BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2022 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 5(1+2i)−2i(5−i)=35(1 + 2i) - 2i(5 - i) = 3, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
5(1+2i)−2i(5−i)=5+10i−10i+2i25(1 + 2i) - 2i(5 - i) = 5 + 10i - 10i + 2i^2
2
2 puncte
=5+2⋅(−1)=3= 5 + 2 \cdot (-1) = 3
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=1+a2f(a) = 1 + a^2.

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=a2−2a−3f(a) = a^2 - 2a - 3, deci a2−2a−3=1+a2a^2 - 2a - 3 = 1 + a^2
2
2 puncte
−2a=4-2a = 4, de unde obținem a=−2a = -2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x2+1)=2\log_3\left(2x^2 + 1\right) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
2x2+1=32⇒x2−4=02x^2 + 1 = 3^2 \Rightarrow x^2 - 4 = 0
2
2 puncte
x=−2x = -2 sau x=2x = 2, care convin
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 2020 de numere care au cifrele impare și distincte, deci sunt 2020 de cazuri favorabile, de unde obținem p=2090=29p = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,0)A(2, 0), B(1,6)B(1, 6) și C(4,2)C(4, 2). Determinați coordonatele punctului DD, știind că AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.

Rezolvare

1
2 puncte
AB→=DC→⇒ABCD\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Rightarrow ABCD este paralelogram, deci segmentele ACAC și BDBD au același mijloc
2
3 puncte
Mijlocul segmentului ACAC are coordonatele (3,1)(3, 1), de unde obținem D(5,−4)D(5, -4)
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, astfel încât BC=10BC = 10 și sin⁡B=2sin⁡C\sin B = 2\sin C. Arătați că lungimea laturii ABAB este egală cu 252\sqrt{5}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡B=ACBC\sin B = \dfrac{AC}{BC}, sin⁡C=ABBC\sin C = \dfrac{AB}{BC}, deci AC=2ABAC = 2AB
2
3 puncte
Cum AB2+AC2=100AB^2 + AC^2 = 100, obținem AB=25AB = 2\sqrt{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, O3=(000000000)O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} și A(x)=(x+1−x0x1−x0001)A(x) = \begin{pmatrix} x + 1 & -x & 0 \\ x & 1 - x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1)) = 1. b) Arătați că (A(x)−I3)(A(x)−I3)=O3(A(x) - I_3)(A(x) - I_3) = O_3, pentru orice număr real xx. c) Determinați numerele reale xx pentru care A(x)⋅A(x)=xA(x)−(x−1)I3A(x) \cdot A(x) = xA(x) - (x - 1)I_3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)=(2−10100001)⇒det⁡(A(1))=∣2−10100001∣A(1) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0+0+0−0−0−(−1)=1= 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (-1) = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(x)−I3=(x−x0x−x0000)A(x) - I_3 = \begin{pmatrix} x & -x & 0 \\ x & -x & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
(A(x)−I3)(A(x)−I3)=(x2−x2−x2+x20x2−x2−x2+x20000)=O3(A(x) - I_3)(A(x) - I_3) = \begin{pmatrix} x^2 - x^2 & -x^2 + x^2 & 0 \\ x^2 - x^2 & -x^2 + x^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O_3, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(x)⋅A(x)=2A(x)−I3A(x) \cdot A(x) = 2A(x) - I_3, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
2A(x)−I3=xA(x)−(x−1)I3⇔(x−2)(A(x)−I3)=O32A(x) - I_3 = xA(x) - (x - 1)I_3 \Leftrightarrow (x - 2)(A(x) - I_3) = O_3, de unde obținem x=0x = 0 sau x=2x = 2
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)2−2(x−y)−3x * y = (x + y)^2 - 2(x - y) - 3. a) Arătați că 0∗2=50 * 2 = 5. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗(x+1)=8x * (x + 1) = 8. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere naturale pentru care m∗n=2mnm * n = 2mn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 0∗2=(0+2)2−2(0−2)−30 * 2 = (0 + 2)^2 - 2(0 - 2) - 3
2
2 puncte
=4+4−3=5= 4 + 4 - 3 = 5
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗(x+1)=4x2+4xx * (x + 1) = 4x^2 + 4x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
4x2+4x=8⇔x2+x−2=04x^2 + 4x = 8 \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0, de unde obținem x=−2x = -2 sau x=1x = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (m+n)2−2(m−n)−3=2mn⇔m2+n2−2m+2n−3=0(m + n)^2 - 2(m - n) - 3 = 2mn \Leftrightarrow m^2 + n^2 - 2m + 2n - 3 = 0
6
3 puncte
(m−1)2+(n+1)2=5(m - 1)^2 + (n + 1)^2 = 5 și, cum mm și nn sunt numere naturale, obținem perechile (0,1)(0, 1), (2,1)(2, 1) și (3,0)(3, 0)

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(x2−5x+10)xf(x) = (x^2 - 5x + 10)\sqrt{x}. a) Arătați că f′(x)=5(x2−3x+2)2xf'(x) = \dfrac{5(x^2 - 3x + 2)}{2\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Arătați că lim⁡x→+∞(f(x)x2x)x5=1e\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)^{\frac{x}{5}} = \dfrac{1}{e}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x−5)x+(x2−5x+10)⋅12xf'(x) = (2x - 5)\sqrt{x} + (x^2 - 5x + 10) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
2
2 puncte
=5x2−15x+102x=5(x2−3x+2)2x= \dfrac{5x^2 - 15x + 10}{2\sqrt{x}} = \dfrac{5(x^2 - 3x + 2)}{2\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 sau x=2x = 2
4
3 puncte
f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1], deci ff este crescătoare pe (0,1](0, 1]; f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[1,2]x \in [1, 2], deci ff este descrescătoare pe [1,2][1, 2]; f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→+∞(f(x)x2x)x5=lim⁡x→+∞(x2−5x+10x2)x5=lim⁡x→+∞(1+−5x+10x2)x2−5x+10⋅−5x+10x2⋅x5\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)^{\frac{x}{5}} = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x^2 - 5x + 10}{x^2}\right)^{\frac{x}{5}} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{-5x + 10}{x^2}\right)^{\dfrac{x^2}{-5x + 10} \cdot \dfrac{-5x + 10}{x^2} \cdot \dfrac{x}{5}}
6
2 puncte
=elim⁡x→+∞−5x+105x=e−1=1e= e^{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-5x + 10}{5x}} = e^{-1} = \dfrac{1}{e}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+ex+1ex+1f(x) = x + e^x + \dfrac{1}{e^x + 1}. a) Arătați că ∫02(f(x)−1ex+1) dx=e2+1\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - \dfrac{1}{e^x + 1}\right)\, dx = e^2 + 1. b) Arătați că ∫−11ex(f(x)−x−ex) dx=1\displaystyle\int_{-1}^{1} e^x\left(f(x) - x - e^x\right)\, dx = 1. c) Determinați numărul real mm pentru care ∫01x(f(x)+f(−x)) dx=m2−2e\displaystyle\int_0^1 x\left(f(x) + f(-x)\right)\, dx = \dfrac{m}{2} - \dfrac{2}{e}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02(f(x)−1ex+1) dx=∫02(x+ex) dx=(x22+ex)∣02\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - \dfrac{1}{e^x + 1}\right)\, dx = \int_0^2 (x + e^x)\, dx = \left(\dfrac{x^2}{2} + e^x\right)\Bigg|_0^2
2
2 puncte
=2+e2−1=e2+1= 2 + e^2 - 1 = e^2 + 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫−11ex(f(x)−x−ex) dx=∫−11exex+1 dx=∫−11(ex+1)′ex+1 dx=ln⁡(ex+1)∣−11\displaystyle\int_{-1}^{1} e^x\left(f(x) - x - e^x\right)\, dx = \int_{-1}^{1} \dfrac{e^x}{e^x + 1}\, dx = \int_{-1}^{1} \dfrac{(e^x + 1)'}{e^x + 1}\, dx = \left. \ln(e^x + 1) \right|_{-1}^{1}
4
2 puncte
=ln⁡(e+1)−ln⁡1+ee=ln⁡e=1= \ln(e + 1) - \ln\dfrac{1 + e}{e} = \ln e = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01x(f(x)+f(−x)) dx=∫01x(ex+e−x+x) dx=x(ex−e−x+x)∣01−∫01(ex−e−x+x) dx=e−1e+1−(e+e−1+x22)∣01=52−2e\displaystyle\int_0^1 x\left(f(x) + f(-x)\right)\, dx = \int_0^1 x\left(e^x + e^{-x} + x\right)\, dx = \left. x(e^x - e^{-x} + x) \right|_0^1 - \int_0^1 (e^x - e^{-x} + x)\, dx = e - \dfrac{1}{e} + 1 - \left(e + e^{-1} + \dfrac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{e}
6
2 puncte
52−2e=m2−2e\dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{e} = \dfrac{m}{2} - \dfrac{2}{e}, de unde obținem m=5m = 5

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2022 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2022 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac