BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2025 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul b1b_1 al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, în care b3=40b_3 = 40 și b4=80b_4 = 80.

Rezolvare

1
2 puncte
q=b4b3=2q = \dfrac{b_4}{b_3} = 2, unde qq este rația progresiei geometrice
2
3 puncte
b1=b3q2b_1 = \dfrac{b_3}{q^2}, deci b1=404=10b_1 = \dfrac{40}{4} = 10
Exercițiul 2
Determinați mulțimea numerelor reale mm pentru care graficul funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+mf(x) = x^2 - 2x + m intersectează axa OxOx în două puncte distincte.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0f(x) = 0 are două soluții reale distincte, deci Δ=4−4m>0\Delta = 4 - 4m > 0
2
2 puncte
m∈(−∞,1)m \in (-\infty, 1)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2⋅3x+1=633^x + 2 \cdot 3^{x+1} = 63.

Rezolvare

1
3 puncte
3x+6⋅3x=633^x + 6 \cdot 3^x = 63, deci 3x=93^x = 9
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n2n^2 să fie număr natural de trei cifre.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
Cum 102≤n2≤31210^2 \leq n^2 \leq 31^2, obținem 2222 de cazuri favorabile, deci p=2290=1145p = \dfrac{22}{90} = \dfrac{11}{45}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,2)A(1, 2), B(7,4)B(7, 4) și CC, astfel încât AB→=2AC→\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC}. Determinați coordonatele punctului DD pentru care OD→=CB→\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{CB}.

Rezolvare

1
3 puncte
CB→=12AB→\overrightarrow{CB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} și AB→=6i⃗+2j⃗\overrightarrow{AB} = 6\vec{i} + 2\vec{j}
2
2 puncte
OD→=3i⃗+j⃗\overrightarrow{OD} = 3\vec{i} + \vec{j}, deci punctul DD are coordonatele (3,1)(3, 1)
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABCABC, cu AB=10AB = 10, înălțimea AD=8AD = 8 și distanța de la punctul DD la dreapta ACAC egală cu 424\sqrt{2}. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 5656.

Rezolvare

1
3 puncte
DC=8DC = 8, BD=6BD = 6
2
2 puncte
BC=14BC = 14 și A△ABC=BC⋅AD2=14⋅82=56\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{BC \cdot AD}{2} = \dfrac{14 \cdot 8}{2} = 56

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a1−a31−21−3a)A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−az=13x+y−2z=1x−3y+az=−3\begin{cases} ax + y - az = 1 \\ 3x + y - 2z = 1 \\ x - 3y + az = -3 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=−2\det(A(0)) = -2. b) Determinați mulțimea numerelor reale aa pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru a=1a = 1, determinați soluțiile (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) și (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2) ale sistemului de ecuații pentru care y1=x2y_1 = x_2 și z1=y2z_1 = y_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(01031−21−30)A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=∣01031−21−30∣\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0−2+0−0−0−0=−2= 0 - 2 + 0 - 0 - 0 - 0 = -2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) det⁡(A(a))=∣a1−a31−21−3a∣=a2+a−2\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix} = a^2 + a - 2, pentru orice număr real aa
4
3 puncte
det⁡(A(a))=0⇔a=−2\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -2 sau a=1a = 1, deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă a∈R∖{−2,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru a=1a = 1, soluțiile sistemului de ecuații sunt (α,α+1,2α)(\alpha, \alpha + 1, 2\alpha), cu α∈C\alpha \in \mathbb{C}
6
3 puncte
α1+1=α2\alpha_1 + 1 = \alpha_2 și 2α1=α2+12\alpha_1 = \alpha_2 + 1, de unde obținem α1=2\alpha_1 = 2 și α2=3\alpha_2 = 3, deci soluțiile sunt (2,3,4)(2, 3, 4) și (3,4,6)(3, 4, 6)
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=(0,+∞)M = (0, +\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy+1xy+x+y2−2x * y = \sqrt{xy} + \dfrac{1}{\sqrt{xy}} + \dfrac{x + y}{2} - 2. a) Arătați că 1∗4=31 * 4 = 3. b) Determinați x∈Mx \in M pentru care x∗x=1x * x = 1. c) Demonstrați că mulțimea [1,+∞)[1, +\infty) este parte stabilă a mulțimii MM în raport cu legea de compoziție ∗*.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗4=1⋅4+11⋅4+1+42−21 * 4 = \sqrt{1 \cdot 4} + \dfrac{1}{\sqrt{1 \cdot 4}} + \dfrac{1 + 4}{2} - 2
2
2 puncte
=2+12+52−2=3= 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} - 2 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗x=2x2−2x+1xx * x = \dfrac{2x^2 - 2x + 1}{x}, pentru orice x∈Mx \in M
4
3 puncte
2x2−2x+1x=1\dfrac{2x^2 - 2x + 1}{x} = 1, deci 2x2−3x+1=02x^2 - 3x + 1 = 0, de unde obținem x=12x = \dfrac{1}{2} sau x=1x = 1, care convin
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x∗y=(xy−1)2xy+x+y2≥x+y2x * y = \dfrac{(\sqrt{xy} - 1)^2}{\sqrt{xy}} + \dfrac{x + y}{2} \geq \dfrac{x + y}{2}, pentru orice x,y∈Mx, y \in M
6
2 puncte
Pentru x,y∈[1,+∞)x, y \in [1, +\infty), rezultă x+y2≥1\dfrac{x + y}{2} \geq 1, deci x∗y∈[1,+∞)x * y \in [1, +\infty), de unde obținem că [1,+∞)[1, +\infty) este parte stabilă a mulțimii MM în raport cu legea de compoziție ∗*

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x−2x+2+ln⁡x+2xf(x) = \dfrac{2x - 2}{x + 2} + \ln\dfrac{x + 2}{x}. a) Arătați că f′(x)=4(x−1)x(x+2)2f'(x) = \dfrac{4(x - 1)}{x(x + 2)^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați numerele naturale nn pentru care ecuația f(x)=nf(x) = n nu are soluții.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2(x+2)−(2x−2)(x+2)2+xx+2⋅x−(x+2)x2f'(x) = \dfrac{2(x + 2) - (2x - 2)}{(x + 2)^2} + \dfrac{x}{x + 2} \cdot \dfrac{x - (x + 2)}{x^2}
2
2 puncte
=6(x+2)2−2x(x+2)=4(x−1)x(x+2)2= \dfrac{6}{(x + 2)^2} - \dfrac{2}{x(x + 2)} = \dfrac{4(x - 1)}{x(x + 2)^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(2x−2x+2+ln⁡x+2x)=2+0=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{2x - 2}{x + 2} + \ln\dfrac{x + 2}{x}\right) = 2 + 0 = 2
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=2y = 2 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1; pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1] și, pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
3 puncte
lim⁡x→0+f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty, f(1)=ln⁡3f(1) = \ln 3, ff este continuă și, cum 1<ln⁡3<21 < \ln 3 < 2, obținem n=0n = 0 sau n=1n = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x22x2+1f(x) = \dfrac{x^2}{2x^2 + 1}. a) Arătați că ∫−12(2x2+1)f(x) dx=3\displaystyle\int_{-1}^{2} (2x^2 + 1) f(x)\, dx = 3. b) Arătați că ∫02f(x) dx=1\displaystyle\int_0^2 \sqrt{f(x)}\, dx = 1. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnf(ex) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{f\left(\sqrt{e^x}\right)}\, dx. Arătați că (n+1)In−In+1=2(n+1)n+2+1e(n + 1)I_n - I_{n+1} = \dfrac{2(n + 1)}{n + 2} + \dfrac{1}{e}, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫−12(2x2+1)f(x) dx=∫−12x2 dx=x33∣−12\displaystyle\int_{-1}^{2} (2x^2 + 1) f(x)\, dx = \int_{-1}^{2} x^2\, dx = \left.\dfrac{x^3}{3}\right|_{-1}^{2}
2
2 puncte
=83−(−13)=3= \dfrac{8}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫02f(x) dx=∫02x2x2+1 dx=12∫02(2x2+1)′22x2+1 dx=122x2+1∣02\displaystyle\int_0^2 \sqrt{f(x)}\, dx = \int_0^2 \dfrac{x}{\sqrt{2x^2 + 1}}\, dx = \dfrac{1}{2} \int_0^2 \dfrac{(2x^2 + 1)'}{2\sqrt{2x^2 + 1}}\, dx = \dfrac{1}{2}\left.\sqrt{2x^2 + 1}\right|_0^2
4
2 puncte
=32−12=1= \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) In=∫01xn(2+e−x) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n(2 + e^{-x})\, dx, (n+1)In−In+1=∫01((n+1)xn−xn+1)(2+e−x) dx(n + 1)I_n - I_{n+1} = \int_0^1 \left((n + 1)x^n - x^{n+1}\right)(2 + e^{-x})\, dx
6
3 puncte
=2xn+1∣01−2xn+2n+2∣01+∫01(xn+1e−x)′ dx=2−2n+2+xn+1e−x∣01=2(n+1)n+2+1e= \left.2x^{n+1}\right|_0^1 - \left.\dfrac{2x^{n+2}}{n + 2}\right|_0^1 + \displaystyle\int_0^1 (x^{n+1}e^{-x})'\, dx = 2 - \dfrac{2}{n + 2} + x^{n+1}e^{-x}\Big|_0^1 = \dfrac{2(n + 1)}{n + 2} + \dfrac{1}{e}, pentru orice număr natural nenul nn

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2025 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2025 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac