BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2019 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul complex zz, știind că 3z+2z‾=5+2i3z + 2\overline{z} = 5 + 2i, unde z‾\overline{z} este conjugatul lui zz.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie z=a+biz = a + bi cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Atunci 3(a+bi)+2(a−bi)=5+2i3(a + bi) + 2(a - bi) = 5 + 2i, adică 5a+bi=5+2i5a + bi = 5 + 2i.
2
2 puncte
Se obține a=1a = 1 și b=2b = 2, deci z=1+2iz = 1 + 2i.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+af(x) = x + a, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa pentru care (f∘f∘f)(x)=x+3(f \circ f \circ f)(x) = x + 3, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează (f∘f)(x)=f(x+a)=x+2a(f \circ f)(x) = f(x + a) = x + 2a și (f∘f∘f)(x)=f(x+2a)=x+3a(f \circ f \circ f)(x) = f(x + 2a) = x + 3a.
2
2 puncte
Din x+3a=x+3x + 3a = x + 3 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, se obține a=1a = 1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x+3)−log⁡3x=1\log_3(2x + 3) - \log_3 x = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie log⁡32x+3x=1\log_3 \frac{2x + 3}{x} = 1, de unde 2x+3x=3\frac{2x + 3}{x} = 3.
2
2 puncte
Se obține 2x+3=3x2x + 3 = 3x, deci x=3x = 3, care convine.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să se dividă cu 1010.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 900900 de numere naturale de trei cifre, deci sunt 900900 de cazuri posibile. Sunt 9090 de numere naturale de trei cifre care se divid cu 1010, deci sunt 9090 de cazuri favorabile.
2
3 puncte
Probabilitatea este p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=90900=110p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{90}{900} = \frac{1}{10}.
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa pentru care vectorii u⃗=(a+1)i⃗+(5a−1)j⃗\vec{u} = (a + 1)\vec{i} + (5a - 1)\vec{j} și v⃗=i⃗+3j⃗\vec{v} = \vec{i} + 3\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
Vectorii sunt coliniari dacă a+11=5a−13\frac{a + 1}{1} = \frac{5a - 1}{3}, adică 3(a+1)=5a−13(a + 1) = 5a - 1, deci 3a+3=5a−13a + 3 = 5a - 1.
2
2 puncte
Se obține 2a=42a = 4, deci a=2a = 2.
Exercițiul 6
Calculați aria triunghiului ABCABC, știind că AB=6AB = 6, AC=10AC = 10 și cos⁡A=35\cos A = \frac{3}{5}.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează sin⁡A=45\sin A = \frac{4}{5} (din sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1).
2
3 puncte
Aria triunghiului este A△ABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2=6⋅10⋅452=24\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin A}{2} = \frac{6 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5}}{2} = 24.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea M(x)=(x+10x+20x03−x04−x)M(x) = \begin{pmatrix} x + 1 & 0 & x + 2 \\ 0 & x & 0 \\ 3 - x & 0 & 4 - x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați det⁡(M(−1))\det(M(-1)). b) Demonstrați că M(x)+M(y)=M(0)+M(x+y)M(x) + M(y) = M(0) + M(x + y), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați perechile de numere naturale mm și nn, știind că suma elementelor matricei M(m)⋅M(1)M(m) \cdot M(1) este egală cu suma elementelor matricei M(1)⋅M(n)M(1) \cdot M(n).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se calculează M(−1)=(0010−10405)M(-1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{pmatrix}, deci det⁡(M(−1))=∣0010−10405∣\det(M(-1)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
Se obține det⁡(M(−1))=0+0+0−(−4)−0−0=4\det(M(-1)) = 0 + 0 + 0 - (-4) - 0 - 0 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează M(x)+M(y)=(x+y+20x+y+40x+y06−x−y08−x−y)M(x) + M(y) = \begin{pmatrix} x + y + 2 & 0 & x + y + 4 \\ 0 & x + y & 0 \\ 6 - x - y & 0 & 8 - x - y \end{pmatrix} și M(0)+M(x+y)=(102000304)+(x+y+10x+y+20x+y03−(x+y)04−(x+y))M(0) + M(x + y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x + y + 1 & 0 & x + y + 2 \\ 0 & x + y & 0 \\ 3 - (x + y) & 0 & 4 - (x + y) \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se verifică M(0)+M(x+y)=(x+y+20x+y+40x+y06−x−y08−x−y)=M(x)+M(y)M(0) + M(x + y) = \begin{pmatrix} x + y + 2 & 0 & x + y + 4 \\ 0 & x + y & 0 \\ 6 - x - y & 0 & 8 - x - y \end{pmatrix} = M(x) + M(y), pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează M(m)⋅M(1)=(4m+606m+90m014−4m021−6m)M(m) \cdot M(1) = \begin{pmatrix} 4m + 6 & 0 & 6m + 9 \\ 0 & m & 0 \\ 14 - 4m & 0 & 21 - 6m \end{pmatrix} și M(1)⋅M(n)=(11−n016−n0n011−n016−n)M(1) \cdot M(n) = \begin{pmatrix} 11 - n & 0 & 16 - n \\ 0 & n & 0 \\ 11 - n & 0 & 16 - n \end{pmatrix}, unde mm și nn sunt numere naturale.
6
3 puncte
Egalând sumele elementelor: 50+m=54−3n50 + m = 54 - 3n, adică m+3n=4m + 3n = 4. Cum mm și nn sunt numere naturale, obținem (m,n)∈{(1,1),(4,0)}(m, n) \in \{(1, 1), (4, 0)\}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4x+4y−4xy−3x * y = 4x + 4y - 4xy - 3. a) Demonstrați că x∗y=1−4(x−1)(y−1)x * y = 1 - 4(x - 1)(y - 1), pentru orice numere reale xx și yy. b) Arătați că x∗1x≥1x * \frac{1}{x} \ge 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). c) Determinați numerele reale xx pentru care x∗x∗x∗x=xx * x * x * x = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se dezvoltă 1−4(x−1)(y−1)=1−4(xy−x−y+1)=1−4xy+4x+4y−41 - 4(x - 1)(y - 1) = 1 - 4(xy - x - y + 1) = 1 - 4xy + 4x + 4y - 4.
2
2 puncte
Se obține =4x+4y−4xy−3=x∗y= 4x + 4y - 4xy - 3 = x * y, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∗1x=1−4(x−1)(1x−1)=1−4(x−1)⋅1−xx=1+4(x−1)2xx * \frac{1}{x} = 1 - 4(x - 1)\left(\frac{1}{x} - 1\right) = 1 - 4(x - 1) \cdot \frac{1 - x}{x} = 1 + \frac{4(x - 1)^2}{x}.
4
2 puncte
Deoarece 4(x−1)2x≥0\frac{4(x - 1)^2}{x} \ge 0 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), rezultă x∗1x≥1x * \frac{1}{x} \ge 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează x∗x=1−4(x−1)2x * x = 1 - 4(x - 1)^2, x∗x∗x=1+42(x−1)3x * x * x = 1 + 4^2(x - 1)^3 și x∗x∗x∗x=1−43(x−1)4x * x * x * x = 1 - 4^3(x - 1)^4, unde xx este număr real.
6
2 puncte
Din (x−1)(1+43(x−1)3)=0(x - 1)(1 + 4^3(x - 1)^3) = 0 se obține x=1x = 1 sau x=34x = \frac{3}{4}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=5ln⁡x−x2−3xf(x) = 5\ln x - x^2 - 3x. a) Arătați că f′(x)=(1−x)(2x+5)xf'(x) = \frac{(1 - x)(2x + 5)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Demonstrați că funcția ff este concavă pe (0,+∞)(0, +\infty). c) Demonstrați că 5ln⁡x≤x2+3x−45\ln x \le x^2 + 3x - 4, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează f′(x)=5x−2x−3=5−2x2−3xxf'(x) = \frac{5}{x} - 2x - 3 = \frac{5 - 2x^2 - 3x}{x}.
2
2 puncte
Se factorizează numărătorul: −2x2−3x+5x=(1−x)(2x+5)x\frac{-2x^2 - 3x + 5}{x} = \frac{(1 - x)(2x + 5)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f′′(x)=−2x2−5x2f''(x) = \frac{-2x^2 - 5}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
4
3 puncte
Deoarece f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), funcția ff este concavă pe (0,+∞)(0, +\infty).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Funcția ff este crescătoare pe (0,1](0, 1] și descrescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty), deci f(x)≤f(1)f(x) \le f(1) pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
6
2 puncte
Se calculează f(1)=−4f(1) = -4, deci 5ln⁡x−x2−3x≤−45\ln x - x^2 - 3x \le -4, adică 5ln⁡x≤x2+3x−45\ln x \le x^2 + 3x - 4, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x2+4x+5)exf(x) = (x^2 + 4x + 5)e^x. a) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este crescătoare pe R\mathbb{R}. b) Calculați ∫01(f(x)−x2ex−5ex)dx\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - x^2 e^x - 5e^x\right)dx. c) Demonstrați că e2−1e3≤∫−3−1f(x) dx≤2(e2−1)e3\dfrac{e^2 - 1}{e^3} \le \displaystyle\int_{-3}^{-1} f(x)\,dx \le \dfrac{2(e^2 - 1)}{e^3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Fie FF o primitivă a funcției ff. Atunci F′(x)=f(x)=(x2+4x+5)exF'(x) = f(x) = (x^2 + 4x + 5)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}.
2
3 puncte
Deoarece x2+4x+5=(x+2)2+1>0x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 > 0 și ex>0e^x > 0, obținem f(x)>0f(x) > 0, deci F′(x)>0F'(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Funcția FF este crescătoare pe R\mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se simplifică: f(x)−x2ex−5ex=(x2+4x+5)ex−x2ex−5ex=4xexf(x) - x^2 e^x - 5e^x = (x^2 + 4x + 5)e^x - x^2 e^x - 5e^x = 4xe^x. Deci ∫014xex dx=4(x−1)ex∣01\int_0^1 4xe^x\,dx = 4(x - 1)e^x\Big|_0^1.
4
2 puncte
Se calculează =4(0⋅e−(−1)⋅1)=4= 4(0 \cdot e - (-1) \cdot 1) = 4.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru orice x∈[−3,−1]x \in [-3, -1], avem 1≤x2+4x+5≤21 \le x^2 + 4x + 5 \le 2, deci ex≤f(x)≤2exe^x \le f(x) \le 2e^x.
6
3 puncte
Integrând: ∫−3−1ex dx≤∫−3−1f(x) dx≤2∫−3−1ex dx\int_{-3}^{-1} e^x\,dx \le \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx \le 2\int_{-3}^{-1} e^x\,dx. Cum ∫−3−1ex dx=e−1−e−3=e2−1e3\int_{-3}^{-1} e^x\,dx = e^{-1} - e^{-3} = \frac{e^2 - 1}{e^3}, obținem e2−1e3≤∫−3−1f(x) dx≤2(e2−1)e3\frac{e^2 - 1}{e^3} \le \int_{-3}^{-1} f(x)\,dx \le \frac{2(e^2 - 1)}{e^3}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2019 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare 2019 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac