BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2021 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=3+2iz = 3 + 2i. Arătați că z+13z=6z + \dfrac{13}{z} = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
z+13z=3+2i+133+2i=3+2i+13(3−2i)9−4i2=3+2i+13(3−2i)13z + \dfrac{13}{z} = 3 + 2i + \dfrac{13}{3 + 2i} = 3 + 2i + \dfrac{13(3 - 2i)}{9 - 4i^2} = 3 + 2i + \dfrac{13(3 - 2i)}{13}
2
2 puncte
=3+2i+3−2i=6= 3 + 2i + 3 - 2i = 6
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x2+xg(x) = x^2 + x. Determinați numărul real aa pentru care (f∘g)(a)=(f∘g)(−a)(f \circ g)(a) = (f \circ g)(-a).

Rezolvare

1
3 puncte
f(g(a))=f(g(−a))⇔3g(a)−5=3g(−a)−5⇔g(a)=g(−a)f(g(a)) = f(g(-a)) \Leftrightarrow 3g(a) - 5 = 3g(-a) - 5 \Leftrightarrow g(a) = g(-a)
2
2 puncte
a2+a=a2−a⇔a=0a^2 + a = a^2 - a \Leftrightarrow a = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 33x+5=9⋅3x+13^{3x+5} = 9 \cdot 3^{x+1}.

Rezolvare

1
3 puncte
33x+5=32⋅3x+1⇔33x+5=3x+33^{3x+5} = 3^2 \cdot 3^{x+1} \Leftrightarrow 3^{3x+5} = 3^{x+3}
2
2 puncte
3x+5=x+3⇒x=−13x + 5 = x + 3 \Rightarrow x = -1
Exercițiul 4
Se consideră AA, o mulțime cu 44 elemente. Calculați probabilitatea ca, alegând o mulțime din mulțimea submulțimilor lui AA, aceasta să aibă un număr impar de elemente.

Rezolvare

1
2 puncte
Numărul submulțimilor lui AA este egal cu 242^4, deci sunt 1616 cazuri posibile
2
2 puncte
Numărul submulțimilor lui AA cu un număr impar de elemente este egal cu C41+C43=8C_4^1 + C_4^3 = 8, deci sunt 88 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=816=12p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,3)A(1, 3), B(3,5)B(3, 5) și C(0,6)C(0, 6). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin punctul AA și este paralelă cu mediana din vârful CC a triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
M(2,4)M(2, 4) este mijlocul segmentului ABAB, deci mCM=−1m_{CM} = -1
2
3 puncte
d∥CM⇒md=−1d \parallel CM \Rightarrow m_d = -1, deci ecuația dreptei dd este y−yA=md(x−xA)y - y_A = m_d(x - x_A), adică y=−x+4y = -x + 4
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii BCBC a triunghiului ABCABC, știind că AB=2AB = 2, AC=23AC = 2\sqrt{3} și B=π3B = \dfrac{\pi}{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡B⇒12=4+BC2−2⋅2⋅BC⋅12AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \Rightarrow 12 = 4 + BC^2 - 2 \cdot 2 \cdot BC \cdot \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
BC2−2BC−8=0⇒BC=4BC^2 - 2BC - 8 = 0 \Rightarrow BC = 4

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră aa un număr real nenul și matricea A(x)=(1+2x0−4x0a0x01−2x)A(x) = \begin{pmatrix} 1 + 2x & 0 & -4x \\ 0 & a & 0 \\ x & 0 & 1 - 2x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(x))=a\det(A(x)) = a, pentru orice număr real xx. b) Determinați numărul real nenul aa astfel încât A(x)⋅A(y)=A(x+y)A(x) \cdot A(y) = A(x + y), pentru orice numere reale xx și yy. c) Pentru a=1a = 1, determinați matricea X∈M3(R)X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) pentru care A(2)⋅X=A(3)A(2) \cdot X = A(3).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡(A(x))=a(1+2x)(1−2x)+4ax2\det(A(x)) = a(1 + 2x)(1 - 2x) + 4ax^2
2
2 puncte
=a(1−4x2)+4ax2=a= a(1 - 4x^2) + 4ax^2 = a, pentru orice număr real xx
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)⋅A(y)=A(x+y)⇒a2=aA(x) \cdot A(y) = A(x + y) \Rightarrow a^2 = a și, cum aa este număr real nenul, obținem a=1a = 1
4
2 puncte
c) A(−2)⋅A(2)=A(0)=I3A(-2) \cdot A(2) = A(0) = I_3, deci A(−2)A(-2) este inversa matricei A(2)A(2)
c)5 puncte
5
3 puncte
X=A(−2)⋅A(3)⇒X=A(1)=(30−401010−1)X = A(-2) \cdot A(3) \Rightarrow X = A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
6
2 puncte
Verificare: A(2)⋅X=A(2)⋅A(1)=A(3)A(2) \cdot X = A(2) \cdot A(1) = A(3)
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[0,+∞)M = [0, +\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=log⁡2(2x+2y−1)x * y = \log_2(2^x + 2^y - 1). a) Arătați că 0∗2021=20210 * 2021 = 2021. b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție ‘∗*". c) Determinați x∈Mx \in M pentru care x∗(x+1)∗(x+2)=log⁡254x * (x + 1) * (x + 2) = \log_2 54.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 0∗2021=log⁡2(20+22021−1)=log⁡2(1+22021−1)0 * 2021 = \log_2(2^0 + 2^{2021} - 1) = \log_2(1 + 2^{2021} - 1)
2
2 puncte
=log⁡222021=2021= \log_2 2^{2021} = 2021
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∗e=x⇔log⁡2(2x+2e−1)=x⇔2x+2e−1=2xx * e = x \Leftrightarrow \log_2(2^x + 2^e - 1) = x \Leftrightarrow 2^x + 2^e - 1 = 2^x, de unde obținem 2e=12^e = 1, deci e=0∈Me = 0 \in M
4
2 puncte
Cum 0∗x=log⁡2(1+2x−1)=x0 * x = \log_2(1 + 2^x - 1) = x, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty), obținem că e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție ‘∗*"
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x∗(x+1)∗(x+2)=log⁡2(2x+2x+1+2x+2−2)x * (x + 1) * (x + 2) = \log_2(2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} - 2), x∈Mx \in M
6
2 puncte
log⁡2(2x+2x+1+2x+2−2)=log⁡254⇒7⋅2x−2=54⇒2x=8\log_2(2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} - 2) = \log_2 54 \Rightarrow 7 \cdot 2^x - 2 = 54 \Rightarrow 2^x = 8, deci x=3x = 3, care convine

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+x+1x2+1f(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}}. a) Arătați că f′(x)=1−x22(x2+1)(x2+x+1)(x2+1)f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{2(x^2 + 1)\sqrt{(x^2 + x + 1)(x^2 + 1)}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞-\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că 2≤x2+x+1x2+1+x2−x+1x2+1≤6\sqrt{2} \leq \sqrt{\dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}} + \sqrt{\dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + 1}} \leq \sqrt{6}, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=12x2+1x2+x+1⋅(x2+x+1x2+1)′f'(x) = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x^2 + 1}{x^2 + x + 1}} \cdot \left(\dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}\right)'
2
3 puncte
=12x2+1x2+x+1⋅(2x+1)(x2+1)−(x2+x+1)⋅2x(x2+1)2=1−x22(x2+1)(x2+x+1)(x2+1)= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x^2 + 1}{x^2 + x + 1}} \cdot \dfrac{(2x + 1)(x^2 + 1) - (x^2 + x + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{2(x^2 + 1)\sqrt{(x^2 + x + 1)(x^2 + 1)}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞1+1x+1x21+1x2=1\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\dfrac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}} = 1
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre −∞-\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,−1]⇒fx \in (-\infty, -1] \Rightarrow f descrescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[−1,1]⇒fx \in [-1, 1] \Rightarrow f crescătoare pe [−1,1][-1, 1] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[1,+∞)⇒fx \in [1, +\infty) \Rightarrow f descrescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
3 puncte
f(−1)=22f(-1) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, f(1)=62f(1) = \dfrac{\sqrt{6}}{2} și lim⁡x→+∞f(x)=1⇒22≤f(x)≤62\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq f(x) \leq \dfrac{\sqrt{6}}{2}, pentru orice număr real xx, deci 2≤f(x)+f(−x)≤6\sqrt{2} \leq f(x) + f(-x) \leq \sqrt{6}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+3−2ln⁡xf(x) = 2x + 3 - 2\ln x. a) Arătați că ∫13(f(x)+2ln⁡x) dx=14\displaystyle\int_1^3 (f(x) + 2\ln x)\, dx = 14. b) Calculați ∫1e(2x+3−f(x)) dx\displaystyle\int_1^e (2x + 3 - f(x))\, dx. c) Arătați că ∫01x2f(x3+1) dx=4(2−ln⁡2)3\displaystyle\int_0^1 x^2 f(x^3 + 1)\, dx = \dfrac{4(2 - \ln 2)}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫13(f(x)+2ln⁡x) dx=∫13(2x+3−2ln⁡x+2ln⁡x) dx=∫13(2x+3) dx=(x2+3x)∣13\displaystyle\int_1^3 (f(x) + 2\ln x)\, dx = \int_1^3 (2x + 3 - 2\ln x + 2\ln x)\, dx = \int_1^3 (2x + 3)\, dx = \left.(x^2 + 3x)\right|_1^3
2
2 puncte
=9+9−1−3=14= 9 + 9 - 1 - 3 = 14
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫1e(2x+3−f(x)) dx=2∫1eln⁡x dx=2xln⁡x∣1e−2∫1ex⋅1x dx\displaystyle\int_1^e (2x + 3 - f(x))\, dx = 2\int_1^e \ln x\, dx = 2x\ln x\Big|_1^e - 2\int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x}\, dx
4
2 puncte
=2e−2(e−1)=2= 2e - 2(e - 1) = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01x2f(x3+1) dx=13∫12f(t) dt=13(∫12(2t+3) dt−2∫12ln⁡t dt)\displaystyle\int_0^1 x^2 f(x^3 + 1)\, dx = \dfrac{1}{3}\int_1^2 f(t)\, dt = \dfrac{1}{3}\left(\int_1^2 (2t + 3)\, dt - 2\int_1^2 \ln t\, dt\right)
6
2 puncte
=13(t2+3t−2tln⁡t+2t)∣12=13(4+6−4ln⁡2+4−1−3−2)=4(2−ln⁡2)3= \dfrac{1}{3}\left.(t^2 + 3t - 2t\ln t + 2t)\right|_1^2 = \dfrac{1}{3}(4 + 6 - 4\ln 2 + 4 - 1 - 3 - 2) = \dfrac{4(2 - \ln 2)}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2021 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare 2021 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac