BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2015 — Matematică-Informatică (Varianta 9)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=2+3iz_1 = 2 + 3i și z2=1−3iz_2 = 1 - 3i. Arătați că numărul z1+z2z_1 + z_2 este real.

Rezolvare

1
3 puncte
z1+z2=(2+3i)+(1−3i)z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (1 - 3i)
2
2 puncte
=3= 3, care este număr real
Exercițiul 2
Calculați (f∘g)(1)(f \circ g)(1), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−1f(x) = x - 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=3xg(x) = 3x.

Rezolvare

1
2 puncte
g(1)=3g(1) = 3
2
3 puncte
(f∘g)(1)=f(g(1))=f(3)=2(f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(3) = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−64=04^x - 64 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
4x=434^x = 4^3
2
3 puncte
x=3x = 3
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 77.

Rezolvare

1
1 punct
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Sunt 1313 numere naturale de două cifre care sunt divizibile cu 77, deci sunt 1313 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1390p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{13}{90}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră dreapta dd de ecuație y=4x+1y = 4x + 1 și punctul A(2,0)A(2, 0). Determinați ecuația paralelei duse prin punctul AA la dreapta dd.

Rezolvare

1
2 puncte
Dreapta paralelă cu dreapta dd are panta egală cu 44
2
3 puncte
Ecuația paralelei duse prin punctul AA la dreapta dd este y=4x−8y = 4x - 8
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(π−x)sin⁡x−cos⁡(π−x)cos⁡x=1\sin(\pi - x) \sin x - \cos(\pi - x) \cos x = 1, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡(π−x)sin⁡x−cos⁡(π−x)cos⁡x=−cos⁡(π−x+x)\sin(\pi - x) \sin x - \cos(\pi - x) \cos x = -\cos(\pi - x + x)
2
2 puncte
=−cos⁡π=1= -\cos \pi = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(101010101)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} și B(x)=(0x0x0x0x0)B(x) = \begin{pmatrix} 0 & x & 0 \\ x & 0 & x \\ 0 & x & 0 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=0\det A = 0. b) Arătați că A⋅B(x)+B(x)⋅A=3B(x)A \cdot B(x) + B(x) \cdot A = 3B(x), pentru orice număr real xx. c) Determinați numerele reale xx pentru care B(x)⋅B(x)⋅B(x)=B(x2+x−2)B(x) \cdot B(x) \cdot B(x) = B(x^2 + x - 2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡A=∣101010101∣\det A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=1+0+0−1−0−0=0= 1 + 0 + 0 - 1 - 0 - 0 = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A⋅B(x)=(02x0x0x02x0)A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 0 & 2x & 0 \\ x & 0 & x \\ 0 & 2x & 0 \end{pmatrix}, B(x)⋅A=(0x02x02x0x0)B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & x & 0 \\ 2x & 0 & 2x \\ 0 & x & 0 \end{pmatrix}
4
3 puncte
A⋅B(x)+B(x)⋅A=(03x03x03x03x0)=3B(x)A \cdot B(x) + B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 3x & 0 \\ 3x & 0 & 3x \\ 0 & 3x & 0 \end{pmatrix} = 3B(x), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) B(x)⋅B(x)⋅B(x)=(02x302x302x302x30)B(x) \cdot B(x) \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 0 & 2x^3 & 0 \\ 2x^3 & 0 & 2x^3 \\ 0 & 2x^3 & 0 \end{pmatrix} și B(x2+x−2)=(0x2+x−20x2+x−20x2+x−20x2+x−20)B(x^2 + x - 2) = \begin{pmatrix} 0 & x^2 + x - 2 & 0 \\ x^2 + x - 2 & 0 & x^2 + x - 2 \\ 0 & x^2 + x - 2 & 0 \end{pmatrix}
6
2 puncte
2x3=x2+x−22x^3 = x^2 + x - 2, x∈R⇔x=−1x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x = -1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−2X2+2X+mf = X^3 - 2X^2 + 2X + m, unde mm este număr real. a) Arătați că f(0)=mf(0) = m. b) Pentru m=−1m = -1, demonstrați că (x1+x2+x3) ⁣(1x1+1x2+1x3)=4\left(x_1 + x_2 + x_3\right)\!\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}\right) = 4, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Arătați că polinomul ff nu are toate rădăcinile reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(0)=03−2⋅02+2⋅0+mf(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + m
2
2 puncte
=m= m
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x1+x2+x3=2x_1 + x_2 + x_3 = 2, x1x2+x1x3+x2x3=2x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 2, x1x2x3=1x_1 x_2 x_3 = 1
4
2 puncte
(x1+x2+x3) ⁣(1x1+1x2+1x3)=(x1+x2+x3)(x2x3+x1x3+x1x2)x1x2x3=2⋅21=4(x_1 + x_2 + x_3)\!\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}\right) = \dfrac{(x_1 + x_2 + x_3)(x_2 x_3 + x_1 x_3 + x_1 x_2)}{x_1 x_2 x_3} = \dfrac{2 \cdot 2}{1} = 4
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=22−2⋅2=0x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 0
6
3 puncte
Dacă polinomul ff ar avea toate rădăcinile reale, am obține x1=x2=x3=0x_1 = x_2 = x_3 = 0, contradicție cu x1+x2+x3=2x_1 + x_2 + x_3 = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x2+x+1f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}. a) Arătați că f′(x)=2(x−1)(x+1)(x2+x+1)2f'(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Calculați lim⁡x→+∞(f(x))x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \big(f(x)\big)^x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x−1)(x2+x+1)−(2x+1)(x2−x+1)(x2+x+1)2f'(x) = \dfrac{(2x - 1)(x^2 + x + 1) - (2x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
2
2 puncte
=2x2−2(x2+x+1)2=2(x−1)(x+1)(x2+x+1)2= \dfrac{2x^2 - 2}{(x^2 + x + 1)^2} = \dfrac{2(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(0)=1f(0) = 1, f′(0)=−2f'(0) = -2
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)⇒y=−2x+1y - f(0) = f'(0)(x - 0) \Rightarrow y = -2x + 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→+∞(f(x))x=lim⁡x→+∞(x2−x+1x2+x+1)x=lim⁡x→+∞(1−2xx2+x+1)x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x))^x = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \dfrac{2x}{x^2 + x + 1}\right)^x
6
3 puncte
=elim⁡x→+∞−2x2x2+x+1=e−2= e^{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2}{x^2 + x + 1}} = e^{-2}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex−2xf(x) = e^x - 2x. a) Arătați că ∫01(f(x)+2x) dx=e−1\displaystyle\int_0^1 (f(x) + 2x)\, dx = e - 1. b) Determinați primitiva FF a funcției ff pentru care F(1)=e−3F(1) = e - 3. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x), este egal cu π6(3e2−19)\dfrac{\pi}{6}(3e^2 - 19).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01(f(x)+2x) dx=∫01ex dx\displaystyle\int_0^1 (f(x) + 2x)\, dx = \int_0^1 e^x\, dx
2
3 puncte
=ex∣01=e−1= \left. e^x \right|_0^1 = e - 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=ex−x2+cF(x) = e^x - x^2 + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}
4
3 puncte
F(1)=e−3⇒c=−2F(1) = e - 3 \Rightarrow c = -2, deci F(x)=ex−x2−2F(x) = e^x - x^2 - 2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) V=π∫01g2(x) dx=π∫01(ex−2x)2 dx=π∫01(e2x−4xex+4x2) dxV = \pi \displaystyle\int_0^1 g^2(x)\, dx = \pi \int_0^1 (e^x - 2x)^2\, dx = \pi \int_0^1 (e^{2x} - 4xe^x + 4x^2)\, dx
6
3 puncte
=π(12e2x−4(x−1)ex+4x33)∣01=π(3e2−19)6= \pi \left. \left(\dfrac{1}{2}e^{2x} - 4(x - 1)e^x + \dfrac{4x^3}{3}\right) \right|_0^1 = \dfrac{\pi(3e^2 - 19)}{6}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2015 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2015 — Științele Naturii (Varianta 9)

← Înapoi la arhiva completă Bac