BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2016 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numerele reale aa și bb, știind că (a+b)(i+1)=(a−b+1)(i−1)(a + b)(i + 1) = (a - b + 1)(i - 1), unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se dezvoltă și se obține (2a+1)+(2b−1)i=0(2a + 1) + (2b - 1)i = 0.
2
2 puncte
Cum aa și bb sunt numere reale, obținem a=−12a = -\frac{1}{2} și b=12b = \frac{1}{2}.
Exercițiul 2
Determinați numerele reale mm, pentru care funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−mx+1f(x) = x^2 - mx + 1 are valoarea minimă egală cu −3-3.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează Δ=m2−4\Delta = m^2 - 4.
2
3 puncte
Din −m2−44=−3-\frac{m^2 - 4}{4} = -3 rezultă m2−16=0m^2 - 16 = 0, deci m=−4m = -4 sau m=4m = 4.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3x=log⁡x3\log_3 x = \log_x 3.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie ecuația sub forma log⁡3x=1log⁡3x\log_3 x = \frac{1}{\log_3 x}, de unde (log⁡3x+1)(log⁡3x−1)=0(\log_3 x + 1)(\log_3 x - 1) = 0.
2
2 puncte
Se obține x=13x = \frac{1}{3} sau x=3x = 3, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă ambele cifre pătrate perfecte.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile. Pătratele perfecte de o cifră sunt 0,1,40, 1, 4 și 99, deci sunt 3⋅4=123 \cdot 4 = 12 numere naturale de două cifre care au ambele cifre pătrate perfecte, adică sunt 1212 cazuri favorabile.
2
3 puncte
Se obține p=1290=215p = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,a)A(-1, a), B(0,−3)B(0, -3) și C(1,1)C(1, 1), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că AB+BC=ACAB + BC = AC.

Rezolvare

1
2 puncte
Punctele AA, BB și CC sunt coliniare, deci mAB=mBCm_{AB} = m_{BC}.
2
3 puncte
Din −3−a0+1=1+31−0\frac{-3 - a}{0 + 1} = \frac{1 + 3}{1 - 0} se obține a=−7a = -7.
Exercițiul 6
Determinați a∈(0,π)a \in (0, \pi), știind că (sin⁡π7−cos⁡a)2+(cos⁡π7−sin⁡a)2=2\left(\sin \frac{\pi}{7} - \cos a\right)^2 + \left(\cos \frac{\pi}{7} - \sin a\right)^2 = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se dezvoltă și se obține sin⁡2π7−2sin⁡π7cos⁡a+cos⁡2a+cos⁡2π7−2cos⁡π7sin⁡a+sin⁡2a=2\sin^2 \frac{\pi}{7} - 2\sin \frac{\pi}{7} \cos a + \cos^2 a + \cos^2 \frac{\pi}{7} - 2\cos \frac{\pi}{7} \sin a + \sin^2 a = 2, de unde −2sin⁡(π7+a)=0-2\sin\left(\frac{\pi}{7} + a\right) = 0.
2
2 puncte
Cum a∈(0,π)a \in (0, \pi), din relația sin⁡(π7+a)=0\sin\left(\frac{\pi}{7} + a\right) = 0 obținem a=6π7a = \frac{6\pi}{7}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(m)=(21mmm11m1)A(m) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & m \\ m & m & 1 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}, unde mm este număr real. a) Calculați det⁡(A(1))\det(A(1)). b) Determinați valorile reale ale lui mm, pentru care matricea A(m)A(m) este inversabilă. c) Rezolvați ecuația matriceală X⋅A(0)=(210−132)X \cdot A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, unde X∈M2,3(R)X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează A(1)=(211111111)A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=∣211111111∣\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(1))=0\det(A(1)) = 0.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează det⁡(A(m))=(m+1)(m−1)2\det(A(m)) = (m + 1)(m - 1)^2.
4
3 puncte
Matricea A(m)A(m) este inversabilă dacă și numai dacă det⁡(A(m))≠0\det(A(m)) \neq 0, deci (m+1)(m−1)2≠0(m + 1)(m - 1)^2 \neq 0, de unde m∈R∖{−1,1}m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}.
c)5 puncte
5
3 puncte
Se calculează A(0)=(210001101)A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, det⁡(A(0))=1≠0\det(A(0)) = 1 \neq 0, și A(0)−1=(0−1112−2010)A(0)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
6
2 puncte
Se obține X=(10039−7)X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 9 & -7 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4x−4y+20x * y = xy - 4x - 4y + 20. a) Arătați că x∗y=(x−4)(y−4)+4x * y = (x - 4)(y - 4) + 4, pentru orice numere reale xx și yy. b) Calculați 1∗2∗3∗…∗20161 * 2 * 3 * \ldots * 2016. c) Determinați numerele naturale aa, bb și cc, știind că a<b<ca < b < c și a∗b∗c=66a * b * c = 66.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Se calculează x∗y=xy−4x−4y+16+4x * y = xy - 4x - 4y + 16 + 4.
2
3 puncte
Se obține x(y−4)−4(y−4)+4=(x−4)(y−4)+4x(y - 4) - 4(y - 4) + 4 = (x - 4)(y - 4) + 4, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se observă că x∗4=4∗y=4x * 4 = 4 * y = 4, pentru xx și yy numere reale.
4
3 puncte
Se calculează 1∗2∗3∗…∗2016=((1∗2∗3)∗4)∗(5∗…∗2016)=4∗(5∗…∗2016)=41 * 2 * 3 * \ldots * 2016 = ((1 * 2 * 3) * 4) * (5 * \ldots * 2016) = 4 * (5 * \ldots * 2016) = 4.
c)5 puncte
5
1 punct
Din (a−4)(b−4)(c−4)=62(a - 4)(b - 4)(c - 4) = 62, cu aa, bb și cc numere naturale și a<b<ca < b < c.
6
4 puncte
Se descompune 62=(−2)⋅(−1)⋅3162 = (-2) \cdot (-1) \cdot 31 sau 62=1⋅2⋅3162 = 1 \cdot 2 \cdot 31. Din prima descompunere: a=2a = 2, b=3b = 3, c=35c = 35. Din a doua descompunere: a=5a = 5, b=6b = 6, c=35c = 35.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R∖{−1,0}→Rf : \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\} \to \mathbb{R}, f(x)=1x(x+1)f(x) = \frac{1}{x(x + 1)}. a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției ff, în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu axa absciselor. c) Calculați lim⁡n→+∞(f(1)+f(2)+…+f(n))n\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(f(1) + f(2) + \ldots + f(n)\right)^n.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞1x(x+1)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x(x + 1)} = 0.
2
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
b)5 puncte
3
3 puncte
Din f′(x)=0f'(x) = 0 rezultă −2x+1x2(x+1)2=0-\frac{2x + 1}{x^2(x + 1)^2} = 0.
4
2 puncte
Coordonatele punctului sunt x=−12x = -\frac{1}{2} și y=−4y = -4.
c)5 puncte
5
3 puncte
Se descompune 1k(k+1)=1k−1k+1\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} și se telescopează: f(1)+f(2)+…+f(n)=1−1n+1f(1) + f(2) + \ldots + f(n) = 1 - \frac{1}{n+1}, deci lim⁡n→+∞(1−1n+1)n\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n.
6
2 puncte
Se obține 1e\frac{1}{e}.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. a) Calculați ∫241ln⁡x⋅f(x) dx\displaystyle\int_2^4 \frac{1}{\ln x} \cdot f(x)\, dx. b) Arătați că ∫1ef(x)x dx=1−2e\displaystyle\int_1^e \frac{f(x)}{x}\, dx = 1 - \frac{2}{e}. c) Demonstrați că lim⁡n→+∞∫1ef(x)xn dx=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_1^e \frac{f(x)}{x^n}\, dx = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează ∫241ln⁡x⋅f(x) dx=∫241ln⁡x⋅ln⁡xx dx=∫241x dx=ln⁡x∣24\displaystyle\int_2^4 \frac{1}{\ln x} \cdot f(x)\, dx = \int_2^4 \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{\ln x}{x}\, dx = \int_2^4 \frac{1}{x}\, dx = \ln x \Big|_2^4.
2
2 puncte
Se obține ln⁡4−ln⁡2=ln⁡2\ln 4 - \ln 2 = \ln 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează ∫1eln⁡xx2 dx=∫1e(−1x)′ln⁡x dx=−1xln⁡x∣1e+∫1e1x2 dx\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x^2}\, dx = \int_1^e \left(-\frac{1}{x}\right)' \ln x\, dx = -\frac{1}{x} \ln x \Big|_1^e + \int_1^e \frac{1}{x^2}\, dx.
4
2 puncte
Se obține −1e−1x∣1e=−1e−1e+1=1−2e-\frac{1}{e} - \frac{1}{x} \Big|_1^e = -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}.
c)5 puncte
5
2 puncte
Cum x∈[1,e]x \in [1, e], obținem 0≤ln⁡x≤10 \leq \ln x \leq 1, deci 0≤ln⁡xxn+1≤1xn+10 \leq \frac{\ln x}{x^{n+1}} \leq \frac{1}{x^{n+1}}, pentru orice număr natural nn.
6
3 puncte
Se obține 0≤∫1eln⁡xxn+1 dx≤∫1e1xn+1 dx=−1n(1en−1)0 \leq \displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x^{n+1}}\, dx \leq \int_1^e \frac{1}{x^{n+1}}\, dx = -\frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^n} - 1\right) și cum lim⁡n→+∞(−1n(1en−1))=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^n} - 1\right)\right) = 0, rezultă lim⁡n→+∞∫1ef(x)xn dx=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_1^e \frac{f(x)}{x^n}\, dx = 0.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2017 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2016 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac