BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2016 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați rația progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că 2a10=a5+a6+362a_{10} = a_5 + a_6 + 36.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 2(a1+9r)=a1+4r+a1+5r+362(a_1 + 9r) = a_1 + 4r + a_1 + 5r + 36, de unde 9r=369r = 36.
2
2 puncte
Se obține r=4r = 4.
Exercițiul 2
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+3x−1f(x) = x^2 + 3x - 1 cu dreapta de ecuație y=x−1y = x - 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Din x2+3x−1=x−1x^2 + 3x - 1 = x - 1 rezultă x2+2x=0x^2 + 2x = 0.
2
2 puncte
Se obține x=−2x = -2 sau x=0x = 0.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2x−1x+1+log⁡2(x2−1)=4\log_2 \frac{x - 1}{x + 1} + \log_2(x^2 - 1) = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie log⁡2(x−1)(x2−1)x+1=4\log_2 \frac{(x - 1)(x^2 - 1)}{x + 1} = 4, deci (x−1)2=16(x - 1)^2 = 16.
2
2 puncte
Se obține x=−3x = -3 sau x=5x = 5, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu 1010.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 99 numere cu cifra unităților zero, 44 numere cu cifra zecilor cinci și cifra unităților număr par nenul și 44 numere cu cifra unităților cinci și cifra zecilor număr par, deci sunt 1717 cazuri favorabile.
2
3 puncte
Se obține p=1790p = \frac{17}{90}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1), B(1,4)B(1, 4) și C(5,1)C(5, 1). Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
Din A(1,1)A(1, 1), B(1,4)B(1, 4) rezultă AB∥OyAB \parallel Oy și din A(1,1)A(1, 1), C(5,1)C(5, 1) rezultă AC∥OxAC \parallel Ox, deci △ABC\triangle ABC este dreptunghic în AA.
2
3 puncte
Centrul cercului circumscris △ABC\triangle ABC este mijlocul laturii BCBC și are coordonatele (3,52)\left(3, \frac{5}{2}\right).
Exercițiul 6
Arătați că 1+cos⁡2x1−cos⁡2x=ctg2 x\frac{1 + \cos 2x}{1 - \cos 2x} = \text{ctg}^2\, x, pentru orice x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
2 puncte
Se folosesc formulele 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x și 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1 - \cos 2x = 2\sin^2 x.
2
3 puncte
Se obține 1+cos⁡2x1−cos⁡2x=2cos⁡2x2sin⁡2x=ctg2 x\frac{1 + \cos 2x}{1 - \cos 2x} = \frac{2\cos^2 x}{2\sin^2 x} = \text{ctg}^2\, x, pentru orice x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea M(x)=(111231x2x−11)M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ x & 2x - 1 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați det⁡(M(0))\det(M(0)). b) Demonstrați că 2M(x)−M(−x)=M(3x)2M(x) - M(-x) = M(3x), pentru orice număr real xx. c) În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0, 0), A(n,2n−1)A(n, 2n - 1) și B(n2,2n2−1)B(n^2, 2n^2 - 1), unde nn este număr natural, n≥2n \geq 2. Demonstrați că aria triunghiului OABOAB este număr natural.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează M(0)=(1112310−11)M(0) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(M(0))=3+(−2)+0−0−(−1)−2\det(M(0)) = 3 + (-2) + 0 - 0 - (-1) - 2.
2
2 puncte
Se obține det⁡(M(0))=0\det(M(0)) = 0.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează 2M(x)=(2224622x4x−22)2M(x) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 4 & 6 & 2 \\ 2x & 4x - 2 & 2 \end{pmatrix} și M(−x)=(111231−x−2x−11)M(-x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -x & -2x - 1 & 1 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se obține 2M(x)−M(−x)=(1112313x6x−11)=M(3x)2M(x) - M(-x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3x & 6x - 1 & 1 \end{pmatrix} = M(3x), pentru orice număr real xx.
c)5 puncte
5
3 puncte
Se calculează Δ=∣001n2n−11n22n2−11∣=n(n−1)\Delta = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ n & 2n - 1 & 1 \\ n^2 & 2n^2 - 1 & 1 \end{vmatrix} = n(n - 1), deci A△OAB=12∣Δ∣=n(n−1)2\mathcal{A}_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}|\Delta| = \frac{n(n - 1)}{2}.
6
2 puncte
Cum pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2, numerele n−1n - 1 și nn sunt consecutive, produsul lor este număr par, deci A△OAB\mathcal{A}_{\triangle OAB} este număr natural.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=6xy−2x−2y+1x \circ y = 6xy - 2x - 2y + 1. a) Calculați 1∘131 \circ \frac{1}{3}. b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”. c) Calculați 11008∘21008∘31008∘…∘20161008\frac{1}{1008} \circ \frac{2}{1008} \circ \frac{3}{1008} \circ \ldots \circ \frac{2016}{1008}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Se calculează 1∘13=6⋅1⋅13−2⋅1−2⋅13+11 \circ \frac{1}{3} = 6 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{3} + 1.
2
3 puncte
Se obține 2−2−23+1=132 - 2 - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează x∘e=6xe−2x−2e+1=xx \circ e = 6xe - 2x - 2e + 1 = x, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
Din x∘e=xx \circ e = x rezultă (3x−1)(2e−1)=0(3x - 1)(2e - 1) = 0 pentru orice xx, deci e=12e = \frac{1}{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se observă că x∘13=13∘y=13x \circ \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \circ y = \frac{1}{3}, pentru xx și yy numere reale.
6
3 puncte
Se grupează (11008∘…∘3351008)∘13∘(3371008∘…∘20161008)=13\left(\frac{1}{1008} \circ \ldots \circ \frac{335}{1008}\right) \circ \frac{1}{3} \circ \left(\frac{337}{1008} \circ \ldots \circ \frac{2016}{1008}\right) = \frac{1}{3}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx4+3f(x) = \frac{x}{x^4 + 3}. a) Arătați că f′(x)=−3(x−1)(x+1)(x2+1)(x4+3)2f'(x) = -\frac{3(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{(x^4 + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că −14≤f(x)≤14-\frac{1}{4} \leq f(x) \leq \frac{1}{4}, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se derivează f′(x)=1⋅(x4+3)−x⋅4x3(x4+3)2=3(1−x4)(x4+3)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x^4 + 3) - x \cdot 4x^3}{(x^4 + 3)^2} = \frac{3(1 - x^4)}{(x^4 + 3)^2}.
2
2 puncte
Se factorizează −3(x4−1)(x4+3)2=−3(x−1)(x+1)(x2+1)(x4+3)2\frac{-3(x^4 - 1)}{(x^4 + 3)^2} = -\frac{3(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{(x^4 + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează f(0)=0f(0) = 0 și f′(0)=13f'(0) = \frac{1}{3}.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=13xy = \frac{1}{3}x.
c)5 puncte
5
2 puncte
Din f′(x)=0f'(x) = 0 rezultă x=−1x = -1 sau x=1x = 1. Se studiază semnul derivatei: ff descrescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1], ff crescătoare pe [−1,1][-1, 1] și ff descrescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty).
6
3 puncte
Cum lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, f(−1)=−14f(-1) = -\frac{1}{4}, f(1)=14f(1) = \frac{1}{4} și lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, obținem −14≤f(x)≤14-\frac{1}{4} \leq f(x) \leq \frac{1}{4} pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xex−2f(x) = xe^x - 2. a) Determinați primitiva FF a funcției ff, pentru care F(1)=0F(1) = 0. b) Calculați ∫01xf(x) dx\displaystyle\int_0^1 x f(x)\, dx. c) Determinați numerele reale xx, știind că ∫1xf(t) dt=0\displaystyle\int_1^x f(t)\, dt = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=(x−1)ex−2x+cF(x) = (x - 1)e^x - 2x + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}.
2
2 puncte
Din F(1)=0F(1) = 0 rezultă c=2c = 2, deci F(x)=(x−1)ex−2x+2F(x) = (x - 1)e^x - 2x + 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează ∫01(x2ex−2x) dx=x2ex∣01−∫012xex dx−x2∣01\displaystyle\int_0^1 (x^2 e^x - 2x)\, dx = x^2 e^x \Big|_0^1 - \int_0^1 2xe^x\, dx - x^2 \Big|_0^1.
4
2 puncte
Se obține e−3e - 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
Se calculează ∫1xf(t) dt=F(x)−F(1)=(x−1)(ex−2)\displaystyle\int_1^x f(t)\, dt = F(x) - F(1) = (x - 1)(e^x - 2).
6
2 puncte
Din (x−1)(ex−2)=0(x - 1)(e^x - 2) = 0 rezultă x=1x = 1 sau x=ln⁡2x = \ln 2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2016 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare 2016 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac