BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2016 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numerele reale aa și bb, pentru care 103+i=a+ib\dfrac{10}{3+i} = a + ib, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
103+i=10(3−i)32−i2=3−i\dfrac{10}{3+i} = \dfrac{10(3-i)}{3^2 - i^2} = 3 - i
2
2 puncte
3−i=a+ib⇒a=33 - i = a + ib \Rightarrow a = 3, b=−1b = -1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1. Calculați (f(1))2016+(f(0))2016(f(1))^{2016} + (f(0))^{2016}.

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=0f(1) = 0, f(0)=−1f(0) = -1
2
3 puncte
(f(1))2016+(f(0))2016=02016+(−1)2016=1(f(1))^{2016} + (f(0))^{2016} = 0^{2016} + (-1)^{2016} = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 6x2−3x+5=2166^{x^2 - 3x + 5} = 216.

Rezolvare

1
3 puncte
6x2−3x+5=63⇔x2−3x+2=06^{x^2 - 3x + 5} = 6^3 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0
2
2 puncte
x=1x = 1 sau x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați în câte moduri poate fi aleasă o echipă formată din 55 elevi din totalul de 66 elevi pe care îi are la dispoziție un antrenor.

Rezolvare

1
3 puncte
C65=6!5!(6−5)!C_6^5 = \dfrac{6!}{5!(6-5)!}
2
2 puncte
=6= 6
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(5,0)A(5, 0) și B(2m+1,0)B(2m+1, 0), unde mm este număr real. Determinați numărul real mm, știind că punctul C(10,0)C(10, 0) este mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
Punctul CC este mijlocul segmentului AB⇒10=5+2m+12AB \Rightarrow 10 = \dfrac{5 + 2m + 1}{2}
2
2 puncte
2m+6=20⇒m=72m + 6 = 20 \Rightarrow m = 7
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC în care AB=5AB = 5, AC=12AC = 12 și BC=13BC = 13. Calculați cos⁡C\cos C.

Rezolvare

1
2 puncte
△ABC\triangle ABC este dreptunghic în AA (deoarece 52+122=1325^2 + 12^2 = 13^2)
2
3 puncte
cos⁡C=1213\cos C = \dfrac{12}{13}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(124013001)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡A\det A. b) Arătați că (A−I3)(A−I3)(A−I3)=O3(A - I_3)(A - I_3)(A - I_3) = O_3, unde I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și O3=(000000000)O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. c) Rezolvați ecuația matriceală AX=(012)AX = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, unde X=(xyz)∈M3,1(R)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣124013001∣=1+0+0−0−0−0\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0
2
2 puncte
=1= 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A−I3=(024003000)A - I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
4
3 puncte
(A−I3)(A−I3)=(006000000)⇒(A−I3)(A−I3)(A−I3)=(000000000)=O3(A - I_3)(A - I_3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow (A - I_3)(A - I_3)(A - I_3) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O_3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (124013001)(xyz)=(012)⇔{x+2y+4z=0y+3z=1z=2\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} x + 2y + 4z = 0 \\ y + 3z = 1 \\ z = 2 \end{cases}
6
3 puncte
z=2z = 2, y=1−3⋅2=−5y = 1 - 3 \cdot 2 = -5, x=0−2(−5)−4⋅2=2x = 0 - 2(-5) - 4 \cdot 2 = 2
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2. a) Arătați că x∗y=(x−1)(y−1)+1x * y = (x-1)(y-1) + 1, pentru orice numere reale xx și yy. b) Calculați 0∗1∗2∗30 * 1 * 2 * 3. c) Determinați numerele reale aa, știind că a∗a∗2016=2016a * a * 2016 = 2016.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∗y=xy−x−y+1+1x * y = xy - x - y + 1 + 1
2
3 puncte
=x(y−1)−(y−1)+1=(x−1)(y−1)+1= x(y-1) - (y-1) + 1 = (x-1)(y-1) + 1, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 0∗1∗2∗3=(0∗1)∗2∗3=1∗2∗30 * 1 * 2 * 3 = (0 * 1) * 2 * 3 = 1 * 2 * 3
4
2 puncte
=1= 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) a∗a=(a−1)2+1⇒a∗a∗2016=2015(a−1)2+1a * a = (a-1)^2 + 1 \Rightarrow a * a * 2016 = 2015(a-1)^2 + 1
6
3 puncte
2015(a−1)2+1=2016⇔(a−1)2=1⇔a=02015(a-1)^2 + 1 = 2016 \Leftrightarrow (a-1)^2 = 1 \Leftrightarrow a = 0 sau a=2a = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+1xf(x) = \dfrac{x+1}{x}. a) Calculați lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că 20172016≤f(x)≤2\dfrac{2017}{2016} \leq f(x) \leq 2, pentru orice x∈[1,2016]x \in [1, 2016].

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)
2
3 puncte
f′(x)=−1x2f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} și f′(2)=−14⇒lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=−14f'(2) = -\dfrac{1}{4} \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = -\dfrac{1}{4}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=2f(1) = 2, f′(1)=−1f'(1) = -1
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)⇒y=−x+3y - f(1) = f'(1)(x - 1) \Rightarrow y = -x + 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)<0f'(x) < 0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒fx \in (0, +\infty) \Rightarrow f este descrescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty)
6
3 puncte
Cum f(1)=2f(1) = 2 și f(2016)=20172016f(2016) = \dfrac{2017}{2016}, obținem 20172016≤f(x)≤2\dfrac{2017}{2016} \leq f(x) \leq 2, pentru orice x∈[1,2016]x \in [1, 2016]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. a) Calculați ∫02(f(x)+3x2−2) dx\displaystyle\int_0^2 (f(x) + 3x^2 - 2)\,dx. b) Arătați că ∫01(f(x)−x3+3x2+x)ex dx=2e−1\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x^3 + 3x^2 + x)e^x\,dx = 2e - 1. c) Demonstrați că ∫1−a1+af(x) dx=0\displaystyle\int_{1-a}^{1+a} f(x)\,dx = 0, pentru orice număr real aa.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02(f(x)+3x2−2) dx=∫02x3 dx=x44∣02\displaystyle\int_0^2 (f(x) + 3x^2 - 2)\,dx = \int_0^2 x^3\,dx = \left.\dfrac{x^4}{4}\right|_0^2
2
2 puncte
=4= 4
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫01(f(x)−x3+3x2+x)ex dx=∫01(2+x)ex dx\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x^3 + 3x^2 + x)e^x\,dx = \int_0^1 (2 + x)e^x\,dx
4
3 puncte
=(1+x)ex∣01=2e−1= \left.(1 + x)e^x\right|_0^1 = 2e - 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ∫1−a1+af(x) dx=(x44−x3+2x)∣1−a1+a\displaystyle\int_{1-a}^{1+a} f(x)\,dx = \left(\dfrac{x^4}{4} - x^3 + 2x\right)\bigg|_{1-a}^{1+a}
6
3 puncte
=2a+2a3−2a3−6a+4a=0= 2a + 2a^3 - 2a^3 - 6a + 4a = 0, pentru orice număr real aa

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2016 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2016 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac