BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2019 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1+5)2−20=6\left(1 + \sqrt{5}\right)^2 - \sqrt{20} = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează (1+5)2=1+25+5=6+25\left(1 + \sqrt{5}\right)^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}.
2
2 puncte
Deoarece 20=25\sqrt{20} = 2\sqrt{5}, se obține (1+5)2−20=6+25−25=6\left(1 + \sqrt{5}\right)^2 - \sqrt{20} = 6 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 6.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x−3f(x) = x^2 + 2x - 3. Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției ff cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
Se rezolvă f(x)=0f(x) = 0, adică x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0, de unde x=−3x = -3 sau x=1x = 1.
2
2 puncte
Distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției ff cu axa OxOx este egală cu ∣1−(−3)∣=4|1 - (-3)| = 4.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x⋅8x+1=162x4^x \cdot 8^{x+1} = 16^{2x}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 22x⋅23x+3=28x2^{2x} \cdot 2^{3x+3} = 2^{8x}, adică 25x+3=28x2^{5x+3} = 2^{8x}.
2
2 puncte
Se obține 5x+3=8x5x + 3 = 8x, deci x=1x = 1.
Exercițiul 4
Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 1515.

Rezolvare

1
3 puncte
Numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 1515 sunt formate cu cifrele 11, 33 și 55.
2
2 puncte
Numerele sunt 135135, 153153, 315315, 351351, 513513 și 531531.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul A(a,a+1)A(a, a + 1), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că punctul AA se află pe dreapta de ecuație y=2x−1y = 2x - 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Punctul A(a,a+1)A(a, a + 1) se află pe dreapta y=2x−1y = 2x - 1 dacă a+1=2a−1a + 1 = 2a - 1.
2
2 puncte
Se obține a=2a = 2.
Exercițiul 6
Demonstrați că (2sin⁡x+3cos⁡x)2+(3sin⁡x−2cos⁡x)2=13(2\sin x + 3\cos x)^2 + (3\sin x - 2\cos x)^2 = 13, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
Se dezvoltă: 4sin⁡2x+12sin⁡xcos⁡x+9cos⁡2x+9sin⁡2x−12sin⁡xcos⁡x+4cos⁡2x4\sin^2 x + 12\sin x \cos x + 9\cos^2 x + 9\sin^2 x - 12\sin x \cos x + 4\cos^2 x.
2
3 puncte
Se simplifică: =13sin⁡2x+13cos⁡2x=13(sin⁡2x+cos⁡2x)=13= 13\sin^2 x + 13\cos^2 x = 13(\sin^2 x + \cos^2 x) = 13, pentru orice număr real xx.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(xx−1x−1x)A(x) = \begin{pmatrix} x & x - 1 \\ x - 1 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=3\det(A(2)) = 3. b) Demonstrați că A(x)⋅A(y)=A(2xy−x−y+1)A(x) \cdot A(y) = A(2xy - x - y + 1), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul real aa, știind că A(a)=A(x)⋅A(12)⋅A(y)A(a) = A(x) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(y), pentru orice numere reale xx și yy.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(2)=(2112)A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=∣2112∣\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(2))=2⋅2−1⋅1=3\det(A(2)) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(x)⋅A(y)=(xx−1x−1x)(yy−1y−1y)=(2xy−x−y+12xy−x−y2xy−x−y2xy−x−y+1)A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} x & x - 1 \\ x - 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y & y - 1 \\ y - 1 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2xy - x - y + 1 & 2xy - x - y \\ 2xy - x - y & 2xy - x - y + 1 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se verifică =A(2xy−x−y+1)= A(2xy - x - y + 1), pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează A(x)⋅A(12)=A(2x⋅12−x−12+1)=A(12)A(x) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) = A\left(2x \cdot \frac{1}{2} - x - \frac{1}{2} + 1\right) = A\left(\frac{1}{2}\right) și A(12)⋅A(y)=A(12)A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(y) = A\left(\frac{1}{2}\right), pentru orice numere reale xx și yy.
6
3 puncte
Deci A(x)⋅A(12)⋅A(y)=A(12)⋅A(y)=A(12)A(x) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(y) = A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(y) = A\left(\frac{1}{2}\right), deci a=12a = \frac{1}{2}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−xy4x * y = x + y - \frac{xy}{4}. a) Arătați că 6∗2=56 * 2 = 5. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗(4x)=6x * (4x) = 6. c) Calculați 1∗2∗3∗…∗20191 * 2 * 3 * \ldots * 2019.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 6∗2=6+2−6⋅24=8−36 * 2 = 6 + 2 - \frac{6 \cdot 2}{4} = 8 - 3.
2
2 puncte
Se obține 6∗2=56 * 2 = 5.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x+4x−x⋅4x4=6x + 4x - \frac{x \cdot 4x}{4} = 6, adică 5x−x2=65x - x^2 = 6, de unde x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0.
4
2 puncte
Se obține x=2x = 2 sau x=3x = 3.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se observă că x∗4=x+4−4x4=4x * 4 = x + 4 - \frac{4x}{4} = 4 și 4∗y=4+y−4y4=44 * y = 4 + y - \frac{4y}{4} = 4, pentru orice numere reale xx și yy.
6
3 puncte
Deci 1∗2∗3∗…∗2019=((1∗2∗3)∗4)∗(5∗6∗…∗2019)=4∗(5∗6∗…∗2019)=41 * 2 * 3 * \ldots * 2019 = ((1 * 2 * 3) * 4) * (5 * 6 * \ldots * 2019) = 4 * (5 * 6 * \ldots * 2019) = 4.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3+x−3exf(x) = 3 + \frac{x - 3}{e^x}. a) Arătați că f′(x)=4−xexf'(x) = \frac{4 - x}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că funcția ff este convexă pe [5,+∞)[5, +\infty). c) Demonstrați că x−3≤ex−4x - 3 \le e^{x - 4}, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează f′(x)=1⋅ex−(x−3)⋅ex(ex)2=ex(1−(x−3))e2xf'(x) = \frac{1 \cdot e^x - (x - 3) \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(1 - (x - 3))}{e^{2x}}.
2
2 puncte
Se simplifică f′(x)=4−xexf'(x) = \frac{4 - x}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează f′′(x)=x−5exf''(x) = \frac{x - 5}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
4
2 puncte
Deoarece f′′(x)≥0f''(x) \ge 0 pentru orice x∈[5,+∞)x \in [5, +\infty), funcția ff este convexă pe [5,+∞)[5, +\infty).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din f′(x)≥0f'(x) \ge 0 pentru x∈(−∞,4]x \in (-\infty, 4] și f′(x)≤0f'(x) \le 0 pentru x∈[4,+∞)x \in [4, +\infty), funcția ff este crescătoare pe (−∞,4](-\infty, 4] și descrescătoare pe [4,+∞)[4, +\infty).
6
3 puncte
Deci f(x)≤f(4)f(x) \le f(4) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, adică 3+x−3ex≤3+1e43 + \frac{x - 3}{e^x} \le 3 + \frac{1}{e^4}, de unde x−3ex≤1e4\frac{x - 3}{e^x} \le \frac{1}{e^4}, deci x−3≤ex−4x - 3 \le e^{x - 4} pentru orice număr real xx.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=6x2+4x+1f(x) = 6x^2 + 4x + 1. a) Arătați că ∫01f(x) dx=5\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 5. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este crescătoare pe R\mathbb{R}. c) Determinați numărul real aa, a>1a > 1, pentru care ∫1af(x)x dx=13+ln⁡a\displaystyle\int_1^a \frac{f(x)}{x}\,dx = 13 + \ln a.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫01(6x2+4x+1) dx=(2x3+2x2+x)∣01\int_0^1 (6x^2 + 4x + 1)\,dx = \left(2x^3 + 2x^2 + x\right)\Big|_0^1.
2
2 puncte
Se obține =2+2+1−0=5= 2 + 2 + 1 - 0 = 5.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Fie FF o primitivă a funcției ff. Atunci F′(x)=f(x)=6x2+4x+1F'(x) = f(x) = 6x^2 + 4x + 1, x∈Rx \in \mathbb{R}.
4
3 puncte
Deoarece Δ=16−24=−8<0\Delta = 16 - 24 = -8 < 0 și coeficientul dominant este pozitiv, f(x)>0f(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci F′(x)>0F'(x) > 0 și funcția FF este crescătoare pe R\mathbb{R}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează ∫1af(x)x dx=∫1a(6x+4+1x)dx=(3x2+4x+ln⁡x)∣1a=3a2+4a+ln⁡a−7\int_1^a \frac{f(x)}{x}\,dx = \int_1^a \left(6x + 4 + \frac{1}{x}\right)dx = \left(3x^2 + 4x + \ln x\right)\Big|_1^a = 3a^2 + 4a + \ln a - 7.
6
3 puncte
Din 3a2+4a+ln⁡a−7=13+ln⁡a3a^2 + 4a + \ln a - 7 = 13 + \ln a se obține 3a2+4a−20=03a^2 + 4a - 20 = 0, de unde a=−103a = -\frac{10}{3} (nu convine) sau a=2a = 2 (convine).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2019 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2019 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac