BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2022 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2(2−1)(2+2)=2\sqrt{2}\left(\sqrt{2} - 1\right)\left(2 + \sqrt{2}\right) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
2(2−1)(2+2)=(2−2)(2+2)\sqrt{2}\left(\sqrt{2} - 1\right)\left(2 + \sqrt{2}\right) = \left(2 - \sqrt{2}\right)\left(2 + \sqrt{2}\right)
2
2 puncte
=4−2=2= 4 - 2 = 2
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2−4xf(x) = 2x^2 - 4x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției ff cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇔2x2−4x=0f(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x = 0
2
2 puncte
x=0x = 0 sau x=2x = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−3=122x2^{x-3} = \dfrac{1}{2^{2x}}.

Rezolvare

1
3 puncte
2x−3=2−2x⇔x−3=−2x2^{x-3} = 2^{-2x} \Leftrightarrow x - 3 = -2x
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 1111.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 99 numere care sunt multipli de 1111, deci sunt 99 cazuri favorabile, de unde obținem p=990=110p = \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{10}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,0)A(-1, 0), B(0,3)B(0, 3) și C(4,0)C(4, 0). Arătați că triunghiul ABCABC este isoscel.

Rezolvare

1
2 puncte
AC=5AC = 5
2
3 puncte
BC=42+32=5BC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5, deci AC=BCAC = BC, de unde obținem că triunghiul ABCABC este isoscel
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=tg⁡x+sin⁡3x2−2cos⁡x2E(x) = \operatorname{tg} x + \sin\dfrac{3x}{2} - 2\cos\dfrac{x}{2}, unde x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right). Arătați că E(π3)=1E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
tg⁡π3=3\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}, sin⁡π2=1\sin\dfrac{\pi}{2} = 1, cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
2
2 puncte
E(π3)=3+1−2⋅32=1E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} + 1 - 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele M(x)=(x+1−x−2x2x+1)M(x) = \begin{pmatrix} x + 1 & -x \\ -2x & 2x + 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(M(1))=4\det(M(1)) = 4. b) Arătați că M(x)⋅M(1)=M(4x+1)M(x) \cdot M(1) = M(4x + 1), pentru orice număr real xx. c) Determinați numărul real xx pentru care M(x)⋅M(1)⋅M(1)=M(x+2)M(x) \cdot M(1) \cdot M(1) = M(x + 2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) M(1)=(2−1−23)⇒det⁡(M(1))=∣2−1−23∣=2⋅3−(−1)⋅(−2)M(1) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(1)) = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2)
2
2 puncte
=6−2=4= 6 - 2 = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) M(x)⋅M(1)=(4x+2−4x−1−8x−28x+3)=((4x+1)+1−(4x+1)−2(4x+1)2(4x+1)+1)M(x) \cdot M(1) = \begin{pmatrix} 4x + 2 & -4x - 1 \\ -8x - 2 & 8x + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4x + 1) + 1 & -(4x + 1) \\ -2(4x + 1) & 2(4x + 1) + 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=M(4x+1)= M(4x + 1), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) M(x)⋅M(1)⋅M(1)=(M(x)⋅M(1))⋅M(1)=M(4x+1)⋅M(1)=M(16x+5)M(x) \cdot M(1) \cdot M(1) = (M(x) \cdot M(1)) \cdot M(1) = M(4x + 1) \cdot M(1) = M(16x + 5), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
M(16x+5)=M(x+2)M(16x + 5) = M(x + 2), de unde obținem 16x+5=x+216x + 5 = x + 2, deci x=−15x = -\dfrac{1}{5}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=5xy+10x+10y+18x \circ y = 5xy + 10x + 10y + 18. a) Arătați că (−1)∘0=8(-1) \circ 0 = 8. b) Demonstrați că x∘y=5(x+2)(y+2)−2x \circ y = 5(x + 2)(y + 2) - 2, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul întreg mm pentru care m∘m=mm \circ m = m.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) (−1)∘0=5⋅(−1)⋅0+10⋅(−1)+10⋅0+18(-1) \circ 0 = 5 \cdot (-1) \cdot 0 + 10 \cdot (-1) + 10 \cdot 0 + 18
2
2 puncte
=−10+18=8= -10 + 18 = 8
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∘y=5xy+10x+10y+20−2=5x(y+2)+10(y+2)−2x \circ y = 5xy + 10x + 10y + 20 - 2 = 5x(y + 2) + 10(y + 2) - 2
4
2 puncte
=(5x+10)(y+2)−2=5(x+2)(y+2)−2= (5x + 10)(y + 2) - 2 = 5(x + 2)(y + 2) - 2, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
c) m∘m=5(m+2)2−2m \circ m = 5(m + 2)^2 - 2, pentru orice număr întreg mm
6
3 puncte
5(m+2)2−2=m⇒(m+2)(5m+9)=05(m + 2)^2 - 2 = m \Rightarrow (m + 2)(5m + 9) = 0 și, cum mm este număr întreg, obținem m=−2m = -2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1x−1+ln⁡(x−1)f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1} + \ln(x - 1). a) Arătați că f′(x)=x2−x−2(x−1)2f'(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{(x - 1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x = 2, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că x2+1x−1+ln⁡(x−1)≥5\dfrac{x^2 + 1}{x - 1} + \ln(x - 1) \geq 5, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2x(x−1)−(x2+1)(x−1)2+1x−1f'(x) = \dfrac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} + \dfrac{1}{x - 1}
2
2 puncte
=x2−2x−1+x−1(x−1)2=x2−x−2(x−1)2= \dfrac{x^2 - 2x - 1 + x - 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - x - 2}{(x - 1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(2)=5f(2) = 5, f′(2)=0f'(2) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f(2) = f'(2)(x - 2), adică y=5y = 5
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇒x=2f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2; pentru x∈(1,2]⇒f′(x)≤0x \in (1, 2] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (1,2](1, 2] și pentru x∈[2,+∞)⇒f′(x)≥0x \in [2, +\infty) \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
6
2 puncte
f(x)≥f(2)f(x) \geq f(2), pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), de unde obținem x2+1x−1+ln⁡(x−1)≥5\dfrac{x^2 + 1}{x - 1} + \ln(x - 1) \geq 5, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+46x2+1f(x) = \dfrac{x + 4}{6x^2 + 1}. a) Arătați că ∫02f(x)(6x2+1) dx=10\displaystyle\int_0^2 f(x)\left(6x^2 + 1\right)\, dx = 10. b) Arătați că ∫02(f(x)−46x2+1) dx=ln⁡56\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - \dfrac{4}{6x^2 + 1}\right)\, dx = \dfrac{\ln 5}{6}. c) Determinați numărul real mm pentru care ∫01x+4f(x)⋅e2x dx=m(e2−1)\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x + 4}{f(x)} \cdot e^{2x}\, dx = m(e^2 - 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02f(x)(6x2+1) dx=∫02(x+4) dx=(x22+4x)∣02\displaystyle\int_0^2 f(x)(6x^2 + 1)\, dx = \int_0^2 (x + 4)\, dx = \left(\dfrac{x^2}{2} + 4x\right)\Bigg|_0^2
2
2 puncte
=2+8=10= 2 + 8 = 10
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫02(f(x)−46x2+1) dx=∫02x6x2+1 dx=112∫02(6x2+1)′6x2+1 dx=112ln⁡(6x2+1)∣02\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - \dfrac{4}{6x^2 + 1}\right)\, dx = \int_0^2 \dfrac{x}{6x^2 + 1}\, dx = \dfrac{1}{12}\int_0^2 \dfrac{(6x^2 + 1)'}{6x^2 + 1}\, dx = \dfrac{1}{12}\left. \ln(6x^2 + 1) \right|_0^2
4
2 puncte
=112ln⁡25=ln⁡56= \dfrac{1}{12}\ln 25 = \dfrac{\ln 5}{6}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01x+4f(x)⋅e2x dx=∫01(6x2+1)⋅e2x dx=∫01(6x2+1)⋅(e2x2)′ dx=(6x2+1)⋅e2x2∣01−∫016xe2x dx=7e2−12−3xe2x∣01+3e2x2∣01=2e2−2\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x + 4}{f(x)} \cdot e^{2x}\, dx = \int_0^1 (6x^2 + 1) \cdot e^{2x}\, dx = \int_0^1 (6x^2 + 1) \cdot \left(\dfrac{e^{2x}}{2}\right)'\, dx = \left. (6x^2 + 1) \cdot \dfrac{e^{2x}}{2} \right|_0^1 - \int_0^1 6x e^{2x}\, dx = \dfrac{7e^2 - 1}{2} - 3xe^{2x}\Big|_0^1 + \dfrac{3e^{2x}}{2}\Big|_0^1 = 2e^2 - 2
6
2 puncte
2e2−2=m(e2−1)2e^2 - 2 = m(e^2 - 1), de unde obținem m=2m = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2022 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Specială 2022 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac