BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2016 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră progresia geometrică (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} cu b1=2b_1 = 2 și b2=8b_2 = 8. Calculați b1+b2+b3b_1 + b_2 + b_3.

Rezolvare

1
2 puncte
Rația progresiei este egală cu 44
2
3 puncte
b1+b2+b3=2+8+32=42b_1 + b_2 + b_3 = 2 + 8 + 32 = 42
Exercițiul 2
Determinați numerele reale aa pentru care f(a−5)=f(5)f(a - 5) = f(5), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1.

Rezolvare

1
2 puncte
f(5)=6f(5) = 6, f(a−5)=a2−14a+46f(a - 5) = a^2 - 14a + 46
2
3 puncte
a2−14a+40=0⇔a=4a^2 - 14a + 40 = 0 \Leftrightarrow a = 4 sau a=10a = 10
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅2x=4x−22 \cdot 2^x = 4^{x-2}.

Rezolvare

1
3 puncte
2x+1=22x−4⇔x+1=2x−42^{x+1} = 2^{2x-4} \Leftrightarrow x + 1 = 2x - 4
2
2 puncte
x=5x = 5
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de trei cifre se pot forma cu cifrele din mulțimea A={0,2,4,5}A = \{0, 2, 4, 5\}.

Rezolvare

1
3 puncte
Cifra sutelor se poate alege în 33 moduri, cifra zecilor se poate alege în câte 44 moduri
2
2 puncte
Cifra unităților se poate alege, pentru fiecare mod de alegere a celorlalte două cifre, în câte 44 moduri, deci se pot forma 3⋅4⋅4=483 \cdot 4 \cdot 4 = 48 de numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(5,−2)A(5, -2) și B(−1,4)B(-1, 4). Determinați coordonatele punctului MM, știind că AM→=MB→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}.

Rezolvare

1
2 puncte
Punctul MM este mijlocul segmentului ABAB
2
3 puncte
M(2,1)M(2, 1)
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC cu m(∢ABC)=30°m(\sphericalangle ABC) = 30°, AB=8AB = 8 și BC=12BC = 12. Calculați aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
Înălțimea din AA a triunghiului ABCABC este de 12⋅8=4\frac{1}{2} \cdot 8 = 4
2
3 puncte
Aria triunghiului ABCABC este egală cu 4⋅122=24\frac{4 \cdot 12}{2} = 24

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinantul d(x)=∣11120x+133x2+2∣d(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & x + 1 \\ 3 & 3 & x^2 + 2 \end{vmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați d(0)d(0). b) Demonstrați că d(x)=−2(x−1)(x+1)d(x) = -2(x - 1)(x + 1), pentru orice număr real xx. c) Arătați că, dacă xx și yy sunt două numere reale diferite astfel încât d(x)=d(y)d(x) = d(y), atunci x+y=0x + y = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
d(0)=∣111201332∣=0+6+3−0−3−4d(0) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0 + 6 + 3 - 0 - 3 - 4
2
2 puncte
=2= 2
b)5 puncte
3
3 puncte
d(x)=0+6+3(x+1)−0−2(x2+2)−3(x+1)=−2x2+2d(x) = 0 + 6 + 3(x + 1) - 0 - 2(x^2 + 2) - 3(x + 1) = -2x^2 + 2
4
2 puncte
=−2(x2−1)=−2(x−1)(x+1)= -2(x^2 - 1) = -2(x - 1)(x + 1), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
−2(x−1)(x+1)=−2(y−1)(y+1)⇔x2−y2=0-2(x - 1)(x + 1) = -2(y - 1)(y + 1) \Leftrightarrow x^2 - y^2 = 0
6
3 puncte
Cum x≠yx \neq y, din (x−y)(x+y)=0(x - y)(x + y) = 0, obținem x+y=0x + y = 0
Exercițiul 2
Se consideră matricele A=(01−10)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați A+I2A + I_2. b) Arătați că inversa matricei M=A+I2+A⋅AM = A + I_2 + A \cdot A este matricea −A-A. c) Determinați numărul real xx, pentru care avem (A+I2)(B+I2)=2I2(A + I_2)(B + I_2) = 2I_2, unde B=(0xx20)B = \begin{pmatrix} 0 & x \\ x^2 & 0 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A+I2=(0+11+0−1+00+1)A + I_2 = \begin{pmatrix} 0 + 1 & 1 + 0 \\ -1 + 0 & 0 + 1 \end{pmatrix}
2
2 puncte
=(11−11)= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
b)5 puncte
3
2 puncte
A⋅A=(−100−1)=−I2⇒M=A+I2+(−I2)=AA \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2 \Rightarrow M = A + I_2 + (-I_2) = A
4
3 puncte
Cum A⋅(−A)=(−A)⋅A=I2A \cdot (-A) = (-A) \cdot A = I_2, obținem că inversa matricei MM este matricea −A-A
c)5 puncte
5
3 puncte
(A+I2)(B+I2)=(11−11)(1xx21)=(1+x2x+1−1+x2−x+1)(A + I_2)(B + I_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x \\ x^2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + x^2 & x + 1 \\ -1 + x^2 & -x + 1 \end{pmatrix}
6
2 puncte
(1+x2x+1−1+x2−x+1)=(2002)⇔x=−1\begin{pmatrix} 1 + x^2 & x + 1 \\ -1 + x^2 & -x + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \Leftrightarrow x = -1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+3x+5x+2f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 3x + 5}}{x + 2}. a) Calculați lim⁡x→1f(x)\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x). b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției ff. c) Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
lim⁡x→1x2+3x+5x+2=12+3⋅1+51+2\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3x + 5}}{x + 2} = \frac{\sqrt{1^2 + 3 \cdot 1 + 5}}{1 + 2}
2
2 puncte
=1= 1
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→−2x>−2f(x)=lim⁡x→−2x>−2x2+3x+5x+2\displaystyle\lim_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} f(x) = \lim_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} \frac{\sqrt{x^2 + 3x + 5}}{x + 2}
4
2 puncte
=+∞= +\infty, deci dreapta de ecuație x=−2x = -2 este asimptotă verticală la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+3x+5x+2=lim⁡x→+∞1+3x+5x21+2x=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 3x + 5}}{x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}}{1 + \frac{2}{x}} = 1
6
2 puncte
Dreapta de ecuație y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={2x+1,x∈(−∞,0]1−x3,x∈(0,+∞)f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \in (-\infty, 0] \\ 1 - x^3, & x \in (0, +\infty) \end{cases}. a) Calculați f(−1)+f(1)f(-1) + f(1). b) Demonstrați că funcția ff este continuă în punctul x=0x = 0. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x)≥0f(x) \geq 0.

Rezolvare

1
2 puncte
f(−1)=−1f(-1) = -1
2
3 puncte
f(1)=0⇒f(−1)+f(1)=−1f(1) = 0 \Rightarrow f(-1) + f(1) = -1
3
1 punct
lim⁡x→0x<0f(x)=lim⁡x→0x<0(2x+1)=1\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} (2x + 1) = 1
4
1 punct
lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0(1−x3)=1\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} (1 - x^3) = 1
5
3 puncte
Cum f(0)=1f(0) = 1, obținem lim⁡x→0f(x)=f(0)\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = f(0), deci funcția ff este continuă în punctul x=0x = 0
6
2 puncte
f(x)=0⇔x=−12f(x) = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2} sau x=1x = 1. Funcția ff este continuă pe R\mathbb{R}, deci funcția ff are semn constant pe fiecare din intervalele (−∞,−12)\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right), (−12,1)\left(-\frac{1}{2}, 1\right) și (1,+∞)(1, +\infty)
7
1 punct
f(x)≥0⇔x∈[−12,1]f(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2016 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2015 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac