BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2016 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați partea reală a numărului complex z=i(1+i)2z = i(1 + i)^2.

Rezolvare

1
2 puncte
z=i(1+i)2=2i2z = i(1 + i)^2 = 2i^2
2
3 puncte
=−2= -2, deci partea reală a numărului complex zz este egală cu −2-2
Exercițiul 2
Determinați numerele reale mm, știind că imaginea funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+mx+1f(x) = x^2 + mx + 1 este intervalul [−1,+∞)[-1, +\infty).

Rezolvare

1
3 puncte
−m2−44=−1⇔m2−8=0-\frac{m^2 - 4}{4} = -1 \Leftrightarrow m^2 - 8 = 0
2
2 puncte
m=−22m = -2\sqrt{2} sau m=22m = 2\sqrt{2}
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x+2x+1=4−2x2^{2x} + 2^{x+1} = 4 - 2^x.

Rezolvare

1
3 puncte
22x+3⋅2x−4=0⇔(2x−1)(2x+4)=02^{2x} + 3 \cdot 2^x - 4 = 0 \Leftrightarrow (2^x - 1)(2^x + 4) = 0
2
2 puncte
Deoarece 2x>02^x > 0, soluția ecuației este x=0x = 0
Exercițiul 4
Determinați numărul elementelor mulțimii M={1,2,3,…,2016}M = \{1, 2, 3, \ldots, 2016\} care sunt divizibile cu 55 și nu sunt divizibile cu 1010.

Rezolvare

1
2 puncte
5,15,25,…,20055, 15, 25, \ldots, 2005 și 20152015 sunt numerele din mulțimea MM care sunt divizibile cu 55 și nu sunt divizibile cu 1010
2
3 puncte
În mulțimea MM sunt 202202 numere care sunt divizibile cu 55 și nu sunt divizibile cu 1010
Exercițiul 5
Se consideră triunghiul ABCABC și punctul MM astfel încât CM→=2BM→\overrightarrow{CM} = 2\overrightarrow{BM}. Arătați că AM→=2AB→−AC→\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}.

Rezolvare

1
2 puncte
Punctul BB este mijlocul segmentului MCMC
2
3 puncte
AB→=12(AM→+AC→)⇒AM→=2AB→−AC→\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AC}) \Rightarrow \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}
Exercițiul 6
Determinați numerele reale x∈[0,π]x \in [0, \pi], pentru care sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x = \sin x.

Rezolvare

1
2 puncte
2sin⁡xcos⁡x=sin⁡x⇔sin⁡x(2cos⁡x−1)=02\sin x \cos x = \sin x \Leftrightarrow \sin x(2\cos x - 1) = 0
2
3 puncte
Cum x∈[0,π]x \in [0, \pi], obținem x=0x = 0, x=π3x = \frac{\pi}{3} sau x=πx = \pi

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(11120152016x2015220162x2)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2015 & 2016 & x \\ 2015^2 & 2016^2 & x^2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați det⁡(A(2016))\det(A(2016)). b) Demonstrați că det⁡(A(x))=(2015−x)(2016−x)\det(A(x)) = (2015 - x)(2016 - x), pentru orice număr real xx. c) Determinați numărul real xx pentru care det⁡(A(x))\det(A(x)) are valoarea minimă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(2016)=(111201520162016201522016220162)⇒det⁡(A(2016))=∣111201520162016201522016220162∣A(2016) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2015 & 2016 & 2016 \\ 2015^2 & 2016^2 & 2016^2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2016)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2015 & 2016 & 2016 \\ 2015^2 & 2016^2 & 2016^2 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0= 0
b)5 puncte
3
2 puncte
det⁡(A(x))=∣0012015−x2016−xx20152−x220162−x2x2∣=(2015−x)(2016−x)∣112015+x2016+x∣\det(A(x)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2015 - x & 2016 - x & x \\ 2015^2 - x^2 & 2016^2 - x^2 & x^2 \end{vmatrix} = (2015 - x)(2016 - x)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2015 + x & 2016 + x \end{vmatrix}
4
3 puncte
=(2015−x)(2016−x)= (2015 - x)(2016 - x), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
det⁡(A(x))=x2−(2015+2016)x+2015⋅2016\det(A(x)) = x^2 - (2015 + 2016)x + 2015 \cdot 2016
6
3 puncte
det⁡(A(x))\det(A(x)) are valoarea minimă pentru x=40312x = \frac{4031}{2}
Exercițiul 2
Se consideră matricele A=(−1−111)A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și X(a)=I2+aAX(a) = I_2 + aA, unde aa este număr real. a) Calculați A⋅AA \cdot A. b) Demonstrați că X(a)⋅X(b)=X(a+b)X(a) \cdot X(b) = X(a + b), pentru orice numere reale aa și bb. c) Determinați inversa matricei M=X(−3)⋅X(−2)⋅X(−1)⋅X(0)⋅X(1)⋅X(2)⋅X(3)⋅X(4)M = X(-3) \cdot X(-2) \cdot X(-1) \cdot X(0) \cdot X(1) \cdot X(2) \cdot X(3) \cdot X(4).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A⋅A=((−1)(−1)+(−1)⋅1(−1)(−1)+(−1)⋅11⋅(−1)+1⋅11⋅(−1)+1⋅1)A \cdot A = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + (-1) \cdot 1 & (-1)(-1) + (-1) \cdot 1 \\ 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix}
2
2 puncte
=(0000)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
b)5 puncte
3
3 puncte
X(a)⋅X(b)=(I2+aA)(I2+bA)=I2+(a+b)A+abA⋅A=I2+(a+b)AX(a) \cdot X(b) = (I_2 + aA)(I_2 + bA) = I_2 + (a + b)A + abA \cdot A = I_2 + (a + b)A
4
2 puncte
=X(a+b)= X(a + b), pentru orice numere reale aa și bb
c)5 puncte
5
2 puncte
M=X((−3)+(−2)+(−1)+0+1+2+3+4)=X(4)M = X((-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4) = X(4)
6
3 puncte
Cum X(4)⋅X(−4)=X(0)=I2X(4) \cdot X(-4) = X(0) = I_2, inversa matricei MM este matricea X(−4)=(54−4−3)X(-4) = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=mx2+4x−mx−1f(x) = \frac{mx^2 + 4x - m}{x - 1}, unde mm este număr real. a) Arătați că dreapta de ecuație x=1x = 1 este asimptotă verticală la graficul funcției ff, pentru orice număr real mm. b) Determinați numărul real mm, pentru care dreapta de ecuație y=3y = 3 este asimptotă orizontală la graficul funcției g:(1,+∞)→Rg : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)xg(x) = \frac{f(x)}{x}. c) Pentru m=−1m = -1, calculați lim⁡x→2f(x)−5x−2\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 5}{x - 2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>1mx2+4x−mx−1=lim⁡x→1x>1(m(x+1)+4xx−1)\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \frac{mx^2 + 4x - m}{x - 1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \left(m(x + 1) + \frac{4x}{x - 1}\right)
2
2 puncte
=+∞= +\infty, deci dreapta de ecuație x=1x = 1 este asimptotă verticală la graficul funcției ff, pentru orice număr real mm
b)5 puncte
3
2 puncte
y=3y = 3 este asimptotă orizontală la graficul funcției g⇒lim⁡x→+∞g(x)=3g \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = 3
4
3 puncte
Cum lim⁡x→+∞mx2+4x−mx(x−1)=m\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{mx^2 + 4x - m}{x(x - 1)} = m, obținem m=3m = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
lim⁡x→2f(x)−5x−2=lim⁡x→2−x2+4x+1x−1−5x−2=lim⁡x→2−x2−x+6(x−1)(x−2)\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 5}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{-x^2 + 4x + 1}{x - 1} - 5}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{-x^2 - x + 6}{(x - 1)(x - 2)}
6
3 puncte
=lim⁡x→2−x−3x−1=−5= \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{-x - 3}{x - 1} = -5
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2+2a,x<2ax+log⁡2x,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} + 2a, & x < 2 \\ ax + \log_2 x, & x \geq 2 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Pentru a=0a = 0, calculați f(−1)⋅f(4)f(-1) \cdot f(4). b) Demonstrați că funcția ff este continuă pe R\mathbb{R}, pentru orice număr real aa. c) Demonstrați că, dacă a∈(−12,14)a \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right), ecuația f(x)=0f(x) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (−1,4)(-1, 4).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f(−1)=−12f(-1) = -\frac{1}{2}
2
3 puncte
f(4)=2⇒f(−1)⋅f(4)=−1f(4) = 2 \Rightarrow f(-1) \cdot f(4) = -1
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x<2(x2+2a)=1+2a\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} \left(\frac{x}{2} + 2a\right) = 1 + 2a, lim⁡x→2x>2f(x)=lim⁡x→2x>2(ax+log⁡2x)=2a+1\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} (ax + \log_2 x) = 2a + 1 și f(2)=2a+1f(2) = 2a + 1, deci funcția ff este continuă în x=2x = 2, pentru orice număr real aa
4
2 puncte
Cum, pentru orice număr real aa, funcția ff este continuă pe (−∞,2)(-\infty, 2) și pe (2,+∞)(2, +\infty), obținem că ff este continuă pe R\mathbb{R}
c)5 puncte
5
2 puncte
f(−1)⋅f(4)=(−12+2a)(4a+2)=(4a−1)(2a+1)f(-1) \cdot f(4) = \left(-\frac{1}{2} + 2a\right)(4a + 2) = (4a - 1)(2a + 1)
6
3 puncte
Deoarece ff este continuă și pentru orice a∈(−12,14)a \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) avem f(−1)⋅f(4)<0f(-1) \cdot f(4) < 0, ecuația f(x)=0f(x) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (−1,4)(-1, 4)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2016 — Științele Naturii

Următor →

Model 2016 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac