BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2013 — Științele Naturii (Varianta 3)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul 2(7+1)−282(\sqrt{7} + 1) - \sqrt{28} este natural.

Rezolvare

1
3 puncte
28=27\sqrt{28} = 2\sqrt{7}
2
2 puncte
27+2−27=22\sqrt{7} + 2 - 2\sqrt{7} = 2
Exercițiul 2
Calculați f(1)+f(2)+…+f(10)f(1) + f(2) + \ldots + f(10) pentru funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)+f(2)+…+f(10)=2(1+2+…+10)−10f(1) + f(2) + \ldots + f(10) = 2(1 + 2 + \ldots + 10) - 10
2
2 puncte
=100= 100
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x+1=164^{x+1} = 16.

Rezolvare

1
3 puncte
4x+1=424^{x+1} = 4^2
2
2 puncte
x+1=2⇒x=1x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulțimea A={1,2,3,…,15}A = \{1, 2, 3, \ldots, 15\}, acesta să fie multiplu de 77.

Rezolvare

1
2 puncte
Multiplii lui 77 din mulțimea AA sunt 77 și 1414, deci sunt 22 cazuri favorabile
2
1 punct
Numărul de elemente ale mulțimii AA este 1515, deci sunt 1515 cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=215p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{2}{15}
Exercițiul 5
Se consideră punctele AA, BB și CC astfel încât AB→=2i⃗+j⃗\overrightarrow{AB} = 2\vec{i} + \vec{j} și BC→=i⃗−j⃗\overrightarrow{BC} = \vec{i} - \vec{j}. Calculați lungimea vectorului AC→\overrightarrow{AC}.

Rezolvare

1
3 puncte
AC→=AB→+BC→=3i⃗\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 3\vec{i}
2
2 puncte
AC=3AC = 3
Exercițiul 6
Determinați x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) știind că 3sin⁡x−2cos⁡xcos⁡x=1\dfrac{3\sin x - 2\cos x}{\cos x} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
3sin⁡x−2cos⁡x=cos⁡x⇒sin⁡x=cos⁡x3\sin x - 2\cos x = \cos x \Rightarrow \sin x = \cos x
2
2 puncte
x=π4x = \dfrac{\pi}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real xx se consideră matricea A(x)=(1xxx1xxx1)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(A(2))\det(A(2)). b) Arătați că A(1)⋅A(2)=5A(1)A(1) \cdot A(2) = 5A(1). c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A(x))=0\det(A(x)) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡(A(2))=∣122212221∣\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=5= 5
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(1)⋅A(2)=(111111111)⋅(122212221)=(555555555)A(1) \cdot A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \end{pmatrix}
4
3 puncte
=5A(1)= 5A(1)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡(A(x))=2x3−3x2+1=(2x+1)(x−1)2\det(A(x)) = 2x^3 - 3x^2 + 1 = (2x + 1)(x - 1)^2
6
3 puncte
det⁡(A(x))=0⇔x=−12\det(A(x)) = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{2} sau x=1x = 1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+mf = X^3 - 2X^2 - 2X + m, unde mm este număr real. a) Pentru m=3m = 3, calculați f(1)f(1). b) Determinați numărul real mm știind că restul împărțirii polinomului ff la X−2X - 2 este egal cu 22. c) Pentru m=4m = 4, arătați că (x1+x2+x3) ⁣(1x1+1x2+1x3)=1(x_1 + x_2 + x_3)\!\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}\right) = 1, unde x1x_1, x2x_2, x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f=X3−2X2−2X+3f = X^3 - 2X^2 - 2X + 3
2
3 puncte
f(1)=1−2−2+3=0f(1) = 1 - 2 - 2 + 3 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f(2)=2⇒8−8−4+m=2f(2) = 2 \Rightarrow 8 - 8 - 4 + m = 2
4
2 puncte
m=6m = 6
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=2x_1 + x_2 + x_3 = 2, x1x2+x2x3+x3x1=−2x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -2, x1x2x3=−4x_1 x_2 x_3 = -4
6
2 puncte
(x1+x2+x3) ⁣(1x1+1x2+1x3)=2⋅−2−4=1(x_1 + x_2 + x_3)\!\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}\right) = 2 \cdot \dfrac{-2}{-4} = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Calculați lim⁡x→+∞f(x)x2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x^2}. c) Demonstrați că funcția ff este convexă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=x′⋅ln⁡x+x⋅(ln⁡x)′f'(x) = x' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)'
2
3 puncte
=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1= \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x2=lim⁡x→+∞ln⁡xx\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞1x=0= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=1xf''(x) = \dfrac{1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
6
3 puncte
f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci ff este convexă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1x2+1f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}. a) Arătați că ∫01x⋅f(x) dx=12ln⁡2\displaystyle\int_0^1 x \cdot f(x)\, dx = \dfrac{1}{2} \ln 2. b) Calculați ∫01x⋅f′(x) dx\displaystyle\int_0^1 x \cdot f'(x)\, dx. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției h:[0,1]→Rh : [0, 1] \to \mathbb{R}, h(x)=1f(x)h(x) = \dfrac{1}{f(x)}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01x⋅f(x) dx=12∫01(x2+1)′x2+1 dx\displaystyle\int_0^1 x \cdot f(x)\, dx = \dfrac{1}{2} \int_0^1 \dfrac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1}\, dx
2
2 puncte
=12ln⁡(x2+1)∣01=12ln⁡2= \dfrac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \Big|_0^1 = \dfrac{1}{2} \ln 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫01x⋅f′(x) dx=x⋅f(x)∣01−∫01f(x) dx\displaystyle\int_0^1 x \cdot f'(x)\, dx = x \cdot f(x) \Big|_0^1 - \int_0^1 f(x)\, dx
4
3 puncte
=12−arctan⁡x∣01=12−π4= \dfrac{1}{2} - \arctan x \Big|_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{4}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) V=π∫01h2(x) dx=π∫01(x4+2x2+1) dxV = \pi \displaystyle\int_0^1 h^2(x)\, dx = \pi \int_0^1 (x^4 + 2x^2 + 1)\, dx
6
3 puncte
=π(x55+2x33+x)∣01=28π15= \pi \left(\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + x\right) \Big|_0^1 = \dfrac{28\pi}{15}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2013 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Specială 2013 — Tehnologic (Varianta 3)

← Înapoi la arhiva completă Bac