BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2023 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=1+2iz_1 = 1 + 2i și z2=1−iz_2 = 1 - i. Arătați că z12+4z2=1z_1^2 + 4z_2 = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează z12=(1+2i)2=1+4i+4i2=1+4i−4=−3+4iz_1^2 = (1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i și 4z2=4(1−i)=4−4i4z_2 = 4(1 - i) = 4 - 4i.
2
2 puncte
Se adună z12+4z2=(−3+4i)+(4−4i)=1z_1^2 + 4z_2 = (-3 + 4i) + (4 - 4i) = 1.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x2+x+mg(x) = x^2 + x + m, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm pentru care graficele funcțiilor ff și gg au exact un punct comun.

Rezolvare

1
2 puncte
Punctele comune satisfac f(x)=g(x)f(x) = g(x), adică 3x+1=x2+x+m3x + 1 = x^2 + x + m, de unde x2−2x+m−1=0x^2 - 2x + m - 1 = 0.
2
3 puncte
Graficele au exact un punct comun dacă Δ=0\Delta = 0, adică Δ=4−4(m−1)=8−4m=0\Delta = 4 - 4(m - 1) = 8 - 4m = 0, deci m=2m = 2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(x2+9)=2lg⁡(x10)\lg(x^2 + 9) = 2\lg(x\sqrt{10}).

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 2lg⁡(x10)=lg⁡(x10)2=lg⁡(10x2)2\lg(x\sqrt{10}) = \lg(x\sqrt{10})^2 = \lg(10x^2). Ecuația devine lg⁡(x2+9)=lg⁡(10x2)\lg(x^2 + 9) = \lg(10x^2), de unde x2+9=10x2x^2 + 9 = 10x^2, adică 9x2−9=09x^2 - 9 = 0, deci x2=1x^2 = 1.
2
2 puncte
Se obține x=−1x = -1, care nu convine (condiția x10>0x\sqrt{10} > 0 implică x>0x > 0), și x=1x = 1, care convine. Deci S={1}S = \{1\}.
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea AA, a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea AA, acesta să fie divizibil cu 99.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea A={0,1,2,…,99}A = \{0, 1, 2, \ldots, 99\} are 100100 de elemente, deci sunt 100100 de cazuri posibile.
2
3 puncte
Numerele din mulțimea AA divizibile cu 99 sunt 9⋅0,9⋅1,9⋅2,…,9⋅119 \cdot 0, 9 \cdot 1, 9 \cdot 2, \ldots, 9 \cdot 11, deci sunt 1212 cazuri favorabile. Probabilitatea este p=12100=325p = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}.
Exercițiul 5
În triunghiul ABCABC, punctul MM este mijlocul laturii ACAC, iar punctele DD și EE aparțin segmentului ABAB, astfel încât AD=BEAD = BE. Arătați că MD⃗+ME⃗=CB⃗\vec{MD} + \vec{ME} = \vec{CB}.

Rezolvare

1
2 puncte
Se scriu vectorii: MD⃗=MA⃗+AD⃗\vec{MD} = \vec{MA} + \vec{AD} și ME⃗=MC⃗+CB⃗+BE⃗\vec{ME} = \vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BE}.
2
3 puncte
Se adună: MD⃗+ME⃗=MA⃗+MC⃗+AD⃗+BE⃗+CB⃗\vec{MD} + \vec{ME} = \vec{MA} + \vec{MC} + \vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CB}. Deoarece MM este mijlocul lui ACAC, MA⃗+MC⃗=0⃗\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}, iar AD=BEAD = BE implică AD⃗+BE⃗=0⃗\vec{AD} + \vec{BE} = \vec{0} (vectori de lungimi egale și sensuri opuse pe ABAB). Deci MD⃗+ME⃗=CB⃗\vec{MD} + \vec{ME} = \vec{CB}.
Exercițiul 6
Determinați x∈[0,π]x \in [0, \pi] pentru care sin⁡2x=1+cos⁡2x\sin 2x = 1 + \cos 2x.

Rezolvare

1
2 puncte
Se folosesc formulele sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x și 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x. Ecuația devine 2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡2x2\sin x \cos x = 2\cos^2 x, adică 2cos⁡x(sin⁡x−cos⁡x)=02\cos x(\sin x - \cos x) = 0.
2
3 puncte
Dacă cos⁡x=0\cos x = 0, obținem x=π2x = \frac{\pi}{2}. Dacă sin⁡x−cos⁡x=0\sin x - \cos x = 0, obținem tan⁡x=1\tan x = 1, deci x=π4x = \frac{\pi}{4}. Soluțiile sunt x∈{π4,π2}x \in \left\{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right\}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a121a−1221)A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+2z=−2x+ay−z=42x+2y+z=2\begin{cases} ax + y + 2z = -2 \\ x + ay - z = 4 \\ 2x + 2y + z = 2 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Determinați mulțimea numerelor reale aa pentru care sistemul de ecuații are soluție unică. c) Pentru a=1a = 1, determinați soluțiile (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) ale sistemului pentru care x0x_0, y0y_0 și z0z_0 sunt numere întregi și x0>y0>z0x_0 > y_0 > z_0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡(A(0))=∣01210−1221∣=0⋅0⋅1+1⋅(−1)⋅2+2⋅1⋅2−2⋅0⋅2−1⋅1⋅1−0⋅(−1)⋅2\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 - 2 \cdot 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține 0−2+4−0−1−0=10 - 2 + 4 - 0 - 1 - 0 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează det⁡(A(a))=(a−1)2\det(A(a)) = (a - 1)^2, pentru orice număr real aa.
4
2 puncte
det⁡(A(a))=0⇔a=1\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = 1, deci sistemul are soluție unică pentru a∈R∖{1}a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru a=1a = 1, soluțiile sistemului de ecuații sunt (α,2−α,−2)(\alpha, 2 - \alpha, -2), unde α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
6
3 puncte
Cum α\alpha este număr întreg și α>2−α>−2\alpha > 2 - \alpha > -2, obținem α>1\alpha > 1 și α<4\alpha < 4, deci α∈{2,3}\alpha \in \{2, 3\}. Soluțiile sunt (2,0,−2)(2, 0, -2) și (3,−1,−2)(3, -1, -2).
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[−1,1]M = [-1, 1] se definește legea de compoziție x∗y=xy1+(1−x2)(1−y2)x * y = \frac{xy}{1 + \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)}}. a) Arătați că 1∗12=121 * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. b) Arătați că x∗(−x)≥−x2x * (-x) \ge -x^2, pentru orice x∈Mx \in M. c) Determinați perechile (a,b)(a, b) de numere din mulțimea MM pentru care a∗b=1a * b = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 1∗12=1⋅121+(1−12)(1−(12)2)=121+0⋅341 * \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{1 + \sqrt{(1 - 1^2)\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \sqrt{0 \cdot \frac{3}{4}}}.
2
2 puncte
Se simplifică: =121+0=12= \frac{\frac{1}{2}}{1 + 0} = \frac{1}{2}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∗(−x)=−x21+(1−x2)2=−x21+(1−x2)=−x22−x2x * (-x) = \frac{-x^2}{1 + \sqrt{(1 - x^2)^2}} = \frac{-x^2}{1 + (1 - x^2)} = \frac{-x^2}{2 - x^2}, pentru orice x∈Mx \in M.
4
2 puncte
Verificăm: x∗(−x)+x2=−x22−x2+x2=−x2+x2(2−x2)2−x2=x2(1−x2)2−x2≥0x * (-x) + x^2 = \frac{-x^2}{2 - x^2} + x^2 = \frac{-x^2 + x^2(2 - x^2)}{2 - x^2} = \frac{x^2(1 - x^2)}{2 - x^2} \ge 0, deoarece x2≥0x^2 \ge 0, 1−x2≥01 - x^2 \ge 0 și 2−x2>02 - x^2 > 0 pentru x∈[−1,1]x \in [-1, 1]. Deci x∗(−x)≥−x2x * (-x) \ge -x^2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Condiția a∗b=1a * b = 1 implică ab1+(1−a2)(1−b2)=1\frac{ab}{1 + \sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)}} = 1, deci ab=1+(1−a2)(1−b2)ab = 1 + \sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)}. Deoarece (1−a2)(1−b2)≥0\sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)} \ge 0, rezultă ab≥1ab \ge 1.
6
2 puncte
Cum a,b∈[−1,1]a, b \in [-1, 1], avem ab≤1ab \le 1, deci ab=1ab = 1 și (1−a2)(1−b2)=0\sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)} = 0. Perechile sunt (−1,−1)(-1, -1) și (1,1)(1, 1).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−1−ln⁡(ex+x2)f(x) = x - 1 - \ln(e^x + x^2). a) Arătați că f′(x)=x(x−2)ex+x2f'(x) = \frac{x(x - 2)}{e^x + x^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați numerele reale aa pentru care tangenta la graficul funcției ff în punctul de coordonate (a,f(a))(a, f(a)) este paralelă cu axa OxOx. c) Determinați imaginea funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează: f′(x)=1−ex+2xex+x2=ex+x2−ex−2xex+x2f'(x) = 1 - \frac{e^x + 2x}{e^x + x^2} = \frac{e^x + x^2 - e^x - 2x}{e^x + x^2}.
2
2 puncte
Se simplifică: f′(x)=x2−2xex+x2=x(x−2)ex+x2f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{e^x + x^2} = \frac{x(x - 2)}{e^x + x^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Tangenta este paralelă cu OxOx dacă f′(a)=0f'(a) = 0, adică a(a−2)ea+a2=0\frac{a(a - 2)}{e^a + a^2} = 0.
4
2 puncte
Deoarece ea+a2>0e^a + a^2 > 0 pentru orice a∈Ra \in \mathbb{R}, condiția devine a(a−2)=0a(a - 2) = 0, deci a=0a = 0 sau a=2a = 2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,2)x \in (0, 2), f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty). Deci ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0], descrescătoare pe [0,2][0, 2] și crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty).
6
3 puncte
Se calculează f(0)=0−1−ln⁡(1+0)=−1f(0) = 0 - 1 - \ln(1 + 0) = -1, lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty și lim⁡x→+∞f(x)=−1\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1 (deoarece ln⁡(ex+x2)→x\ln(e^x + x^2) \to x când x→+∞x \to +\infty). Cum ff este continuă, crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0] cu valoarea maximă f(0)=−1f(0) = -1, și lim⁡x→+∞f(x)=−1\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1, imaginea funcției ff este (−∞,−1](-\infty, -1].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→Rf : (-3, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1x+3f(x) = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x + 3}}. a) Arătați că ∫03f(x)x+3 dx=12\displaystyle\int_0^3 f(x)\sqrt{x + 3}\,dx = 12. b) Arătați că ∫−21f(x)x2+1 dx=2\displaystyle\int_{-2}^{1} \frac{f(x)}{x^2 + 1}\,dx = 2. c) Demonstrați că ∫011f(x) dx≤π2\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx \le \frac{\pi}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se simplifică integrandul: f(x)⋅x+3=x2+1x+3⋅x+3=x2+1f(x) \cdot \sqrt{x + 3} = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x + 3}} \cdot \sqrt{x + 3} = x^2 + 1. Deci ∫03f(x)x+3 dx=∫03(x2+1) dx=[x33+x]03\int_0^3 f(x)\sqrt{x + 3}\,dx = \int_0^3 (x^2 + 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^3.
2
2 puncte
Se calculează: =273+3−0=9+3=12= \frac{27}{3} + 3 - 0 = 9 + 3 = 12.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se simplifică: f(x)x2+1=1x+3=(x+3)′x+3\frac{f(x)}{x^2 + 1} = \frac{1}{\sqrt{x + 3}} = \frac{(x + 3)'}{\sqrt{x + 3}}. Deci ∫−21f(x)x2+1 dx=∫−211x+3 dx=[2x+3]−21\int_{-2}^{1} \frac{f(x)}{x^2 + 1}\,dx = \int_{-2}^{1} \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\,dx = \left[2\sqrt{x + 3}\right]_{-2}^{1}.
4
2 puncte
Se calculează: =24−21=4−2=2= 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], avem 1f(x)=x+3x2+1≤2x2+1\frac{1}{f(x)} = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 + 1} \le \frac{2}{x^2 + 1}, deoarece x+3≤4=2\sqrt{x + 3} \le \sqrt{4} = 2. Deci ∫011f(x) dx≤2∫011x2+1 dx\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\,dx \le 2\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1}\,dx.
6
2 puncte
Se calculează: 2∫011x2+1 dx=2[arctan⁡x]01=2⋅π4=π22\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = 2\left[\arctan x\right]_0^1 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2023 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2023 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac