BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2012 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul real mm știind că mulțimile A={2}A=\{2\} și B={x∈R∣x2+mx+4=0}B=\{x\in\mathbb{R}\mid x^2+mx+4=0\} sunt egale.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+mx+4=0x^2+mx+4=0 are soluția x=2⇒m=−4x=2 \Rightarrow m=-4.
2
2 puncte
Pentru m=−4m=-4 cele două mulțimi sunt egale.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2f(x)=x^2-3x+2.

Rezolvare

1
2 puncte
xV=−b2a=32x_V=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{3}{2}.
2
1 punct
Δ=1\Delta=1.
3
2 puncte
yV=−Δ4a=−14y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{1}{4}.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 3log⁡3x<13^{\log_3 x}<1.

Rezolvare

1
2 puncte
Condiție: x>0x>0.
2
2 puncte
3log⁡3x<30⇔x<13^{\log_3 x}<3^0 \Leftrightarrow x<1.
3
1 punct
x∈(0,1)x\in(0,1).
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare unul dintre numerele naturale de 22 cifre, acesta să fie format doar din cifre impare.

Rezolvare

1
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibilep=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
2
2 puncte
ab‾\overline{ab} cu a,b∈{1,3,5,7,9}a,b\in\{1,3,5,7,9\} sunt 2525 de numere ⇒\Rightarrow 2525 de cazuri favorabile.
3
1 punct
ab‾\overline{ab} cu a∈{1,2,…,9}a\in\{1,2,\ldots,9\} și b∈{0,1,…,9}b\in\{0,1,\ldots,9\} sunt 9090 de numere ⇒\Rightarrow 9090 de cazuri posibile.
4
1 punct
p=518p=\dfrac{5}{18}.
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa pentru care vectorii u⃗=3i⃗+aj⃗\vec{u}=3\vec{i}+a\vec{j} și v⃗=ai⃗+(2a−3)j⃗\vec{v}=a\vec{i}+(2a-3)\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
2 puncte
3a=a2a−3\dfrac{3}{a}=\dfrac{a}{2a-3}.
2
2 puncte
a2−6a+9=0a^2-6a+9=0.
3
1 punct
a=3a=3.
Exercițiul 6
Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABCABC, știind că AB=AC=5AB=AC=5 și BC=6BC=6.

Rezolvare

1
2 puncte
SABC=12S_{ABC}=12.
2
2 puncte
R=abc4SR=\dfrac{abc}{4S}.
3
1 punct
R=258R=\dfrac{25}{8}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
În M3(C)\mathcal{M}_3(\mathbb{C}) se consideră matricele I3=(100010001)I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(cos⁡x0isin⁡x010isin⁡x0cos⁡x)A(x)=\begin{pmatrix}\cos x&0&i\sin x\\0&1&0\\i\sin x&0&\cos x\end{pmatrix}, unde x∈Rx\in\mathbb{R}. a) Calculați det⁡(A(π))\det\big(A(\pi)\big). b) Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)A(x)\cdot A(y)=A(x+y) pentru orice x,y∈Rx,y\in\mathbb{R}. c) Determinați numerele reale xx pentru care (A(x))2012=I3\big(A(x)\big)^{2012}=I_3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(π)=(−10001000−1)A(\pi)=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.
2
2 puncte
det⁡(A(π))=1\det\big(A(\pi)\big)=1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)⋅A(y)=(cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y0i(cos⁡xsin⁡y+sin⁡xcos⁡y)010i(cos⁡xsin⁡y+sin⁡xcos⁡y)0cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y)A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}\cos x\cos y-\sin x\sin y&0&i(\cos x\sin y+\sin x\cos y)\\0&1&0\\i(\cos x\sin y+\sin x\cos y)&0&\cos x\cos y-\sin x\sin y\end{pmatrix}, pentru orice x,y∈Rx,y\in\mathbb{R}.
4
1 punct
A(x+y)=(cos⁡(x+y)0isin⁡(x+y)010isin⁡(x+y)0cos⁡(x+y))A(x+y)=\begin{pmatrix}\cos(x+y)&0&i\sin(x+y)\\0&1&0\\i\sin(x+y)&0&\cos(x+y)\end{pmatrix}, pentru orice x,y∈Rx,y\in\mathbb{R}.
5
1 punct
Deci A(x)⋅A(y)=A(x+y)A(x)\cdot A(y)=A(x+y).
c)5 puncte
6
2 puncte
c) A2012(x)=A(2012x)A^{2012}(x)=A(2012x).
7
1 punct
A(2012x)=I3⇔cos⁡(2012x)=1A(2012x)=I_3 \Leftrightarrow \cos(2012x)=1 și sin⁡(2012x)=0\sin(2012x)=0.
8
2 puncte
x=kπ1006x=\dfrac{k\pi}{1006}, k∈Zk\in\mathbb{Z}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea G=(0,1)G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy2xy−x−y+1x\circ y=\dfrac{xy}{2xy-x-y+1}. a) Arătați că e=12e=\dfrac{1}{2} este elementul neutru al legii de compoziție ∘\circ. b) Arătați că orice element din mulțimea GG este simetrizabil în raport cu legea de compoziție ∘\circ. c) Demonstrați că f:G→R+∗f:G\to\mathbb{R}^*_+, f(x)=1x−1f(x)=\dfrac{1}{x}-1 este un izomorfism de la grupul (G,∘)(G,\circ) la grupul (R+∗,⋅)(\mathbb{R}^*_+,\cdot).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∘12=x⋅122x⋅12−x−12+1=xx\circ\dfrac{1}{2}=\dfrac{x\cdot\frac{1}{2}}{2x\cdot\frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1}=x, pentru orice x∈Gx\in G.
2
2 puncte
12∘x=12⋅x2⋅12⋅x−12−x+1=x\dfrac{1}{2}\circ x=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot x}{2\cdot\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2}-x+1}=x, pentru orice x∈Gx\in G.
3
1 punct
Deci e=12e=\dfrac{1}{2} este elementul neutru.
b)5 puncte
4
1 punct
b) x∘x′=12x\circ x'=\dfrac{1}{2} cu x,x′∈Gx,x'\in G.
5
3 puncte
x′=1−xx'=1-x și x′∈(0,1)x'\in(0,1).
6
1 punct
Deci orice element din GG este simetrizabil.
c)5 puncte
7
2 puncte
c) ff este bijectivă.
8
2 puncte
f(x∘y)=1x∘y−1=(x−1)(y−1)xyf(x\circ y)=\dfrac{1}{x\circ y}-1=\dfrac{(x-1)(y-1)}{xy}, pentru orice x,y∈Gx,y\in G.
9
1 punct
f(x)⋅f(y)=(1x−1)(1y−1)=(x−1)(y−1)xyf(x)\cdot f(y)=\left(\dfrac{1}{x}-1\right)\left(\dfrac{1}{y}-1\right)=\dfrac{(x-1)(y-1)}{xy}, pentru orice x,y∈Gx,y\in G, deci ff este izomorfism.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+e−x2f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}. a) Calculați lim⁡x→+∞xf(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{f(x)}. b) Demonstrați că funcția ff este convexă pe R\mathbb{R}. c) Arătați că funcția g:(0,+∞)→Rg:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x)=f(\sqrt{x}) este strict crescătoare pe (0,+∞)(0,+\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞2xex+e−x=lim⁡x→+∞2ex−e−x=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x+e^{-x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x-e^{-x}}=
2
2 puncte
=0=0.
b)5 puncte
3
1 punct
b) f′(x)=ex−e−x2f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.
4
2 puncte
f′′(x)=ex+e−x2f''(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.
5
2 puncte
f′′(x)>0f''(x)>0, pentru orice xx real, deci ff este convexă.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) g(x)=ex+e−x2⇒g′(x)=ex−e−x4xg(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}}{2} \Rightarrow g'(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}}, pentru orice x>0x>0.
7
2 puncte
x>0⇒x>0⇒ex>e−xx>0 \Rightarrow \sqrt{x}>0 \Rightarrow e^{\sqrt{x}}>e^{-\sqrt{x}}.
8
1 punct
g′(x)>0⇒gg'(x)>0 \Rightarrow g este strict crescătoare pe (0,+∞)(0,+\infty).
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numerele In=∫01xn⋅1−x2 dxI_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\cdot\sqrt{1-x^2}\,dx și Jn=∫0π2sin⁡nx dxJ_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx. a) Calculați J1J_1. b) Calculați I1I_1. c) Demonstrați că J2n−J2n+2=I2nJ_{2n}-J_{2n+2}=I_{2n} pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
a) J1=∫0π2sin⁡t dtJ_1=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin t\,dt.
2
2 puncte
J1=−cos⁡t∣0π2J_1=-\cos t\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}.
3
2 puncte
J1=1J_1=1.
b)5 puncte
4
1 punct
b) I1=∫01x1−x2 dxI_1=\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx.
5
3 puncte
I1=−13(1−x2)3∣01I_1=-\dfrac{1}{3}\sqrt{(1-x^2)^3}\Big|_0^1.
6
1 punct
I1=13I_1=\dfrac{1}{3}.
c)5 puncte
7
2 puncte
c) J2n−J2n+2=∫0π2sin⁡2nxcos⁡2x dxJ_{2n}-J_{2n+2}=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}x\cos^2 x\,dx.
8
3 puncte
Cu schimbarea de variabilă sin⁡x=t\sin x=t obținem J2n−J2n+2=∫01t2n⋅1−t2 dt=I2nJ_{2n}-J_{2n+2}=\displaystyle\int_0^1 t^{2n}\cdot\sqrt{1-t^2}\,dt=I_{2n}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2012 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2012 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac