BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2019 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați modulul numărului complex z=(2−i)(3+2i)−4(1+i)z = (2 - i)(3 + 2i) - 4(1 + i).

Rezolvare

1
3 puncte
z=6−3i+4i−2i2−4−4i=4−3iz = 6 - 3i + 4i - 2i^2 - 4 - 4i = 4 - 3i
2
2 puncte
∣z∣=42+(−3)2=5|z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5
Exercițiul 2
Determinați valorile reale ale lui mm pentru care x2−(2m+1)x+m(m−1)≥0x^2 - (2m+1)x + m(m-1) \geq 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
Δ=(2m+1)2−4m(m−1)=8m+1\Delta = (2m+1)^2 - 4m(m-1) = 8m + 1
2
3 puncte
Δ≤0\Delta \leq 0, deci m∈(−∞,−18]m \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{8}\right]
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡2x−log⁡x2=12\log_2 x - \log_x 2 = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
2log⁡2x−1log⁡2x=1⇒(2log⁡2x+1)(log⁡2x−1)=02\log_2 x - \dfrac{1}{\log_2 x} = 1 \Rightarrow (2\log_2 x + 1)(\log_2 x - 1) = 0
2
2 puncte
x=12x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} sau x=2x = 2, care convin
Exercițiul 4
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi AA, știind că mulțimea AA are exact 1616 submulțimi cu cel mult două elemente.

Rezolvare

1
3 puncte
Numărul de submulțimi cu cel mult două elemente ale mulțimii AA este Cn0+Cn1+Cn2C_n^0 + C_n^1 + C_n^2, unde nn este numărul de elemente ale mulțimii AA
2
2 puncte
1+n+n(n−1)2=161 + n + \dfrac{n(n-1)}{2} = 16 și, cum nn este număr natural, obținem n=5n = 5
Exercițiul 5
Se consideră triunghiul ABCABC, punctul MM mijlocul laturii BCBC și punctul NN mijlocul segmentului AMAM. Demonstrați că 2AN→+BN→+CN→=0⃗2\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} = \vec{0}.

Rezolvare

1
2 puncte
MM mijlocul laturii BC⇒BN→+CN→=2MN→BC \Rightarrow \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{MN}
2
3 puncte
NN mijlocul segmentului AMAM, deci MN→=NA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{NA}, deci 2AN→+BN→+CN→=2AN→+2NA→=0⃗2\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{AN} + 2\overrightarrow{NA} = \vec{0}
Exercițiul 6
Determinați x∈(π2,π)x \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right), știind că 1+3cos⁡x=cos⁡2x1 + 3\cos x = \cos 2x.

Rezolvare

1
3 puncte
1+3cos⁡x=2cos⁡2x−1⇔2cos⁡2x−3cos⁡x−2=0⇔(cos⁡x−2)(2cos⁡x+1)=01 + 3\cos x = 2\cos^2 x - 1 \Leftrightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0 \Leftrightarrow (\cos x - 2)(2\cos x + 1) = 0
2
2 puncte
cos⁡x=−12\cos x = -\dfrac{1}{2} și, cum x∈(π2,π)x \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right), obținem x=2π3x = \dfrac{2\pi}{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(11112a2a4)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & a & 4 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y+z=1x+2y+az=22x+ay+4z=3\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + az = 2 \\ 2x + ay + 4z = 3 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(a))=a(3−a)\det(A(a)) = a(3 - a), pentru orice număr real aa. b) Pentru a=0a = 0, demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil. c) Determinați numerele întregi aa pentru care sistemul de ecuații are soluție unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) și x0x_0, y0y_0 și z0z_0 sunt numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡(A(a))=∣11112a2a4∣=8+a+2a−4−a2−4\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & a & 4 \end{vmatrix} = 8 + a + 2a - 4 - a^2 - 4
2
2 puncte
=−a2+3a=a(3−a)= -a^2 + 3a = a(3 - a), pentru orice număr real aa
b)5 puncte
3
2 puncte
b) det⁡(A(0))=0\det(A(0)) = 0 și un minor principal este ∣1112∣≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \neq 0
4
3 puncte
Minorul caracteristic este ∣111122203∣=3≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 3 \neq 0, deci sistemul de ecuații este incompatibil
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)⇒a∈Z∖{0,3}(x_0, y_0, z_0) \Rightarrow a \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 3\} și soluția sistemului este (1−2a,1a,1a)\left(1 - \dfrac{2}{a}, \dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{a}\right)
6
2 puncte
x0x_0, y0y_0 și z0z_0 sunt numere întregi, deci 1a\dfrac{1}{a} este număr întreg și, cum și aa este număr întreg, obținem a=−1a = -1 sau a=1a = 1, care convin
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x2y2+x2+y2x \circ y = \sqrt{x^2y^2 + x^2 + y^2}. a) Demonstrați că x∘y=(x2+1)(y2+1)−1x \circ y = \sqrt{(x^2+1)(y^2+1) - 1}, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați perechile de numere naturale aa și bb, știind că a∘b=1a \circ b = 1. c) Demonstrați că pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2, numărul 1∘1∘…∘1⏟1 de n ori\underbrace{1 \circ 1 \circ \ldots \circ 1}_{\text{1 de } n \text{ ori}} nu este natural.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∘y=x2y2+x2+y2+1−1x \circ y = \sqrt{x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 - 1}
2
3 puncte
=x2(y2+1)+(y2+1)−1=(x2+1)(y2+1)−1= \sqrt{x^2(y^2+1) + (y^2+1) - 1} = \sqrt{(x^2+1)(y^2+1) - 1}, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
b) (a2+1)(b2+1)−1=1⇔(a2+1)(b2+1)=2\sqrt{(a^2+1)(b^2+1) - 1} = 1 \Leftrightarrow (a^2+1)(b^2+1) = 2
4
3 puncte
Cum aa și bb sunt numere naturale, obținem a=1a = 1, b=0b = 0 sau a=0a = 0, b=1b = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) 1∘1∘…∘1⏟1 de n ori=2n−1\underbrace{1 \circ 1 \circ \ldots \circ 1}_{\text{1 de } n \text{ ori}} = \sqrt{2^n - 1}, pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2
6
3 puncte
Dacă 2n−1∈N\sqrt{2^n - 1} \in \mathbb{N}, există k∈Nk \in \mathbb{N} astfel încât 2n−1=k2⇒k2^n - 1 = k^2 \Rightarrow k impar, deci există m∈Nm \in \mathbb{N} astfel încât 2n−1=(2m+1)22^n - 1 = (2m+1)^2, de unde obținem 2n−1=2m2+2m+12^{n-1} = 2m^2 + 2m + 1, ceea ce este imposibil, pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+2−x+1f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 2} - x + 1. a) Arătați că f′(x)=x+1−x2+2x+2x2+2x+2f'(x) = \dfrac{x + 1 - \sqrt{x^2 + 2x + 2}}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞-\infty la graficul funcției ff. c) Determinați imaginea funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2x+22x2+2x+2−1f'(x) = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1
2
2 puncte
=x+1x2+2x+2−1=x+1−x2+2x+2x2+2x+2= \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1 = \dfrac{x + 1 - \sqrt{x^2 + 2x + 2}}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→−∞f(x)x=lim⁡x→−∞x(−1+2x+1x2−1+1x)x=−2\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(-\sqrt{1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - 1 + \dfrac{1}{x}\right)}{x} = -2
4
3 puncte
lim⁡x→−∞(f(x)+2x)=lim⁡x→−∞(x2+2x+2+x+1)=lim⁡x→−∞1x2+2x+2−x−1=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(f(x) + 2x) = \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x + 1) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x - 1} = 0, deci dreapta de ecuație y=−2xy = -2x este asimptotă oblică spre −∞-\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x2+2x+2>x+1⇒f′(x)<0\sqrt{x^2 + 2x + 2} > x + 1 \Rightarrow f'(x) < 0, pentru orice număr real xx, deci funcția ff este strict descrescătoare pe R\mathbb{R}
6
3 puncte
ff continuă pe R\mathbb{R}, lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, lim⁡x→+∞f(x)=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2, deci Im⁡f=(2,+∞)\operatorname{Im} f = (2, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x+1)f(x) = x\ln(x+1). a) Calculați ∫12(3x−2)f(x)ln⁡(x+1) dx\displaystyle\int_1^2 \dfrac{(3x-2)f(x)}{\ln(x+1)}\,dx. b) Arătați că ∫01f(x) dx=14\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \dfrac{1}{4}. c) Calculați lim⁡t→01t3∫0tf(x) dx\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t^3}\int_0^t f(x)\,dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(3x−2)f(x)ln⁡(x+1) dx=∫12(3x2−2x) dx=(x3−x2)∣12\displaystyle\int_1^2 \dfrac{(3x-2)f(x)}{\ln(x+1)}\,dx = \int_1^2 (3x^2 - 2x)\,dx = \left.(x^3 - x^2)\right|_1^2
2
2 puncte
=8−4−1+1=4= 8 - 4 - 1 + 1 = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01xln⁡(x+1) dx=∫01(x2−12)′ln⁡(x+1) dx=x2−12ln⁡(x+1)∣01−12∫01(x−1) dx\displaystyle\int_0^1 x\ln(x+1)\,dx = \int_0^1 \left(\dfrac{x^2 - 1}{2}\right)' \ln(x+1)\,dx = \left.\dfrac{x^2 - 1}{2}\ln(x+1)\right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int_0^1 (x - 1)\,dx
4
2 puncte
=−12(x22−x)∣01=14= -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2}{2} - x\right)\bigg|_0^1 = \dfrac{1}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡t→01t3∫0tf(x) dx=lim⁡t→0f(t)3t2\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t^3}\int_0^t f(x)\,dx = \lim_{t \to 0} \dfrac{f(t)}{3t^2}
6
2 puncte
=lim⁡t→0ln⁡(t+1)3t=13= \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(t+1)}{3t} = \dfrac{1}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2020 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2019 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac