BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2018 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați partea întreagă a numărului real a=1253+5a = \sqrt[3]{125} + \sqrt{5}.

Rezolvare

1
2 puncte
a=5+5a = 5 + \sqrt{5}
2
3 puncte
Cum 2<5<32 < \sqrt{5} < 3, obținem [a]=5+[5]=7[a] = 5 + [\sqrt{5}] = 7
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+mf(x) = x + m, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm, știind că (f∘f)(x)=f(x+1)(f \circ f)(x) = f(x+1), pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
(f∘f)(x)=x+2m(f \circ f)(x) = x + 2m, f(x+1)=x+1+mf(x+1) = x + 1 + m
2
3 puncte
x+2m=x+1+mx + 2m = x + 1 + m, deci m=1m = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația (23)4x+1≤(23)3x+5\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4x+1} \leq \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3x+5}.

Rezolvare

1
3 puncte
(23)4x+1≤(23)3x+5⇔4x+1≥3x+5\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4x+1} \leq \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3x+5} \Leftrightarrow 4x + 1 \geq 3x + 5
2
2 puncte
x∈[4,+∞)x \in [4, +\infty)
Exercițiul 4
Determinați numărul de submulțimi cu cel puțin trei elemente ale mulțimii A={0,1,2,…,9}A = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}.

Rezolvare

1
3 puncte
Numărul de submulțimi cu cel puțin 33 elemente ale mulțimii AA este C103+C104+⋯+C1010C_{10}^3 + C_{10}^4 + \cdots + C_{10}^{10}
2
2 puncte
=210−C100−C101−C102=1024−1−10−45=968= 2^{10} - C_{10}^0 - C_{10}^1 - C_{10}^2 = 1024 - 1 - 10 - 45 = 968
Exercițiul 5
Se consideră triunghiul MNPMNP cu MN=6MN = 6, MP=8MP = 8 și m(∡M)=90°m(\measuredangle M) = 90°. Calculați lungimea vectorului u⃗=MN→+MP→\vec{u} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP}.

Rezolvare

1
2 puncte
u⃗=MN→+MP→=MQ→\vec{u} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MQ}, unde MNQPMNQP este paralelogram
2
3 puncte
m(∡M)=90°m(\measuredangle M) = 90°, deci MNQPMNQP este dreptunghi și MQ=NP=10MQ = NP = 10
Exercițiul 6
Determinați numărul real xx, știind că tg⁡x+ctg⁡x+2=0\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x + 2 = 0 și x∈(π2,π)x \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right).

Rezolvare

1
2 puncte
tg⁡x+1tg⁡x+2=0⇔(tg⁡x+1)2tg⁡x=0\operatorname{tg} x + \dfrac{1}{\operatorname{tg} x} + 2 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{(\operatorname{tg} x + 1)^2}{\operatorname{tg} x} = 0
2
3 puncte
tg⁡x=−1\operatorname{tg} x = -1 și, cum x∈(π2,π)x \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right), obținem x=3π4x = \dfrac{3\pi}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x02x−101202x−10x)A(x) = \begin{pmatrix} x & 0 & 2x-1 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 2x-1 & 0 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A(x))=0\det(A(x)) = 0. b) Demonstrați că A(x)+A(1−x)=2A(12)A(x) + A(1-x) = 2A\left(\dfrac{1}{2}\right), pentru orice număr real xx. c) Determinați numărul real xx pentru care A(x)⋅A(1−x)=12A(12)A(x) \cdot A(1-x) = \dfrac{1}{2}A\left(\dfrac{1}{2}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡(A(x))=x22+0+0−(2x−1)22−0−0=−3x2+4x−12\det(A(x)) = \dfrac{x^2}{2} + 0 + 0 - \dfrac{(2x-1)^2}{2} - 0 - 0 = \dfrac{-3x^2 + 4x - 1}{2}
2
2 puncte
x=13x = \dfrac{1}{3} sau x=1x = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)+A(1−x)=(x02x−101202x−10x)+(1−x01−2x01201−2x01−x)=(100010001)A(x) + A(1-x) = \begin{pmatrix} x & 0 & 2x-1 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 2x-1 & 0 & x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1-x & 0 & 1-2x \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 1-2x & 0 & 1-x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=2(120001200012)=2A(12)= 2 \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} = 2A\left(\dfrac{1}{2}\right), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(x)⋅A(1−x)=(−5x2+5x−10−4x2+4x−10140−4x2+4x−10−5x2+5x−1)=(140001400014)A(x) \cdot A(1-x) = \begin{pmatrix} -5x^2+5x-1 & 0 & -4x^2+4x-1 \\ 0 & \dfrac{1}{4} & 0 \\ -4x^2+4x-1 & 0 & -5x^2+5x-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}
6
2 puncte
x=12x = \dfrac{1}{2}
Exercițiul 2
Pe mulțimea Z20={0^,1^,2^,…,19^}\mathbb{Z}_{20} = \{\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \ldots, \widehat{19}\} se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+9^x \circ y = \widehat{xy + 3x + 3y + 9}. a) Demonstrați că x∘y=(x+3)(y+3)^x \circ y = \widehat{(x+3)(y+3)}, pentru orice x,y∈Z20x, y \in \mathbb{Z}_{20}. b) Determinați a∈Z20a \in \mathbb{Z}_{20}, știind că a∘x=0^a \circ x = \hat{0} pentru orice x∈Z20x \in \mathbb{Z}_{20}. c) Dați exemplu de a,b∈Z20∖{17^}a, b \in \mathbb{Z}_{20} \setminus \{\widehat{17}\} pentru care a∘b=0^a \circ b = \hat{0}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∘y=xy+3x+3y+9^x \circ y = \widehat{xy + 3x + 3y + 9}
2
3 puncte
=x(y+3)+3(y+3)^=(x+3)(y+3)^= \widehat{x(y+3) + 3(y+3)} = \widehat{(x+3)(y+3)}, pentru orice x,y∈Z20x, y \in \mathbb{Z}_{20}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) (a+3^)(x+3^)=0^(a + \hat{3})(x + \hat{3}) = \hat{0}, pentru orice x∈Z20x \in \mathbb{Z}_{20}
4
3 puncte
a+3^=0^⇒a=17^a + \hat{3} = \hat{0} \Rightarrow a = \widehat{17}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (a+3^)(b+3^)=0^(a + \hat{3})(b + \hat{3}) = \hat{0}
6
3 puncte
De exemplu, pentru a=1^a = \hat{1} și b=2^b = \hat{2}, obținem a+3^=4^a + \hat{3} = \hat{4} și b+3^=5^b + \hat{3} = \hat{5}, deci a∘b=0^a \circ b = \hat{0}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x2−xf(x) = 2x^2 - \sqrt{x}. a) Arătați că lim⁡x→1f(x)−1x−1=72\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 1}{x - 1} = \dfrac{7}{2}. b) Determinați imaginea funcției ff. c) Demonstrați că 2e2x−ex2+38≥02e^{2x} - e^{\frac{x}{2}} + \dfrac{3}{8} \geq 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=4x−12xf'(x) = 4x - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
2
3 puncte
lim⁡x→1f(x)−1x−1=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)=72\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1) = \dfrac{7}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f′(x)=0⇔x=14f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}; f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈(0,14]x \in \left(0, \dfrac{1}{4}\right], deci ff este descrescătoare pe (0,14]\left(0, \dfrac{1}{4}\right], și f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[14,+∞)x \in \left[\dfrac{1}{4}, +\infty\right), deci ff este crescătoare pe [14,+∞)\left[\dfrac{1}{4}, +\infty\right)
4
2 puncte
ff continuă pe (0,+∞)(0, +\infty), lim⁡x→0f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, f(x)≥f(14)f(x) \geq f\left(\dfrac{1}{4}\right) și, cum f(14)=−38f\left(\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{3}{8}, obținem Im⁡f=[−38,+∞)\operatorname{Im} f = \left[-\dfrac{3}{8}, +\infty\right)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ex>0e^x > 0, deci f(ex)≥−38f(e^x) \geq -\dfrac{3}{8}, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
6
2 puncte
2(ex)2−ex≥−382(e^x)^2 - \sqrt{e^x} \geq -\dfrac{3}{8}, deci 2e2x−ex2+38≥02e^{2x} - e^{\frac{x}{2}} + \dfrac{3}{8} \geq 0, pentru orice număr real xx
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=arctg⁡xf(x) = \operatorname{arctg} x. a) Arătați că ∫01f(tg⁡x) dx=12\displaystyle\int_0^1 f(\operatorname{tg} x)\,dx = \dfrac{1}{2}. b) Calculați ∫01f(x)x2+1 dx\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{x^2 + 1}\,dx. c) Demonstrați că π4−1n+2≤(n+1)∫01xnf(x) dx≤π4−12(n+2)\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{n+2} \leq (n+1)\displaystyle\int_0^1 x^n f(x)\,dx \leq \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2(n+2)}, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01f(tg⁡x) dx=∫01arctg⁡(tg⁡x) dx=∫01x dx\displaystyle\int_0^1 f(\operatorname{tg} x)\,dx = \int_0^1 \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)\,dx = \int_0^1 x\,dx
2
2 puncte
=x22∣01=12= \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^1 = \dfrac{1}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01arctg⁡xx2+1 dx=∫01(arctg⁡x)′arctg⁡x dx=12arctg⁡2x∣01\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\operatorname{arctg} x}{x^2 + 1}\,dx = \int_0^1 (\operatorname{arctg} x)' \operatorname{arctg} x\,dx = \left.\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}^2 x\right|_0^1
4
2 puncte
=12arctg⁡21=12⋅(π4)2=π232= \dfrac{1}{2} \operatorname{arctg}^2 1 = \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^2 = \dfrac{\pi^2}{32}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (n+1)∫01xnf(x) dx=∫01(xn+1)′arctg⁡x dx=xn+1arctg⁡x∣01−∫01xn+1x2+1 dx=π4−∫01xn+1x2+1 dx(n+1)\displaystyle\int_0^1 x^n f(x)\,dx = \int_0^1 (x^{n+1})' \operatorname{arctg} x\,dx = \left.x^{n+1} \operatorname{arctg} x\right|_0^1 - \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{x^2+1}\,dx = \dfrac{\pi}{4} - \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{x^2+1}\,dx
6
3 puncte
x∈[0,1]⇒12≤1x2+1≤1⇒12∫01xn+1 dx≤∫01xn+1x2+1 dx≤∫01xn+1 dxx \in [0,1] \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{x^2+1} \leq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2}\int_0^1 x^{n+1}\,dx \leq \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{x^2+1}\,dx \leq \int_0^1 x^{n+1}\,dx și, cum ∫01xn+1 dx=1n+2\int_0^1 x^{n+1}\,dx = \dfrac{1}{n+2}, obținem π4−1n+2≤(n+1)∫01xnf(x) dx≤π4−12(n+2)\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{n+2} \leq (n+1)\int_0^1 x^n f(x)\,dx \leq \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2(n+2)}, pentru orice număr natural nenul nn

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2019 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2018 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac