BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2014 — Tehnologic (Varianta 9)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3⋅(23−13)=13 \cdot \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}\right) = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
23−13=13\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}
2
3 puncte
3⋅13=13 \cdot \dfrac{1}{3} = 1
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm știind că f(m)=1f(m) = 1, unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−4f(x) = x - 4.

Rezolvare

1
3 puncte
m−4=1m - 4 = 1
2
2 puncte
m=5m = 5
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2+1=1\sqrt{2x^2 + 1} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
2x2+1=12x^2 + 1 = 1
2
2 puncte
x=0x = 0, care verifică ecuația
Exercițiul 4
În anul 2013, profitul anual al unei firme a fost de 100000100000 de lei, ceea ce reprezintă 4%4\% din valoarea veniturilor anuale ale firmei. Determinați valoarea veniturilor anuale ale firmei în anul 2013.

Rezolvare

1
3 puncte
100000=4%⋅x100000 = 4\% \cdot x, unde xx reprezintă venitul anual al firmei
2
2 puncte
x=2500000x = 2500000 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(5,6)A(5, 6), B(2,6)B(2, 6) și C(5,2)C(5, 2). Arătați că triunghiul ABCABC este dreptunghic.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=3AB = 3, AC=4AC = 4 și BC=5BC = 5
2
2 puncte
AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2, deci △ABC\triangle ABC este dreptunghic
Exercițiul 6
Arătați că tg⁡260°+tg⁡245°=4\operatorname{tg}^2 60° + \operatorname{tg}^2 45° = 4.

Rezolvare

1
2 puncte
tg⁡60°=3\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3} și tg⁡45°=1\operatorname{tg} 45° = 1
2
3 puncte
tg⁡260°+tg⁡245°=3+1=4\operatorname{tg}^2 60° + \operatorname{tg}^2 45° = 3 + 1 = 4

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(31−5−2)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}, B=(21−5−3)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -5 & -3 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=−1\det A = -1. b) Arătați că 2A⋅B−B⋅A=I22A \cdot B - B \cdot A = I_2. c) Determinați numărul real xx știind că A⋅A−xA=I2A \cdot A - xA = I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡A=∣31−5−2∣\det A = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -5 & -2 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=3⋅(−2)−1⋅(−5)=−1= 3 \cdot (-2) - 1 \cdot (-5) = -1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A⋅B=(1001)A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
4
3 puncte
B⋅A=(1001)⇒2A⋅B−B⋅A=(2002)−(1001)=I2B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow 2A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A⋅A=(41−5−1)⇒A⋅A−xA=(4−3x1−x−5+5x−1+2x)A \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -5 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow A \cdot A - xA = \begin{pmatrix} 4 - 3x & 1 - x \\ -5 + 5x & -1 + 2x \end{pmatrix}
6
2 puncte
(4−3x1−x−5+5x−1+2x)=(1001)⇒x=1\begin{pmatrix} 4 - 3x & 1 - x \\ -5 + 5x & -1 + 2x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow x = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y−1)−xyx * y = 2(x + y - 1) - xy. a) Arătați că 1∗2=21 * 2 = 2. b) Arătați că x∗2=2∗x=2x * 2 = 2 * x = 2 pentru orice număr real xx. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x=xx * x = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗2=2(1+2−1)−1⋅21 * 2 = 2(1 + 2 - 1) - 1 \cdot 2
2
2 puncte
=4−2=2= 4 - 2 = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗2=2(x+2−1)−x⋅2=2x * 2 = 2(x + 2 - 1) - x \cdot 2 = 2
4
3 puncte
2∗x=2(2+x−1)−2x=2=x∗22 * x = 2(2 + x - 1) - 2x = 2 = x * 2 pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) −x2+4x−2=x⇔x2−3x+2=0-x^2 + 4x - 2 = x \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0
6
2 puncte
x1=1x_1 = 1 și x2=2x_2 = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)e^x. a) Arătați că lim⁡x→0f(x)=−1\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -1. b) Arătați că f′(x)=ex+f(x)f'(x) = e^x + f(x) pentru orice număr real xx. c) Arătați că lim⁡x→0f(x)+1x=0\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) + 1}{x} = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0(x−1)ex\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x - 1)e^x
2
3 puncte
=−1⋅e0=−1= -1 \cdot e^0 = -1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f′(x)=1⋅ex+(x−1)exf'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 1)e^x
4
2 puncte
=ex+f(x)= e^x + f(x) pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→0f(x)+1x=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) + 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}
6
3 puncte
=f′(0)=0= f'(0) = 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+2xf(x) = 3x^2 + 2x. a) Arătați că ∫123x2 dx=7\displaystyle\int_1^2 3x^2\, dx = 7. b) Determinați primitiva F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} a funcției ff pentru care F(1)=2014F(1) = 2014. c) Determinați numărul natural nn, n≥2n \geq 2 știind că ∫1nf(x)x dx=132\displaystyle\int_1^n \dfrac{f(x)}{x}\, dx = \dfrac{13}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫123x2 dx=x3∣12\displaystyle\int_1^2 3x^2\, dx = \left. x^3 \right|_1^2
2
2 puncte
=8−1=7= 8 - 1 = 7
b)5 puncte
3
3 puncte
b) O primitivă FF a funcției ff este de forma F(x)=x3+x2+cF(x) = x^3 + x^2 + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}
4
2 puncte
F(1)=2+c⇒c=2012⇒F(x)=x3+x2+2012F(1) = 2 + c \Rightarrow c = 2012 \Rightarrow F(x) = x^3 + x^2 + 2012
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫1nf(x)x dx=∫1n(3x+2) dx=3n2+4n−72\displaystyle\int_1^n \dfrac{f(x)}{x}\, dx = \int_1^n (3x + 2)\, dx = \dfrac{3n^2 + 4n - 7}{2}
6
2 puncte
3n2+4n−72=132⇔3n2+4n−20=0⇒n1=−103\dfrac{3n^2 + 4n - 7}{2} = \dfrac{13}{2} \Leftrightarrow 3n^2 + 4n - 20 = 0 \Rightarrow n_1 = -\dfrac{10}{3} nu este număr natural și n2=2n_2 = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2014 — Științele Naturii (Varianta 9)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2014 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac