BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2017 — Tehnologic (Varianta 4)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (2+13):76=2\left(2 + \dfrac{1}{3}\right) : \dfrac{7}{6} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
2+13=732 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}
2
2 puncte
73:76=73⋅67=2\dfrac{7}{3} : \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{6}{7} = 2
Exercițiul 2
Arătați că (x1+x2)2−6x1x2=1(x_1 + x_2)^2 - 6x_1 x_2 = 1, unde x1x_1 și x2x_2 sunt soluțiile ecuației x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=5x_1 + x_2 = 5, x1x2=4x_1 x_2 = 4
2
3 puncte
(x1+x2)2−6x1x2=25−24=1(x_1 + x_2)^2 - 6x_1 x_2 = 25 - 24 = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−5=2\sqrt{3x - 5} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
3x−5=43x - 5 = 4
2
2 puncte
x=3x = 3, care convine
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 25%25\%, prețul unui televizor este 600600 de lei. Determinați prețul televizorului înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
p−25%⋅p=600p - 25\% \cdot p = 600, unde pp este prețul televizorului înainte de ieftinire
2
2 puncte
p=800p = 800 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0, 0) și M(8,6)M(8, 6). Calculați distanța dintre punctele OO și MM.

Rezolvare

1
3 puncte
OM=(8−0)2+(6−0)2OM = \sqrt{(8 - 0)^2 + (6 - 0)^2}
2
2 puncte
=10= 10
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡2135°+sin⁡245°=1\sin^2 135° + \sin^2 45° = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡135°=22\sin 135° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡45°=22\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
2
3 puncte
sin⁡2135°+sin⁡245°=(22)2+(22)2=12+12=1\sin^2 135° + \sin^2 45° = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1202)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} și B=(−1−220)B = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=2\det A = 2. b) Arătați că (A+B)(B−A)=(000−12)(A + B)(B - A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -12 \end{pmatrix}. c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}), știind că A⋅X=BA \cdot X = B.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣1202∣=1⋅2−0⋅2\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 0 \cdot 2
2
2 puncte
=2−0=2= 2 - 0 = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A+B=(0022)A + B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
4
3 puncte
B−A=(−2−42−2)⇒(A+B)(B−A)=(000−8−4)=(000−12)B - A = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow (A + B)(B - A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -8 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -12 \end{pmatrix}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) det⁡A≠0\det A \neq 0, A−1=(1−1012)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}
6
2 puncte
X=A−1⋅B⇒X=(−3−210)X = A^{-1} \cdot B \Rightarrow X = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−3x * y = x + y - 3. a) Arătați că 1∗2=01 * 2 = 0. b) Determinați numerele reale xx pentru care (x2)∗x=−1(x^2) * x = -1. c) Determinați numerele naturale nenule nn pentru care n∗n∗n∗n<3n * n * n * n < 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗2=1+2−31 * 2 = 1 + 2 - 3
2
2 puncte
=3−3=0= 3 - 3 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x2+x−3=−1⇔x2+x−2=0x^2 + x - 3 = -1 \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0
4
2 puncte
x=−2x = -2 sau x=1x = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) n∗n∗n∗n=4n−9n * n * n * n = 4n - 9
6
3 puncte
4n−9<3⇒n<34n - 9 < 3 \Rightarrow n < 3 și, cum nn este număr natural nenul, obținem n=1n = 1 sau n=2n = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+2x2+xf(x) = x^3 + 2x^2 + x. a) Arătați că f′(x)=(x+1)(3x+1)f'(x) = (x + 1)(3x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞f(x)x⋅f′(x)=13\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x \cdot f'(x)} = \dfrac{1}{3}. c) Demonstrați că f(x)≥−427f(x) \geq -\dfrac{4}{27}, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x3)′+(2x2)′+(x)′f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' + (x)'
2
3 puncte
=3x2+4x+1=(x+1)(3x+1)= 3x^2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x⋅f′(x)=lim⁡x→+∞x3+2x2+xx(x+1)(3x+1)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x \cdot f'(x)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3 + 2x^2 + x}{x(x + 1)(3x + 1)}
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞1+2x+1x2(1+1x)(3+1x)=13= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\left(3 + \dfrac{1}{x}\right)} = \dfrac{1}{3}
c)5 puncte
5
1 punct
c) f′(x)=0⇔x=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 sau x=−13x = -\dfrac{1}{3}
6
2 puncte
x∈[−1,−13]⇒f′(x)≤0x \in \left[-1, -\dfrac{1}{3}\right] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci funcția ff este descrescătoare pe [−1,−13]\left[-1, -\dfrac{1}{3}\right] și x∈[−13,+∞)⇒f′(x)≥0x \in \left[-\dfrac{1}{3}, +\infty\right) \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci funcția ff este crescătoare pe [−13,+∞)\left[-\dfrac{1}{3}, +\infty\right)
7
2 puncte
f(x)≥f ⁣(−13)f(x) \geq f\!\left(-\dfrac{1}{3}\right) pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty) și, cum f ⁣(−13)=−427f\!\left(-\dfrac{1}{3}\right) = -\dfrac{4}{27}, obținem f(x)≥−427f(x) \geq -\dfrac{4}{27}, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1. a) Arătați că ∫01(f(x)−x2−1) dx=12\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x^2 - 1)\, dx = \dfrac{1}{2}. b) Demonstrați că funcția F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=13x3+12x2+x+2017F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 + x + 2017 este o primitivă a funcției ff. c) Determinați numărul natural nn, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=2x = 2 are aria egală cu n2−73n^2 - \dfrac{7}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01(f(x)−x2−1) dx=∫01(x2+x+1−x2−1) dx=∫01x dx\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x^2 - 1)\, dx = \int_0^1 (x^2 + x + 1 - x^2 - 1)\, dx = \int_0^1 x\, dx
2
3 puncte
=x22∣01=12−0=12= \left. \dfrac{x^2}{2} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(13x3+12x2+x+2017)′=13⋅3x2+12⋅2x+1F'(x) = \left(\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 + x + 2017\right)' = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 + \dfrac{1}{2} \cdot 2x + 1
4
2 puncte
=x2+x+1=f(x)= x^2 + x + 1 = f(x), x∈Rx \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫02∣f(x)∣ dx=∫02(x2+x+1) dx=(x33+x22+x)∣02=203\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 |f(x)|\, dx = \int_0^2 (x^2 + x + 1)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + x\right)\right|_0^2 = \dfrac{20}{3}
6
2 puncte
Cum nn este număr natural, din n2−73=203n^2 - \dfrac{7}{3} = \dfrac{20}{3}, obținem n=3n = 3

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2017 — Științele Naturii (Varianta 4)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2017 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac