +\infty).
6
3 puncte
Pentru x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty) avem −x∈(−∞,0]-x \in (-\infty, 0], deci f(x)≤f(0)=15f(x) \leq f(0) = \frac{1}{5} și f(−x)≤f(−2)=1f(-x) \leq f(-2) = 1. Atunci 5f(x)+f(−x)≤5⋅15+1=1+1=25f(x) + f(-x) \leq 5 \cdot \frac{1}{5} + 1 = 1 + 1 = 2, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5x2+2x+1f(x) = 5x^2 + 2x + 1. a) Arătați că ∫01(f(x)−2x)dx=83\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 2x\right) dx = \frac{8}{3}. b) Arătați că ∫021f(x)−5x2 dx=ln⁡52\displaystyle\int_0^2 \frac{1}{f(x) - 5x^2} \, dx = \frac{\ln 5}{2}. c) Determinați primitiva G:(0,+∞)→RG : (0, +\infty) \to \mathbb{R} a funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−2xxg(x) = \frac{f(x) - 2x}{\sqrt{x}}, pentru care G(1)=5G(1) = 5.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f(x)−2x=5x2+2x+1−2x=5x2+1f(x) - 2x = 5x^2 + 2x + 1 - 2x = 5x^2 + 1, deci ∫01(5x2+1) dx=[5x33+x]01\displaystyle\int_0^1 (5x^2 + 1)\,dx = \left[\frac{5x^3}{3} + x\right]_0^1.
2
2 puncte
Se obține 53+1−0=53+33=83\frac{5}{3} + 1 - 0 = \frac{5}{3} + \frac{3}{3} = \frac{8}{3}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează f(x)−5x2=2x+1f(x) - 5x^2 = 2x + 1, deci ∫0212x+1 dx=12∫02(2x+1)′2x+1 dx=12[ln⁡(2x+1)]02\displaystyle\int_0^2 \frac{1}{2x + 1}\,dx = \frac{1}{2} \int_0^2 \frac{(2x+1)'}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2} \left[\ln(2x+1)\right]_0^2.
4
2 puncte
Se obține 12(ln⁡5−ln⁡1)=ln⁡52\frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 1) = \frac{\ln 5}{2}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează g(x)=5x2+1x=5xx+1xg(x) = \frac{5x^2 + 1}{\sqrt{x}} = 5x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}. Se integrează: ∫g(x) dx=∫(5x3/2+x−1/2)dx=5⋅x5/25/2+x1/21/2+C=2x2x+2x+C\int g(x)\,dx = \int \left(5x^{3/2} + x^{-1/2}\right)dx = 5 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2x^2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C, deci G(x)=2x2x+2x+cG(x) = 2x^2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + c.
6
2 puncte
Din G(1)=5G(1) = 5 rezultă 2⋅1+2⋅1+c=52 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + c = 5, deci c=1c = 1. Astfel G(x)=2x2x+2x+1G(x) = 2x^2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 1, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2026 — Științele Naturii

Următor →

Model 2025 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac