BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2015 — Științele Naturii (Varianta 9)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați rația progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a3=6a_3 = 6 și a4=8a_4 = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
r=a4−a3=8−6r = a_4 - a_3 = 8 - 6
2
2 puncte
=2= 2
Exercițiul 2
Determinați valoarea minimă a funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−9f(x) = x^2 - 9.

Rezolvare

1
2 puncte
Valoarea minimă a funcției este −Δ4a-\dfrac{\Delta}{4a}
2
3 puncte
=−364=−9= -\dfrac{36}{4} = -9
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+3=x+1\sqrt{x^2 + 3} = x + 1.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+3=(x+1)2⇔3=2x+1x^2 + 3 = (x + 1)^2 \Leftrightarrow 3 = 2x + 1
2
2 puncte
x=1x = 1, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5,6,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.

Rezolvare

1
3 puncte
C72=7!2!⋅5!C_7^2 = \dfrac{7!}{2! \cdot 5!}
2
2 puncte
=21= 21
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,1)A(2, 1) și B(0,3)B(0, 3). Determinați ecuația dreptei ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
y−13−1=x−20−2\dfrac{y - 1}{3 - 1} = \dfrac{x - 2}{0 - 2}
2
2 puncte
y=−x+3y = -x + 3
Exercițiul 6
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABCABC în care AB=8AB = 8 și C=π6C = \dfrac{\pi}{6}.

Rezolvare

1
3 puncte
ABsin⁡C=2R⇒R=82⋅12\dfrac{AB}{\sin C} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{8}{2 \cdot \dfrac{1}{2}}
2
2 puncte
=8= 8

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} și B(x)=(x236)B(x) = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=−2\det A = -2. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det⁡(B(x)+I2)=8\det(B(x) + I_2) = 8, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Determinați numărul real xx pentru care A⋅B(x)=B(x)⋅AA \cdot B(x) = B(x) \cdot A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣1234∣=1⋅4−2⋅3\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3
2
2 puncte
=4−6=−2= 4 - 6 = -2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) B(x)+I2=(x+1237)⇒det⁡(B(x)+I2)=7x+1B(x) + I_2 = \begin{pmatrix} x + 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B(x) + I_2) = 7x + 1
4
2 puncte
7x+1=8⇔x=17x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A⋅B(x)=(x+6143x+1230)A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} x + 6 & 14 \\ 3x + 12 & 30 \end{pmatrix}
6
2 puncte
B(x)⋅A=(x+62x+82130)B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} x + 6 & 2x + 8 \\ 21 & 30 \end{pmatrix}
7
1 punct
(x+6143x+1230)=(x+62x+82130)⇔x=3\begin{pmatrix} x + 6 & 14 \\ 3x + 12 & 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 6 & 2x + 8 \\ 21 & 30 \end{pmatrix} \Leftrightarrow x = 3
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−7x−7y+56x * y = xy - 7x - 7y + 56. a) Arătați că (−7)∗7=7(-7) * 7 = 7. b) Arătați că x∗y=(x−7)(y−7)+7x * y = (x - 7)(y - 7) + 7, pentru orice numere reale xx și yy. c) Calculați 1∗2∗3∗⋯∗20151 * 2 * 3 * \cdots * 2015.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) (−7)∗7=(−7)⋅7−7⋅(−7)−7⋅7+56(-7) * 7 = (-7) \cdot 7 - 7 \cdot (-7) - 7 \cdot 7 + 56
2
2 puncte
=−49+49−49+56=7= -49 + 49 - 49 + 56 = 7
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗y=xy−7x−7y+49+7x * y = xy - 7x - 7y + 49 + 7
4
3 puncte
=x(y−7)−7(y−7)+7=(x−7)(y−7)+7= x(y - 7) - 7(y - 7) + 7 = (x - 7)(y - 7) + 7, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗7=7x * 7 = 7 și 7∗y=77 * y = 7, pentru xx și yy numere reale
6
3 puncte
1∗2∗3∗⋯∗2015=(1∗2∗⋯∗6)∗7∗(8∗9∗⋯∗2015)=7∗(8∗9∗⋯∗2015)=71 * 2 * 3 * \cdots * 2015 = (1 * 2 * \cdots * 6) * 7 * (8 * 9 * \cdots * 2015) = 7 * (8 * 9 * \cdots * 2015) = 7

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ex−ln⁡x+xf(x) = e^x - \ln x + x. a) Arătați că lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=e\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = e. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că funcția ff este convexă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1)
2
3 puncte
f′(x)=ex−1x+1f'(x) = e^x - \dfrac{1}{x} + 1 și f′(1)=e⇒lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=ef'(1) = e \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = e
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=e+1f(1) = e + 1, f′(1)=ef'(1) = e
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)⇒y=ex+1y - f(1) = f'(1)(x - 1) \Rightarrow y = ex + 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=ex+1x2f''(x) = e^x + \dfrac{1}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
6
3 puncte
f′′(x)>0f''(x) > 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci ff este convexă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x+1f(x) = \dfrac{1}{x + 1}. a) Arătați că ∫011f(x) dx=32\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{f(x)}\, dx = \dfrac{3}{2}. b) Arătați că ∫01x2f(x) dx=−12+ln⁡2\displaystyle\int_0^1 x^2 f(x)\, dx = -\dfrac{1}{2} + \ln 2. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫011f(x) dx=∫01(x+1) dx=(x22+x)∣01\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{f(x)}\, dx = \int_0^1 (x + 1)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2} + x\right)\right|_0^1
2
2 puncte
=12+1=32= \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01x2f(x) dx=∫01x2x+1 dx=∫01(x−1+1x+1) dx=(x22−x+ln⁡(x+1))∣01\displaystyle\int_0^1 x^2 f(x)\, dx = \int_0^1 \dfrac{x^2}{x + 1}\, dx = \int_0^1 \left(x - 1 + \dfrac{1}{x + 1}\right)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2} - x + \ln(x + 1)\right)\right|_0^1
4
2 puncte
=12−1+ln⁡2=−12+ln⁡2= \dfrac{1}{2} - 1 + \ln 2 = -\dfrac{1}{2} + \ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) V=π∫01g2(x) dx=π∫011(x+1)2 dx=π⋅−1x+1∣01V = \pi \displaystyle\int_0^1 g^2(x)\, dx = \pi \int_0^1 \dfrac{1}{(x + 1)^2}\, dx = \pi \cdot \left.\dfrac{-1}{x + 1}\right|_0^1
6
2 puncte
=π ⁣(−12+1)=π2= \pi\!\left(-\dfrac{1}{2} + 1\right) = \dfrac{\pi}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2015 — Matematică-Informatică (Varianta 9)

Următor →

Bac Specială 2015 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac