BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2017 — Științele Naturii (Varianta 4)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=3+2iz_1 = 3 + 2i și z2=3−2iz_2 = 3 - 2i. Arătați că numărul z1+z2z_1 + z_2 este real.

Rezolvare

1
2 puncte
z1+z2=(3+2i)+(3−2i)z_1 + z_2 = (3 + 2i) + (3 - 2i)
2
3 puncte
=6= 6, care este număr real
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, știind că punctul M(2,m)M(2, m) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3.

Rezolvare

1
3 puncte
f(2)=m⇔4−3=mf(2) = m \Leftrightarrow 4 - 3 = m
2
2 puncte
m=1m = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 33x−5=3−23^{3x - 5} = 3^{-2}.

Rezolvare

1
3 puncte
33x−5=3−2⇔3x−5=−23^{3x - 5} = 3^{-2} \Leftrightarrow 3x - 5 = -2
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,20}A = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}, acesta să fie multiplu de 55.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 2020 de elemente, deci sunt 2020 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea AA, multiplii de 55 sunt numerele 55, 1010, 1515 și 2020, deci sunt 44 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=420=15p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,5)A(2, 5), B(1,3)B(1, 3) și C(m,1)C(m, 1), unde mm este număr real. Determinați numărul real mm, știind că punctul CC aparține dreptei ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
Ecuația dreptei ABAB este y=2x+1y = 2x + 1
2
2 puncte
C∈AB⇔1=2m+1⇔m=0C \in AB \Leftrightarrow 1 = 2m + 1 \Leftrightarrow m = 0
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=cos⁡x2+sin⁡xE(x) = \cos \dfrac{x}{2} + \sin x, unde xx este număr real. Arătați că E ⁣(π3)=3E\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}.

Rezolvare

1
2 puncte
E ⁣(π3)=cos⁡π6+sin⁡π3E\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos \dfrac{\pi}{6} + \sin \dfrac{\pi}{3}
2
3 puncte
=32+32=3= \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(xx+112x1301)A(x) = \begin{pmatrix} x & x + 1 & 1 \\ 2 & x & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Determinați numărul real xx, pentru care A(x)+A(x+2)=2A(2)A(x) + A(x + 2) = 2A(2). c) În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(n,n+1)M(n, n + 1), N(2,n)N(2, n) și P(3,0)P(3, 0). Determinați numărul natural nn, știind că punctele MM, NN și PP sunt coliniare.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(011201301)⇒det⁡(A(0))=∣011201301∣A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0+0+3−0−0−2=1= 0 + 0 + 3 - 0 - 0 - 2 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(x)+A(x+2)=(xx+112x1301)+(x+2x+312x+21301)=(2x+22x+4242x+22602)A(x) + A(x + 2) = \begin{pmatrix} x & x + 1 & 1 \\ 2 & x & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x + 2 & x + 3 & 1 \\ 2 & x + 2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 2 & 2x + 4 & 2 \\ 4 & 2x + 2 & 2 \\ 6 & 0 & 2 \end{pmatrix}
4
3 puncte
2A(2)=(462442602)2A(2) = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 4 & 4 & 2 \\ 6 & 0 & 2 \end{pmatrix}, deci x=1x = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Punctele M(n,n+1)M(n, n + 1), N(2,n)N(2, n) și P(3,0)P(3, 0) sunt coliniare ⇔∣nn+112n1301∣=0\Leftrightarrow \begin{vmatrix} n & n + 1 & 1 \\ 2 & n & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0
6
3 puncte
n2−2n+1=0n^2 - 2n + 1 = 0, deci n=1n = 1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+aX2+X−1f = X^3 + aX^2 + X - 1, unde aa este număr real. a) Arătați că f(1)−f(−1)=4f(1) - f(-1) = 4, pentru orice număr real aa. b) Pentru a=2a = 2, calculați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X2+X+1X^2 + X + 1. c) Determinați numărul real aa pentru care x1+x2+x3+x1x2+x1x3+x2x3=x1x2x3−1x_1 + x_2 + x_3 + x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = x_1 x_2 x_3 - 1, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(1)=13+a⋅12+1−1=a+1f(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 + 1 - 1 = a + 1
2
3 puncte
f(−1)=(−1)3+a⋅(−1)2+(−1)−1=a−3⇒f(1)−f(−1)=a+1−a+3=4f(-1) = (-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + (-1) - 1 = a - 3 \Rightarrow f(1) - f(-1) = a + 1 - a + 3 = 4, pentru orice număr real aa
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f=X3+2X2+X−1f = X^3 + 2X^2 + X - 1, câtul este X+1X + 1
4
2 puncte
Restul este −X−2-X - 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x1x3+x2x3=1x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 1, x1x2x3=1x_1 x_2 x_3 = 1
6
2 puncte
x1+x2+x3+x1x2+x1x3+x2x3=x1x2x3−1⇔−a+1=1−1x_1 + x_2 + x_3 + x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = x_1 x_2 x_3 - 1 \Leftrightarrow -a + 1 = 1 - 1, deci a=1a = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x−1f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}. a) Arătați că f′(x)=x(x−2)(x−1)2f'(x) = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x = 2, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că lim⁡x→+∞f(x)ex+1=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{e^x + 1} = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x−1)(x−1)−(x2−x+1)⋅1(x−1)2f'(x) = \dfrac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2}
2
2 puncte
=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2= \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(2)=3f(2) = 3, f′(2)=0f'(2) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f(2) = f'(2)(x - 2), adică y=3y = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→+∞f(x)ex+1=lim⁡x→+∞(x2−x+1x(x−1)⋅xex+1)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{e^x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x^2 - x + 1}{x(x - 1)} \cdot \dfrac{x}{e^x + 1}\right)
6
3 puncte
=1⋅0=0= 1 \cdot 0 = 0, deoarece lim⁡x→+∞x2−x+1x(x−1)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - x + 1}{x(x - 1)} = 1 și lim⁡x→+∞xex+1=lim⁡x→+∞1ex=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{e^x} = 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+2xf(x) = e^x + 2x. a) Arătați că ∫01(f(x)−2x) dx=e−1\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 2x)\, dx = e - 1. b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−exg(x) = f(x) - e^x. c) Determinați numărul real aa, știind că ∫0ax⋅f(x) dx=1+2a33\displaystyle\int_0^a x \cdot f(x)\, dx = 1 + \dfrac{2a^3}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(f(x)−2x) dx=∫01(ex+2x−2x) dx=∫01ex dx=ex∣01\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 2x)\, dx = \int_0^1 (e^x + 2x - 2x)\, dx = \int_0^1 e^x\, dx = \left. e^x \right|_0^1
2
2 puncte
=e1−e0=e−1= e^1 - e^0 = e - 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) g(x)=2x⇒V=π∫01g2(x) dx=π∫014x2 dxg(x) = 2x \Rightarrow V = \pi \displaystyle\int_0^1 g^2(x)\, dx = \pi \int_0^1 4x^2\, dx
4
2 puncte
=4π⋅x33∣01=4π3= 4\pi \cdot \left. \dfrac{x^3}{3} \right|_0^1 = \dfrac{4\pi}{3}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫0ax⋅f(x) dx=∫0ax(ex+2x) dx=(x−1)ex∣0a+2⋅x33∣0a=(a−1)ea+1+2a33\displaystyle\int_0^a x \cdot f(x)\, dx = \int_0^a x(e^x + 2x)\, dx = \left. (x - 1)e^x \right|_0^a + 2 \cdot \left. \dfrac{x^3}{3} \right|_0^a = (a - 1)e^a + 1 + \dfrac{2a^3}{3}
6
2 puncte
(a−1)ea+1+2a33=1+2a33⇔(a−1)ea=0⇔a=1(a - 1)e^a + 1 + \dfrac{2a^3}{3} = 1 + \dfrac{2a^3}{3} \Leftrightarrow (a - 1)e^a = 0 \Leftrightarrow a = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2017 — Matematică-Informatică (Varianta 4)

Următor →

Bac Specială 2017 — Tehnologic (Varianta 4)

← Înapoi la arhiva completă Bac