BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2024 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (3+lg⁡110)⋅lg⁡10=1\left(3 + \lg \dfrac{1}{10}\right) \cdot \lg \sqrt{10} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
(3+lg⁡110)⋅lg⁡10=(3−1)⋅lg⁡1012=2⋅12\left(3 + \lg \dfrac{1}{10}\right) \cdot \lg \sqrt{10} = (3 - 1) \cdot \lg 10^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
=2⋅12=1= 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+ax−1f(x) = x^2 + ax - 1, unde aa este număr real. Determinați numerele reale aa pentru care (f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=1+a−1=af(1) = 1 + a - 1 = a, deci (f∘f)(1)=f(f(1))=f(a)=a2+a⋅a−1=2a2−1(f \circ f)(1) = f(f(1)) = f(a) = a^2 + a \cdot a - 1 = 2a^2 - 1
2
3 puncte
Din 2a2−1=12a^2 - 1 = 1, se obține a2=1a^2 = 1, de unde a=−1a = -1 sau a=1a = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+1⋅8x=322^{x+1} \cdot 8^x = 32.

Rezolvare

1
3 puncte
2x+1⋅23x=252^{x+1} \cdot 2^{3x} = 2^5, deci 24x+1=252^{4x+1} = 2^5, de unde 4x+1=54x + 1 = 5
2
2 puncte
4x=44x = 4, deci x=1x = 1
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul n+100\sqrt{n + 100} să fie natural.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
Cum 110≤n+100≤199110 \leq n + 100 \leq 199 și n+100n + 100 este pătratul unui număr natural, se obțin 44 numere: n∈{21,44,69,96}n \in \{21, 44, 69, 96\}, deci p=490=245p = \dfrac{4}{90} = \dfrac{2}{45}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,4)A(1, 4), B(4,6)B(4, 6) și C(4,2)C(4, 2). Determinați coordonatele punctului DD, știind că OD⃗=12(AB⃗+AC⃗)\vec{OD} = \dfrac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}).

Rezolvare

1
3 puncte
AB⃗=3i⃗+2j⃗\vec{AB} = 3\vec{i} + 2\vec{j}, AC⃗=3i⃗−2j⃗\vec{AC} = 3\vec{i} - 2\vec{j}, deci OD⃗=12(3i⃗+2j⃗+3i⃗−2j⃗)=3i⃗\vec{OD} = \dfrac{1}{2}(3\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{i} - 2\vec{j}) = 3\vec{i}
2
2 puncte
Coordonatele punctului DD sunt xD=3x_D = 3 și yD=0y_D = 0
Exercițiul 6
Se consideră expresia E(x)=tg⁡x−4cos⁡x2⋅cos⁡xE(x) = \operatorname{tg} x - 4\cos \dfrac{x}{2} \cdot \cos x, unde x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right). Arătați că E(π3)=0E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
tg⁡π3=3\operatorname{tg} \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}, cos⁡π6=32\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π3=12\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
E(π3)=3−4⋅32⋅12=3−3=0E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(1−1x−100x0−1)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & x \\ -1 & 0 & 0 \\ x & 0 & -1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Arătați că det⁡(A(x)⋅A(x)−I3)≤0\det(A(x) \cdot A(x) - I_3) \leq 0, pentru orice număr real xx. c) Se consideră matricea B∈M2,3(R)B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}), B=(101010)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Determinați matricea X∈M2,3(R)X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}) pentru care X⋅(A(0))−1=B⋅A(0)X \cdot (A(0))^{-1} = B \cdot A(0), unde (A(0))−1(A(0))^{-1} este inversa matricei A(0)A(0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(1−10−10000−1)A(0) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=∣1−10−10000−1∣\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0+0+0−0−0−(−1)=1= 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (-1) = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)⋅A(x)=(2+x2−10−11−x0−xx2+1)A(x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} 2 + x^2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -x \\ 0 & -x & x^2 + 1 \end{pmatrix}, deci A(x)⋅A(x)−I3=(1+x2−10−10−x0−xx2)A(x) \cdot A(x) - I_3 = \begin{pmatrix} 1 + x^2 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -x \\ 0 & -x & x^2 \end{pmatrix}
4
2 puncte
det⁡(A(x)⋅A(x)−I3)=−x2(1+x2)−x2=−x2(2+x2)≤0\det(A(x) \cdot A(x) - I_3) = -x^2(1 + x^2) - x^2 = -x^2(2 + x^2) \leq 0, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
c) X=B⋅A(0)⋅A(0)X = B \cdot A(0) \cdot A(0)
6
3 puncte
X=(2−11−110)X = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[0,+∞)M = [0, +\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2+x+yx+y+1x * y = \dfrac{x^2 + y^2 + x + y}{x + y + 1}. a) Arătați că 1∗2=21 * 2 = 2. b) Arătați că e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție ∗*. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere naturale pentru care m∗n=5m * n = 5.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗2=12+22+1+21+2+1=1+4+1+24=841 * 2 = \dfrac{1^2 + 2^2 + 1 + 2}{1 + 2 + 1} = \dfrac{1 + 4 + 1 + 2}{4} = \dfrac{8}{4}
2
2 puncte
=2= 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗0=x2+0+x+0x+0+1=x(x+1)x+1=xx * 0 = \dfrac{x^2 + 0 + x + 0}{x + 0 + 1} = \dfrac{x(x + 1)}{x + 1} = x, pentru orice x∈Mx \in M
4
3 puncte
0∗x=0+x2+0+x0+x+1=x(x+1)x+1=x0 * x = \dfrac{0 + x^2 + 0 + x}{0 + x + 1} = \dfrac{x(x + 1)}{x + 1} = x, pentru orice x∈Mx \in M, deci e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție ∗*
c)5 puncte
5
3 puncte
c) m2+n2+m+nm+n+1=5\dfrac{m^2 + n^2 + m + n}{m + n + 1} = 5, de unde (m−2)2+(n−2)2=13(m - 2)^2 + (n - 2)^2 = 13
6
2 puncte
Cum mm și nn sunt numere naturale, se obțin perechile (0,5)(0, 5), (4,5)(4, 5), (5,0)(5, 0) și (5,4)(5, 4)

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x+6)x2+4f(x) = (x + 6)\sqrt{x^2 + 4}. a) Arătați că f′(x)=2(x2+3x+2)x2+4f'(x) = \dfrac{2(x^2 + 3x + 2)}{\sqrt{x^2 + 4}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Demonstrați că ecuația f(x)=mf(x) = m are soluție unică, pentru orice număr întreg mm.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=x2+4+(x+6)⋅2x2x2+4=x2+4+x(x+6)x2+4=2x2+6x+4x2+4f'(x) = \sqrt{x^2 + 4} + (x + 6) \cdot \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 4}} = \dfrac{x^2 + 4 + x(x + 6)}{\sqrt{x^2 + 4}} = \dfrac{2x^2 + 6x + 4}{\sqrt{x^2 + 4}}
2
2 puncte
=2(x2+3x+2)x2+4= \dfrac{2(x^2 + 3x + 2)}{\sqrt{x^2 + 4}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇔x=−2f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 sau x=−1x = -1
4
3 puncte
f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈(−∞,−2]x \in (-\infty, -2], deci ff este crescătoare pe (−∞,−2](-\infty, -2]; f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru x∈[−2,−1]x \in [-2, -1], deci ff este descrescătoare pe [−2,−1][-2, -1]; f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty), deci ff este crescătoare pe [−1,+∞)[-1, +\infty)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, f(−2)=48=82f(-2) = 4\sqrt{8} = 8\sqrt{2}, f(−1)=55f(-1) = 5\sqrt{5}, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, ff este continuă și 11<55<82<1211 < 5\sqrt{5} < 8\sqrt{2} < 12
6
2 puncte
Cum ff este strict crescătoare pe (−∞,−2)(-\infty, -2), ff este descrescătoare pe [−2,−1][-2, -1] și ff este strict crescătoare pe (−1,+∞)(-1, +\infty), ecuația f(x)=mf(x) = m are soluție unică, pentru orice număr întreg mm
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1exf(x) = \dfrac{x + 1}{e^x}. a) Arătați că ∫04exf(x) dx=12\displaystyle\int_0^4 e^x f(x)\,dx = 12. b) Arătați că ∫01f(x) dx=2e−3e\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \dfrac{2e - 3}{e}. c) Pentru fiecare număr natural nn, n≥2n \geq 2, se consideră numărul In=∫01xn−1f(xn) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^{n-1}}{f(x^n)}\,dx. Demonstrați că ln⁡2n≤In≤e−1n\dfrac{\ln 2}{n} \leq I_n \leq \dfrac{e - 1}{n}, pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫04exf(x) dx=∫04(x+1) dx=(x22+x)∣04=8+4\displaystyle\int_0^4 e^x f(x)\,dx = \int_0^4 (x + 1)\,dx = \left(\dfrac{x^2}{2} + x\right)\Bigg|_0^4 = 8 + 4
2
2 puncte
=12= 12
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01f(x) dx=∫01(x+1)(−e−x)′ dx=(x+1)(−e−x)∣01−∫01(−e−x) dx=−2e+1−1e+1\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 (x + 1)(-e^{-x})'\,dx = (x + 1)(-e^{-x})\Big|_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x})\,dx = -\dfrac{2}{e} + 1 - \dfrac{1}{e} + 1
4
2 puncte
=2−3e=2e−3e= 2 - \dfrac{3}{e} = \dfrac{2e - 3}{e}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Cu substituția t=xnt = x^n: In=∫01xn−1exnxn+1 dx=1n∫01ett+1 dtI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^{n-1} e^{x^n}}{x^n + 1}\,dx = \dfrac{1}{n}\int_0^1 \dfrac{e^t}{t + 1}\,dt, pentru orice n≥2n \geq 2
6
2 puncte
In≥1n∫011t+1 dt=ln⁡2nI_n \geq \dfrac{1}{n}\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{t + 1}\,dt = \dfrac{\ln 2}{n} și In≤1n∫01et dt=e−1nI_n \leq \dfrac{1}{n}\int_0^1 e^t\,dt = \dfrac{e - 1}{n}, pentru orice n≥2n \geq 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2024 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2024 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac