BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2018 — Științele Naturii (Varianta 3)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a1=7a_1 = 7 și a3=15a_3 = 15.

Rezolvare

1
3 puncte
a2=a1+a32=7+152a_2 = \dfrac{a_1 + a_3}{2} = \dfrac{7 + 15}{2}
2
2 puncte
=11= 11
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2. Determinați numerele naturale nn, pentru care f(n)<8f(n) < 8.

Rezolvare

1
2 puncte
3n+2<8⇔n<23n + 2 < 8 \Leftrightarrow n < 2
2
3 puncte
Cum nn este număr natural, obținem n=0n = 0 sau n=1n = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−1=x+1\sqrt{x^2 - 1} = x + 1.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−1=(x+1)2⇒2x+2=0x^2 - 1 = (x + 1)^2 \Rightarrow 2x + 2 = 0
2
2 puncte
x=−1x = -1, care convine
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
3 puncte
C53=5!3!⋅2!C_5^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!}
2
2 puncte
=10= 10
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră dreptele d1:y=x2+2d_1 : y = \dfrac{x}{2} + 2 și d2:y=(m−3)x+1d_2 : y = (m - 3)x + 1, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm, pentru care dreptele d1d_1 și d2d_2 sunt perpendiculare.

Rezolvare

1
2 puncte
md1=12m_{d_1} = \dfrac{1}{2}, md2=m−3m_{d_2} = m - 3
2
3 puncte
d1d_1 și d2d_2 sunt perpendiculare ⇔md1⋅md2=−1⇔12(m−3)=−1⇔m=1\Leftrightarrow m_{d_1} \cdot m_{d_2} = -1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(m - 3) = -1 \Leftrightarrow m = 1
Exercițiul 6
Arătați că, dacă sin⁡2x=12\sin 2x = \dfrac{1}{2}, atunci (sin⁡x+cos⁡x)2=32(\sin x + \cos x)^2 = \dfrac{3}{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x=12⇒(sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=1+sin⁡2x\sin 2x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x
2
2 puncte
=1+12=32= 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea X(a,b)=(ab9ba)X(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 9b & a \end{pmatrix}, unde aa și bb sunt numere reale. a) Arătați că det⁡(X(3,1))=0\det(X(3, 1)) = 0. b) Demonstrați că X(a,b)⋅X(c,d)=X(ac+9bd, ad+bc)X(a, b) \cdot X(c, d) = X(ac + 9bd,\, ad + bc), pentru orice numere reale aa, bb, cc și dd. c) Determinați perechile de numere întregi (m,n)(m, n) pentru care det⁡(X(m,n))=1\det(X(m, n)) = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) X(3,1)=(3193)⇒det⁡(X(3,1))=3⋅3−9⋅1X(3, 1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(X(3, 1)) = 3 \cdot 3 - 9 \cdot 1
2
2 puncte
=9−9=0= 9 - 9 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) X(a,b)⋅X(c,d)=(ab9ba)⋅(cd9dc)=(ac+9bdad+bc9bc+9ad9bd+ac)X(a, b) \cdot X(c, d) = \begin{pmatrix} a & b \\ 9b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c & d \\ 9d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac + 9bd & ad + bc \\ 9bc + 9ad & 9bd + ac \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(ac+9bdad+bc9(ad+bc)ac+9bd)=X(ac+9bd, ad+bc)= \begin{pmatrix} ac + 9bd & ad + bc \\ 9(ad + bc) & ac + 9bd \end{pmatrix} = X(ac + 9bd,\, ad + bc), pentru orice numere reale aa, bb, cc și dd
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡(X(m,n))=m2−9n2\det(X(m, n)) = m^2 - 9n^2
6
3 puncte
Cum mm și nn sunt numere întregi, (m−3n)(m+3n)=1⇒m−3n=m+3n=−1(m - 3n)(m + 3n) = 1 \Rightarrow m - 3n = m + 3n = -1 sau m−3n=m+3n=1m - 3n = m + 3n = 1 și obținem (−1,0)(-1, 0) sau (1,0)(1, 0)
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=2X3−4X2−7X+mf = 2X^3 - 4X^2 - 7X + m, unde mm este număr real. a) Pentru m=9m = 9, arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Determinați numărul real mm pentru care polinomul ff este divizibil cu X+2X + \sqrt{2}. c) Determinați numărul real mm, știind că suma a două rădăcini ale polinomului ff este egală cu 11.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f=2X3−4X2−7X+9⇒f(1)=2⋅13−4⋅12−7⋅1+9f = 2X^3 - 4X^2 - 7X + 9 \Rightarrow f(1) = 2 \cdot 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 9
2
3 puncte
=2−4−7+9=0= 2 - 4 - 7 + 9 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f(−2)=0⇔2⋅(−22)−4⋅2−7⋅(−2)+m=0f(-\sqrt{2}) = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot (-2\sqrt{2}) - 4 \cdot 2 - 7 \cdot (-\sqrt{2}) + m = 0
4
2 puncte
m=8−32m = 8 - 3\sqrt{2}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2=1x_1 + x_2 = 1 și x1+x2+x3=2⇒x3=1x_1 + x_2 + x_3 = 2 \Rightarrow x_3 = 1
6
2 puncte
f(1)=0⇒m=9f(1) = 0 \Rightarrow m = 9

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex+1f(x) = (x - 1)e^x + 1. a) Arătați că f′(x)=xexf'(x) = xe^x, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞-\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că en≤nn−1\sqrt[n]{e} \leq \dfrac{n}{n - 1}, pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x−1)′⋅ex+(x−1)⋅(ex)′f'(x) = (x - 1)' \cdot e^x + (x - 1) \cdot (e^x)'
2
3 puncte
=ex+(x−1)ex=xex= e^x + (x - 1)e^x = xe^x, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞(x−1e−x+1)=1\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{x - 1}{e^{-x}} + 1\right) = 1, deoarece lim⁡x→−∞x−1e−x=lim⁡x→−∞1−e−x=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x - 1}{e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{-e^{-x}} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre −∞-\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[0,+∞)⇒fx \in [0, +\infty) \Rightarrow f este crescătoare pe [0,+∞)[0, +\infty) și, cum f(0)=0f(0) = 0, obținem f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)
6
2 puncte
f ⁣(1n)≥0f\!\left(\dfrac{1}{n}\right) \geq 0 pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2, deci (1n−1)e1n+1≥0⇒en≤nn−1\left(\dfrac{1}{n} - 1\right)e^{\frac{1}{n}} + 1 \geq 0 \Rightarrow \sqrt[n]{e} \leq \dfrac{n}{n - 1}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:[2,+∞)→Rf : [2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xx−2f(x) = x\sqrt{x - 2}. a) Arătați că ∫23f(x)x−2 dx=43\displaystyle\int_2^3 f(x)\sqrt{x - 2}\, dx = \dfrac{4}{3}. b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x+2)x+2⋅exg(x) = \dfrac{f(x + 2)}{x + 2} \cdot \sqrt{e^x} este egal cu π\pi. c) Calculați lim⁡x→+∞∫3xf(t)⋅1t−2 dtx2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\displaystyle\int_3^x f(t) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{t - 2}}\, dt}{x^2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫23f(x)x−2 dx=∫23x(x−2) dx=(x33−x2)∣23\displaystyle\int_2^3 f(x)\sqrt{x - 2}\, dx = \int_2^3 x(x - 2)\, dx = \left(\dfrac{x^3}{3} - x^2\right) \Big|_2^3
2
2 puncte
=9−9−83+4=43= 9 - 9 - \dfrac{8}{3} + 4 = \dfrac{4}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) g(x)=xex⇒V=π∫01g2(x) dx=π∫01xex dx=π(x−1)ex∣01g(x) = \sqrt{xe^x} \Rightarrow V = \pi \displaystyle\int_0^1 g^2(x)\, dx = \pi \int_0^1 xe^x\, dx = \pi(x - 1)e^x \Big|_0^1
4
2 puncte
=0−π⋅(−1)⋅e0=π= 0 - \pi \cdot (-1) \cdot e^0 = \pi
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫3xf(t)⋅1t−2 dt=∫3xt dt=t22∣3x=x2−92\displaystyle\int_3^x f(t) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{t - 2}}\, dt = \int_3^x t\, dt = \dfrac{t^2}{2} \Big|_3^x = \dfrac{x^2 - 9}{2}
6
2 puncte
lim⁡x→+∞x2−92x2=12\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 9}{2x^2} = \dfrac{1}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2018 — Matematică-Informatică (Varianta 3)

Următor →

Bac Specială 2018 — Tehnologic (Varianta 3)

← Înapoi la arhiva completă Bac